Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 2. Подібність трикутників

§ 14. Ознаки подібності трикутників

Пояснення

Лема. Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними: якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, і кути, утворені цими сторонами, рівні між собою, то ці трикутники подібні.

Наслідки:

1) прямокутні трикутники подібні, якщо катети одного з них пропорційні катетам другого;

2) якщо кут дорівнює куту при вершині іншого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні.

Ознака подібності трикутників за двома кутами: якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то ці трикутники подібні.

то

Наслідки:

Рівносторонні трикутники подібні.

2) Якщо кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при основі другого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні.

3) Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.

Ознака подібності трикутників за трьома сторонами: якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

470. 2).

471. 2); 3).

472. 2); 4).

Три сторони ΔАВС пропорційні трьом сторонам ΔА1В1С1, тому

Дві сторони ΔАВС пропорційні двом сторонам ΔА1В1С1, і кути між ними рівні, тому

Два кути ΔАВС рівні двом кутам ΔА1В1С1, тому

Дві сторони ΔMNK пропорційні двом сторонам ΔM1N1K1, і кути між ними рівні, тому

Два кути ΔMNK дорівнюють двом кутам ΔM1N1K1, тому

Три сторони ΔMNK пропорційні трьом сторонам ΔM1N1K1, тому

475. Дано: АВ ∩ CD = т. O, AC || BD.

Довести:

Доведення. ∠AOC = ∠BOD як вертикальні, ∠CAO = ∠DBO як внутрішні різносторонні. Два кути ΔАОС відповідно рівні двома кутам ΔВОD, тому Доведено.

476. Дано: MN ∩ LK = т. О, ∠MLO = ∠NKO, ∠MOL = ∠NOK.

Довести:

Доведення. За умовою ∠MLO = ∠NKO, ∠MOL = ∠NOK як вертикальні. Два кути ΔMOL відповідно рівні двом кутам ΔNOK, тому Доведено.

477. Дано: ΔАВС, Р ∈ АВ, L ∈ АС, АР = 1/2АВ, AL = 1/2AC.

Довести:

Доведення. За умовою АР = 1/2АВ, AL = 1/2AC, ∠A — спільний. Дві сторони ΔАВС пропорційні двом сторонам ΔAPL і кути між ними рівні, тому Доведено.

478. Доведення. КА = 2/3KL, KB = 1/2KN, ∠K — спільний. Дві сторони ΔKLN пропорційні двом сторонам ΔКАВ, ∠K — спільний, тому Доведено.

479. 1) 3 : 4 : 6 = 6 : 8 : 11 — неправильно,

2) ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. 30° : 60° : 90° = 1 : 6 : 3 — правильно, .

480. 1) 4 : 3 : 7 = 8 : 6 : 14 — правильно, ;

2) ∠A1 = 20°, ∠B1 = 50°, ∠C = 110°. 2 : 3 : 4 = 20° : 50° : 110° — неправильно,

481. Мал. 133. ΔABC і ΔLKC — прямокутні, ∠BCA = ∠LCK як вертикальні, (2-й наслідок з 2-ї ознаки подібності трикутників).

Мал. 134. Якщо кут при вершині одного рівнобедреного трикутника дорівнює куту при вершині іншого рівнобедреного трикутника, то ці трикутники подібні,

Мал. 135. ∠C — спільний, ∠CKL = ∠CAB за умовою, тому за двома кутами.

482. Мал. 136. ∠B — спільний, ∠BLK = ∠BCA за умовою, тому за двома кутами.

Мал. 137. ∠PMT = 180° - 110° = 70°, у рівнобедрених трикутників кути при вершині рівні, тому

Мал. 138. Прямокутні трикутники мають спільний гострий ∠C, тому

483. Дано: ABCD — трапеція, АС ∩ ВD = О, АВ || CD.

Довести:

Доведення. АВ || CD, тому ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO як внутрішні різносторонні, отже, за двома кутами. Доведено.

484. Дано: ABCD — трапеція, DC = 5 см, АВ = 10 см, АС ∩ BD = т. О, DO = 4 см, АВ || CD.

Знайти: ВО.

Розв’язання. Розглянемо ΔCOD і ΔАОВ. За умовою CD || АВ, ∠DCO = ∠BAO, ∠CDO = ∠ABO як внутрішні різносторонні, тому за двома кутами.

Відповідь: 8 см.

485. Дано: ABCD — трапеція, DC || АВ, АС ∩ BD = т. О, DO = 3 см, ОВ = 9 см, DC = 2 см.

Знайти: АВ.

Розв'язання. Розглянемо ΔCOD і ΔАОВ. ∠DCO = ∠BAO, ∠OBA = ∠CDO як внутрішні різносторонні, тому за двома кутами, тоді

Відповідь: 6 см.

486. Доведення. Розглянемо ΔAMN і ΔACB, ∠A — спільний, за умовою AM = 3/4АС, AN = 3/4АВ.

за двома пропорційними сторонами і кутом між ними. У подібних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠AMN = 90°. ΔAMN — прямокутний.

487. Доведення. Розглянемо ΔАВС і ΔFBP. ∠В — спільний, за умовою BF = 1/3АB, BP = 1/3ВC. за двома пропорційними сторонами і кутом між ними. У подібних трикутників відповідні сторони пропорційні, тому FP = 1/3АС.

489. Дано:

Знайти: АВ, ВС, АС.

Розв’язання. За умовою ΔАВС і ΔА1В1С1 — рівнобедрені і ∠B = ∠B1, тому

Відповідь: 6, 12, 12.

490. Мал. 139. 1) ∠AMN = ∠BMC — як вертикальні, ∠NAM = ∠MBC як внутрішні різносторонні. за двома рівними кутами.

2) ∠NAM = ∠NDC як відповідні, ∠N — спільний, за двома кутами;

3) ∠D = ∠B як протилежні кути паралелограма, ∠BCM = ∠DNC як внутрішні різносторонні, за двома кутами.

Мал. 140. 1) ∠KBC = ∠KAL — відповідні, К — спільний, за двома кутами;

2) ∠KAL = ∠CDL як відповідні, ∠L — спільний, за двома кутами;

3) ∠KBC = ∠CDL як суміжні з рівними, ∠KCB = ∠CLD як відповідні, за двома кутами.

Мал. 141. Аналогічно з мал. № 139, 140.

491. Дано: ABCD — трапеція, ∠ABC = ∠ACD.

Знайти: подібні трикутники.

Довести: СА2 = ВС ∙ AD.

Доведення. ВС || AD, тому ∠BCA = ∠CAD — внутрішні різносторонні, ∠ABC = ∠ACD — за умовою.

Тому , отже, тоді СА2 = ВС ∙ AD. Доведено.

492. Дано: ΔАВС, ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4. ΔMNK, ∠M на 20° > ∠N, ∠M на 20° < ∠K.

Знайти: чи подібні ΔАВС і ΔMNK.

Розв’язання. ∠A = (2х)°, ∠B = (3x)°, ∠C = (4х)°. Сума кутів трикутника 180°. 2х + 3х + 4х = 180; 9х = 180; х = 20°. ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.

Нехай ∠M у°, тоді ∠N = (у - 20)°, ∠K = (у + 20)°. у + у + 20 + у + 20 = 180; 3у = 180; у = 180 : 3; у = 60. ∠M = 60°, ∠N = 40°, ∠K = 80°.

∠A = ∠N = 40°, ∠B = ∠M = 60°, ∠C = ∠K = 90°, тому

493. Дано:

Знайти: чи подібні ΔАВС і ΔMNK.

Розв’язання. ∠A = х°, ∠B = (3X)°, ∠C = (3х)°. Їх сума 180°. x + 3х + 2x = 180; 6x = 180; x = 180 : 6; x = 30°. ∠A = 30°, ∠B = 90°, ∠C = 60°.

∠N = y°, ∠K = (2y)°, у + 2y = 90; 3у = 90; у = 30°. ∠N = 30°, ∠K = 60°.

∠N = ∠A, ∠K = ∠C, ∠M = ∠B. Отже, Доведено.

494. Дано: ABCD — паралелограм, E ∈ AB, F ∈ ВС, M ∈ CD, N ∈ AD.

Довести: ∠BFE = ∠DNM.

Доведення. Розглянемо ΔBFE і ΔDNM. ∠B = ∠D як протилежні кути паралелограма. За умовою тому за двома пропорційними сторонами і кутом між ними. У подібних трикутників відповідні кути рівні, тому ∠BFE = ∠DNM. Доведено.

495. Дано: AB ∩ CD = т. O,

Довести: ∠BCO = ∠ADO.

Доведення. Розглянемо ΔAOD і ΔВОС. ∠COB = ∠DOA як вертикальні. тому за 1-ю ознакою. У подібних трикутниках відповідні кути рівні, отже, ∠BCO = ∠ADO.

496. Дано: ABCD — трапеція, AD || BC, AC ∩ BD = т. О, BO = 4 CM, DO = 7 CM,

Знайти: BC, AD.

Розв’язання. Розглянемо ΔBOC і ΔDOA. ∠ВСА = ∠DAC, ∠СВО = ∠ADB як внутрішні різносторонні, за двома кутами, тому ВС + AD = 44 см. Нехай BC = x CM, ТОДІ

Відповідь: 16; 28.

497. Дано: ABCD — трапеція, AD || BC, AD = 11 CM, BC = 5 CM, BD ∩ AC = т. O, OD - BO = 3 CM.

Знайти: OD, BO.

Розв’язання. Розглянемо ΔBOC і ΔDOA. ∠ВСО = ∠DAO; ∠СВО = ∠ADO як внутрішні різносторонні, тому за двома рівними кутами. Нехай ВО = х см, тоді

Відповідь: 2,5 см, 5,5 см.

498. Дано: ΔABC, АВ = 9 см, ВС = 12 см, АС = 18 см, К ∈ АС, СK = 6 см, Р ∈ ВС, СР = 4 см.

Знайти: 1) чи подібні ΔABC і ΔКРС; 2) чи АВ || KР; 3) РК.

Розв’язання. Розглянемо ΔABC і ΔКРС. ∠С — спільний, Отже, за першою ознакою.

2) тому ∠СКР = ∠САВ як відповідні, тому АВ || КР.

3) тому

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) 3 см.

499. Дано: ΔABC, MN || АВ, М ∈ АС, N ∈ ВС.

Знайти: АС.

Розв’язання. За лемою тому

Нехай

Відповідь:

500. Дано: ΔABC, KL || BC, BC = 12 CM, KL = 9 CM, KB = 6 CM.

Знайти: AB.

Розв’язання. За лемою тому Нехай АК = x см, тоді АВ = х + 6 см.

Відповідь: 24 см.

501. Розглянемо: ΔABC і ΔBDC: ∠C — спільний. за першою ознакою.

502. Розглянемо ΔABD і ΔАВС: ∠B — спільний. за першою ознакою.

503. Дано:

Знайти: АВ, ВС, АС.

Розв’язання. ΔАВС і ΔА1B1C1 — рівнобедрені, ∠B = ∠B1, тому

Відповідь: 1) АС = 20 см, ВС = АВ = 35 см; 2) АВ = ВС = 24 см, АС = 42 см.

504. Дано:

Знайти: А1B1, B1C1, A1C1.

Розв’язання. ∠A = ∠A1, ΔАВС і ΔА1B1C1 — рівнобедрені, тому

Відповідь:

506. Дано: AM і A1M1 — медіани.

Довести:

Доведення: тому ∠C = ∠C1, а за умовою AM і А1М1 — медіани, отже, i за першою ознакою.

507. Дано: ΔABC, F ∈ ВС, ∠BAF = ∠C, BF = 4 см, АВ = 6 см.

Знайти: ВС.

Розв'язання. Розглянемо ΔАВС і ΔFBA, ∠В — спільний, ∠C = ∠BAF, отже

Відповідь: 9 см.

508. Дано: ΔАВС, К ∈ АС, ∠ABK = ∠C, АВ = 2 см, AK = 1 см.

Знайти: КС.

Розв’язання. Розглянемо ΔАВС і ΔАКВ. ∠А — спільний, ∠АВК = ∠С, тому за двома кутами.

тому KC = 4 – 1 = 3 см.

Відповідь: 3 см.

509. Дано: ΔАВС, ∠А = 90°, К ∈ АB, M ∈ АС, L ∈ ВС, АВ = а см, АС = b см. AKLM — квадрат.

Знайти: сторону квадрата.

Розв’язання. Розглянемо ΔАВС і ΔMLC, ∠А = ∠LMC = 90°, ∠С — спільний, тому тоді Нехай LM = х см, тоді

Відповідь:

510. Дано: ABCD — паралелограм, РABCD = 24 см, ВН : ВК = 5 : 3.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. ABCD — паралелограм, тому ∠A = ∠С, ΔАВН і ΔСВК — прямокутні подібні за гострим кутом.

Відповідь: АВ = CD = 7,5 см, ВС = AD = 4,5 см.

511. Дано: ABCD — паралелограм, РABCD = 30 см, ВН = 4 см, ВК = 8 см — висоти.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. ∠A = ∠С, оскільки ABCD — паралелограм, ∠ВНА = ∠СКВ = 90°, за гострим кутом.

Відповідь: 5 CM, 5 CM, 10 CM, 10 CM.

512. Дано: ΔАВС, AKFP — ромб, P ∈ AB, F ∈ BC, K ∈ AC, CK = 4 CM, PB = 9 CM.

Знайти: сторону ромба.

Розв’язання. Розглянемо ΔABC і ΔPBF, ∠B — спільний, ∠C = ∠PFB як відповідні. за двома кутами. Нехай PF = AM = АР = KF = x.

х2 = 36; х = 6. Сторона ромба 6 см.

Відповідь: 6 см.

513. Дано: ΔABC, АВ = ВС = 10 см, АС = 6 см, вписано коло з центром в т. О, Р і К — точки дотику.

Знайти: РК.

Розв’язання. OS ⊥ АС, OP ⊥ ВС як радіуси, проведені в точки дотику. за гіпотенузою і катетом, тоді SC = PC = 3 см (BS — медіана, бісектриса і висота рівнобедреного ΔABC, AS = SC = 6 : 2 = 3 см). ВР = 10 - 3 = 7 см.

Розглянемо ΔАВС і ΔКРВ. ∠B — спільний, ∠C = ∠BPK — відповідні, тому за двома кутами.

Відповідь: 4,2 см.

514. Якщо середні лінії рівні, то і сторони рівні, тому трикутник — рівносторонній.

515. Доведення. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні, АС = BD. KF — середня лінія ΔABC, KF = 1/2АС; КЕ — середня лінія ΔABD, КЕ = 1/2BD. KF = KE. Доведено.

516. Дано: ΔАВС, АВ = BC, Р ∈ АС, РМ || АВ, РК || ВС.

Знайти: РPKBM.

Розв’язання. РКВМ — паралелограм, МР = КВ, ВМ = КР. КВ + КР = а, РPKBM = 2а см.

517. Дано: ABCD — прямокутник, AM, BN — бісектриси.

Довести: ABMN — квадрат.

Доведення. AM і BN — бісектриси прямих кутів, тому ∠AOB = 90° (AM ∩ BN = О). ABMN — паралелограм, у якого всі кути прямі, діагоналі рівні, отже, він — квадрат.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити