Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 2. Подібність трикутників

§ 16. Властивість бісектриси трикутника

Пояснення

Теорема (властивості бісектриси трикутника). Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

545. 2); 3); 4).

546. Нехай у ΔABC ВР — медіана (мал. 149). Тоді Оскільки АР : АС = 1 : 2, то введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді АР = х, а АС = 2х. За умовою АВ = 4 см, маємо рівняння:

Відповідь: 8 см.

547. У ΔABC ВР — бісектриса, АР = 7 см, АВ : ВС = 1 : 2. Нехай АВ = х, тоді ВС = 2х. Оскільки тоді

Відповідь: 14 см.

548. Дано: ΔABC, BD — бісектриса, AD = 3 см, DC = 9 см.

Знайти: АВ/ВС.

Розв’язання. У ΔABC BD — бісектриса, тоді За умовою AD = 3 см, DC = 9 см, отже Значить,

Відповідь: 1/3.

549. Дано: AMNL, МА — бісектриса, ML = 4 CM, MN = 16 CM.

Знайти: LA/AN.

Розв’язання. У ΔMNK МА — бісектриса, тоді За умовою ML = 4 CM, MN = 16 см, тоді

Відповідь: 4.

550. Дано: ΔKMP, MD — бісектриса, KM = 8 CM, MP = 6 CM, DP = 3 CM.

Знайти: KP.

Розв’язання. За умовою MD — бісектриса ΔKMP, тоді За умовою КМ = 8 см, МР = 6 см, DP = 3 см. Tоді

За властивістю KP = KD + DP, КР = 4 + 3 = 7 см.

Відповідь: 7 см.

551. Дано: ΔABC, ВК — бісектриса, АВ = 6 см, ВС = 12 см, СК = 6 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. У ΔABC ВК — бісектриса, тоді За умовою АВ = 6 см, ВС = 12 см, СК = 6 см, тоді

Відповідь: 3 см.

552. Дано: ΔABC, AL — бісектриса, АВ = 15 см, АС = 12 см, ВС = 18 см.

Знайти: BL, LC.

Розв’язання. За умовою у ΔABC AL — бісектриса, тоді За умовою АВ = 15 см, АС = 12 см, ВС = 18 см.

Нехай CL — х см, тоді LB = 18 - х см.

Отже,

Отже, CL = 8 см, LB = 18 - 8 = 10 см.

Відповідь: 8 см, 10 см.

553. Дано: ΔABC, AD — бісектриса, АВ = 6 см, АС = 8 см, DC - BD = 1 см.

Знайти: РΔABC.

Розв'язання. За умовою задано ΔABC, AD — бісектриса, АВ = 6 см, АС = 8 см, DC - DB = 1 см.

РΔABC = АВ + ВС + АС. Оскільки то нехай DC = х см, тоді BD = x - 1 см. Маємо рівняння: 2x = 8; x = 4. Тоді DC = 4 см, BD = 4 - 1 = 3 см і ВС = BD + DC, ВС = 4 + 3 = 7 см. РΔABC = 6 + 8 + 7 = 21 см.

Відповідь: 21 см. .

554. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, АС = 18 см, АК — бісектриса, КС = 12 см.

Знайти: РΔABC.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС АВ = ВС, АС = 18 см, АК — бісектриса, КС = 12 см. РABC = 2АВ + АС.

Оскільки АК — бісектриса, тоді Нехай ВК = х см, тоді АВ = ВС = (х + 12) см. Маємо рівняння 18x = 12x + 144; 6x = 144; x = 24. Отже, ВК = 24 см, значить, АВ = ВС = 24 + 12 = 36 см. РΔABC = 2 ∙ 36 + 18 = 90 см.

Відповідь: 90 см.

555. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, АС менше АВ на 9 см, КС : ВК = 2 : 5.

Знайти: РΔABC.

Розв’язання. РΔABC = 2АВ + АС. У ΔАВС АВ = ВС, АК — бісектриса, тоді Нехай АВ = x см, тоді АС = (x - 9) см. За умовою КС : ВК = 2 : 5, отже, КС = 2у, ВК = 5у (у — коефіцієнт пропорційності). Маємо рівняння:

Отже, АВ = 15 см, АС = 15 – 9 = 6 см. РΔABC = 2 ∙ 15 + 6 = 36 см.

Відповідь: 36 см.

556. Дано: ΔАВС, АС = 24 см, АВ = 15 см, ВС = 21 см, т. О — центр півкола, т. М і т. N — точки дотику півкола і АВ та ВС.

Знайти: АО, ОС.

Розв’язання. Добудуємо півколо до кола, продовжимо сторони ВА і ВС так, що утвориться ΔBA1C1. ΔВА1С1 — це трикутник, в який вписано коло з центром в точці О. Центр вписаного у трикутник кола є точкою перетину бісектрис ΔBA1C1. Тоді у ΔАВС ВО — також бісектриса ∠ABC. Отже, Нехай ОС = x см, тоді АО = (24 - x) см. За умовою АВ = 15 см, ВС = 21 см, АС = 24 см. Маємо: Отже, ОС = 14 см, АО = 24 - 14 = 10 см.

Відповідь: 10 см, 14 см.

557. Дано: ΔАВС, KLMC — ромб, т. М ∈ ВС, т. К ∈ АС, т. L ∈ АВ, АС = 18 см, ВС = 12 см, АВ = 20 см.

Знайти: AL і LB.

Розв’язання. За умовою ромб KLMC вписано у ΔАВС так, що ∠C — спільний, т. М ∈ ВС, т. К ∈ АС, т. L ∈ АВ. За властивістю ромба CL є бісектрисою ∠MCK. Тоді Нехай AL = х см, тоді BL = (20 - x) см. За умовою АС = 18 см, ВС = 12 см, АВ = 20 см. Маємо: 12x = 360 – 18x; 30x = 360; x = 12. Отже, AL = 12 см, LB = 20 - 12 = 8 см.

Відповідь: 12 см, 8 см.

558. Ні. Якщо AC — діагональ трапеції ABCD є бісектрисою ∠BAD та ∠BCD, тоді ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (∠1 = ∠3 як внутрішні різносторонні кути ВС || AD, АС — січна). Значить, ∠BAD = ∠BCD, а цього бути не може.

559. Якщо у ΔАВС СН — висота і СН2 = АН ∙ ВН, тоді Значить, ∠B = ∠1, ∠A = ∠2. За теоремою ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°. ∠2 + ∠1 + ∠ACB = 180°, оскільки ∠ACB = ∠1 + ∠2, ∠2 + ∠1 + ∠2 + ∠1 = 180°, ∠1 + ∠2 = 180° : 2, ∠1 + ∠2 = 90°. Отже, ∠BCA = 90° і ΔABC — прямокутний.

560. 1. ∠A на 20° більший за ∠B; якщо ∠B = x°, то ∠A = x + 20°. За властивістю ∠A + ∠B = 180°. x + x + 20° = 180°; 2x = 160°; x = 80°. Отже, ∠B = 80°, ∠A = 80° + 20° = 100°.

2. ∠A втричі менший від ∠B; якщо ∠A = x, то ∠B = 3x. x + 3x = 180°, 4x = 180°, x = 45°. Отже, ∠A = 45°, ∠B = 135°.

3. ∠A : ∠B = 7 : 5; тоді ∠A = 7x, ∠B = 5x, маємо 7x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15. Отже, ∠A = 7 ∙ 15° = 105°, ∠B = 5 ∙ 15° = 75°.

45°

75°

80°

75°

100°

105°

75°

135°

К

О

Р

О

Л

Ь

О

В



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити