Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3

§ 20. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

717. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = 5 CM, BC = 12 CM.

Знайти: sin ∠A, cos ∠A.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АС = 5 см, ВС = 12 см, тоді За теоремою Піфагора Тоді

Відповідь: 12/13; 5/13.

718. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см.

Знайти: sin ∠B, cos ∠B.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠С = 90°, АС = 7 см, ВС = 24 см, тоді За теоремою Піфагора АВ2 = ВС2 + АС2. Отже, Тоді

Відповідь: 7/25; 24/25.

719. 1) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, ВС = a, ∠B = β.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, ВС = а, ∠В = β. Тоді АС = ВС ∙ tg ∠B; АС = a tg β.

Відповідь: а ∙ tg β.

2) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = b, ∠А = α.

Знайти: АВ.

За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, АС = b, ∠A = α. Тоді

Відповідь:

723. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = 4√3 CM, ∠A = 30°. Знайти: AB.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 5√2 CM, ∠B = 45°. Знайти: AC.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°,

1) Оскільки АС = 4√3 CM, ∠A = 30°, то маємо:

Відповідь: 8 см.

2) Оскільки АВ = 5√2 см, ∠B = 45°, то

Відповідь: 5 см.

724. 1) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ВС = 6√3 см, АВ = 30°. Знайти: АВ.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АВ = 10√2 см, ∠A = 45°. Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°.

1) Оскільки ВС = 6√3 CM, ∠B = 30°, то

Відповідь: 12 см.

2) Оскільки АВ = 10√2 см, ∠A = 45°, то

Відповідь: 10 см.

727. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, BC = 5 CM, ∠A = 42°. Знайти: AB.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, ВС = 5 см, ∠A = 42°. Тоді

Відповідь: 7,48 см.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АВ = 10 см, ∠B = 37°. Знайти: ВС.

Розв'язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, АВ = 10 см, ∠B = 37°. Тоді ВС = АВ ∙ cos ∠B, ВС = 10 ∙ cos 37° = 10 ∙ 0,799 = 7,99 см.

Відповідь: 7,99 см.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 4 см, ∠A = 82°. Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, АС = 4 см, ∠A = 82°. Тоді ВС = АС ∙ tg ∠A; ВС = 4 ∙ tg 82° = 4 ∙ 7,116 = 28,46 см.

Відповідь: 28,46 см.

728. 1) Дано: AABC, ZC = 90°, АВ = 8 см, ZA = 15°. Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, АВ = 8 см, ∠A = 15°, тоді АС = АВ ∙ cos ∠A, АС = 8 ∙ cos 15° = 8 ∙ 0,966 = 7,63 см.

Відповідь: 7,73 см.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ВС = 9 см, ∠A = 43°. Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, ВС = 9 см, ∠A = 43°, тоді

Відповідь: 13,20 см.

3) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 5 CM, ∠B = 29°. Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АС = 5 CM, ∠B = 29°, тоді

Відповідь: 9,03 CM.

729. 1) Для того щоб побудувати ∠A, треба:

1. Побудувати прямий кут, ∠C.

2. На одній його стороні відкласти відрізок СА = 5 одиничним відрізкам.

3. На другий стороні прямого кута відкласти відрізок СВ = 3 одиничним відрізкам.

4. З’єднати т. А та т. В.

У прямокутному трикутнику

2) Для того щоб побудувати ∠A, sin ∠A = 1/7, треба:

1. Побудувати прямий кут С.

2. На одній його стороні відкласти відрізок АС = 1 одиничному відрізку.

3. Із точки В, як із центра, радіусом, що дорівнює 7 таким самим одиничним відрізкам, описати дугу до перетину з іншою стороною прямого кута. Точку перетину позначити А. З’єднати т. А і т. В, отримаємо прямокутний трикутник ABC.

Кут А буде шуканим, оскільки sin ∠A = 1/7.

3) Для того щоб побудувати ∠A, cos ∠A = 2/3, треба:

1. Побудувати прямий кут С.

2. На одній з його сторін від вершини відкласти відрізок АС = 2 одиничним відрізкам. .

3. Із точки А, як із центра, радіусом, що дорівнює 3 таким самим одиничним відрізкам, описати дугу до перетину з іншою стороною прямого кута. Позначити точку В.

4. З’єднаємо т. А і т. В, отримаємо прямокутний ΔABC.

∠A — шуканий, оскільки cos ∠A = 2/3.

730. Аналогічно № 729.

731. Дано: ABCD — прямокутник, АС = a, ∠ACB = β.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD, тоді РABCD = (AB + ВС) ∙ 2.

У ΔABC ∠B = 90°, АС = a, ∠ACB = β.

Тоді АВ = АС ∙ sin ∠ACB, ВС = АС ∙ cos ∠ACB; АВ = а ∙ sin α, BC = а ∙ cos β.

PABCD = (а sin α + а cos β) ∙ 2 = 2a(sin β + cos β).

Відповідь: 2a(sin β + cos β).

732. Дано: ABCD — прямокутник, АВ = b, АС — діагональ, ∠ACB = α.

Знайти: SABCD.

За умовою задано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ ∙ ВС, АВ = b за умовою. У ΔАВС ∠B = 90°, ∠ACB = α, тоді

Відповідь:

733. Дано: ABCD — ромб, ∠ABC = 42°, АС = 6 cм.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді за властивістю АС ⊥ BD. BO = OD; АО = ОС, BD і АС — бісектриси кутів ромба.

У ΔBOC Маємо: Тоді BD = 7,81 ∙ 2 = 15,62 CM.

Відповідь: 15,62 CM.

734. Дано: ABCD — ромб, АВ = 8 CM, ∠ABC = 78°.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді за властивістю BD ⊥ АС, BD і AC — бісектриси кутів ромба, BO = OD, АО = ОС. У ΔАОВ ∠AOB = 90°, АВ = 8 см, Тоді ВО= АВ ∙ cos ∠AOB, ВО = 8 ∙ cos 39° = 8 ∙ 0,777 = 6,23 см. Тоді BD = 2 ∙ 6,23 = 12,46 см.

Відповідь: 12,45 см.

735. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = с, ∠A = α, СК — висота.

Знайти: СК.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, СК — висота, тоді За умовою АВ = с, ∠A = α, тоді у ΔABC АС = с ∙ cos α; СВ = с ∙ sin α. За властивістю ВС2 = КВ ∙ АВ. АС2 = АК ∙ АВ. Тоді Отже,

736. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°, СК — висота, CK = h, ∠A = β.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠ACB = 90°, СК — висота, СК = h, ∠A = β. У ΔACK ∠AKC = 90° (СК — висота за умовою), тоді За властивістю AC2 = АК ∙АВ, тоді

737. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ : ВС = 8 : 5.

Знайти: ∠A, ∠B.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АВ : ВС = 8/5. Тоді За означенням отже, cos ∠B = 5/8 = 0,625, тоді ∠B ≈ 39°. За теоремою ∠A + ∠B = 90°, отже, ∠A = 90° - 39° = 51°.

Відповідь: 51°, 39°.

738. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС : СВ = 9 : 5.

Знайти: ∠A, ∠B.

Розв'язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АС : СВ = 9 : 5. За означенням tg ∠B = 9/5 = 1,8, отже, ∠B ≈ 29°. За теоремою ∠A + ∠B = 90°, ∠A = 90° — 39° = 61°.

Відповідь: 61°, 29°.

739. а) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 6 CM, cos ∠B = 0,8.

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, АС = 6 см, cos ∠B = 0,8. Оскільки то Нехай х — коефіцієнт пропорційності, отже, СВ = 4х см, АВ = 5х см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2, маємо: (5х)2 = 62 + (4х)2; 25х2 - 16х2 = 36; 9х2 = 36; х2 = 4; х = 2. Тоді СВ = 4 ∙ 2 = 8 см, АВ = 5 ∙ 2 = 10 см.

Відповідь: 10 см, 8 см.

б) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 13 см, tg ∠A = 5/12.

Знайти: АС, ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 13 см, tg ∠A = 5/12. Оскільки тоді Маємо: СВ = 5х см. АС = 12х см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2, отже, 132 = (5х)2 + (12х)2; 169х2 = 169; х2 = 1; х = 1. Отже, АС = 12 ∙ 1 = 12 см, ВС = 5 ∙ 1 = 5 см.

Відповідь: 12 см, 5 см.

740. а) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 4 см, sin ∠A = 0,6.

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АС = 4 см, sin ∠A = 0,6. Оскільки тоді Маємо: СВ = 3х см, АВ = 5х см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2, тоді (5х)2= (3х)2 + 42; 16х2 = 16; х2 = 1 ; х = 1. Отже, СВ = 3 ∙ 1 = 3 см, АВ = 5 ∙ 1 = 5 см.

Відповідь: 5 см, 3 см.

б) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 34 см, tg ∠B = 8/15.

Знайти: АС, ВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 34 см, tg ∠B = 8/15. Оскільки то і АС = 8х см, СВ = 15х см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2, маємо: 342 = (8х)2 + (1,5х)2; 1156 = 289х2; х2 = 4; х = 2. Отже, АС = 8 ∙ 2 = 16 см, ВС = 15 ∙ 2 = 30 см.

Відповідь: 16 см, 30 см.

741. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, ∠A = α, AD = 2а, ВС = 2b.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, у якої АВ = CD, ∠A = α, AD = 2а, ВС = 2b. Опустимо висоту ВК, тоді ∠AKB = 90°. Розглянемо ΔАВК, Тоді

742. Дано: ∠ACB = ∠K = 90°, АС = b, ∠ABC = β, ∠BCK = γ.

Знайти: ВС, СК, КВ.

Розв'язання. Розглянемо ΔABC та ΔСКВ, за умовою ∠ACB = ∠K = 90°, отже, вони прямокутні. У ΔАСВ АС = b, ∠АВС = β, тоді У ΔСКВ ∠BCK = γ, тоді

Відповідь:

743. Мал. до № 742. Дано: ΔАВС, ∠ACB = ∠K = 90°, BK = a, ∠ABC = β, ∠BCK = α.

Знайти: ВС, AC, AB.

Початок розв’язання, як у № 742.

У ΔСКВ BK = a, ∠BCK = α, тоді

У ΔАВС

Відповідь:

744. Дано: ABCD — прямокутник, AB = 19 CM, BC = 50 CM.

Знайти: ∠BOA.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD, тоді всі його кути дорівнюють 90°, ВС = AD, AB = CD.

У ΔABD АВ = 19 CM, AD = 50 CM, ∠BAD = 90°. тоді ∠ABD = 69°21'. У прямокутнику ABCD за властивістю BD = АС, BO = OD = ОС = АО. Розглянемо ΔАОВ: AO = ОВ, тоді ∠ABO = ∠BAP = 69°21'. За теоремою ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB =180°, тоді ∠AOB = 180° - 69°21' - 69°21' = 41°36'.

Відповідь: 41°36'.

745. Дано: ABCD — ромб, АС = 10 CM, BD = 12 см.

Знайти: ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB.

Розв'язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді за властивістю BD ⊥ АС, BO = OD, ОА = ОС, BD та АС — бісектриси кутів ромба, ∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB. За умовою AB = 10 см, BD = 12 см, отже, AO = 5 см, BO = 6 см.

У ΔАВО ∠AOB = 90°, тоді ∠ABO = 39°48', отже, ∠ABC = 2 ∙ ∠ABO, ∠ABC = 78°36'. ∠BAO = 90° - ∠ABO; ∠BAO = 90° - 39°48' = 50°12'. Отже, ∠DAB = 50°12' ∙ 2 = 100°24'.

Відповідь: ∠ABC = ∠CDA = 78°36', ∠BCD = ∠DAB = 100°24'.

746. Дано: ΔABC, AB = BC = m, ∠A = α, коло вписане у ΔABC, OK = r, BK — висота.

Знайти: OK.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, AB = ВС, ВК — висота, коло вписане у ΔABC, тоді т. О — центр кола — є точкою перетину бісектрис ΔАВС. У ΔАОК ∠AKO = 90°, OK = АК ∙ tg ∠OAK, ∠OAK = 1/2∠BAC; ∠OAK = α/2. У ΔАВК ∠AKB = 90°, АВ = m, ∠BAK = α (за умовою). АК = АВ ∙ cos ∠BAK, АК = m ∙ cos α. Тоді ОК = m ∙ cos α ∙ tg α/2.

Відповідь: m ∙ cos α ∙ tg α/2.

747. Дано: ΔABC, АВ = ВС, коло вписане у ΔABC, OK = r, ВК — висота, ∠BAK = β.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС. АВ = ВС, ВК — висота, коло вписане у ΔАBС. Тоді т. О — центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис кутів ΔАВС.

У ΔAВК ∠BKA = 90° (ВК — висота за умовою), ∠BAK = β, У ΔАКО

Відповідь:

748. Дано: ABCD — паралелограм, ∠A = 45°, ∠CBD : ∠DBA = 1 : 2. РАВСD = 20 см.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано паралелограм ABCD, ∠A = 45°, за властивістю ∠CBA + ∠A = 180°, отже, ∠CBA = 180° - 45° = 135°. За умовою ∠CBD : ∠DBA = 2 : 1, а ∠CBA = ∠CBD + ∠DBA. Нехай ∠CBD = х, тоді ∠DBA = 2х, отже, х + 2х = 135°, 3х = 135°, отже, ∠CBD = 45°, ∠DBA = 90°.

У ΔABD ∠DBA = 90°, ∠A = 45°, тоді за властивістю ∠ADB = 90° - ∠A, ∠ADB = 90° - 45° = 45°, значить, BD = АВ. За умовою РАВСD = 20 см, тоді АВ + AD = 10 см. Нехай АВ = х см, тоді AD = 10 - х см. За теоремою Піфагора AD2 =АВ2 + BD2:

— не є розв’язком задачі.

Отже, BD = 10√2 - 10 = 10(√2 - 1) см.

Відповідь: 10(√2 - 1) см.

749. Дано: ABCD — паралелограм, РАВСD = 24 см, ∠A = 60°, ∠CBD : ∠DBA = 1 : 3.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано паралелограм ABCD, ∠A = 60°, тоді за властивістю ∠ABC = 180° - ∠A, ∠ABC = 180° - 60° = 120°, ∠ABC = ∠CBD + ∠DBA. За умовою ∠CBD : ∠DBA = 1 : 3. Нехай ∠CBD = х, тоді ∠DBA = 3x, отже, x + 3x = 120°, x = 30°. Значить, ∠CBD = 30°, ∠DBA = 3 ∙ 30° = 90°.

У ΔABD ∠ABD = 90°, ∠A = 60°, тоді ∠ADB = 90° - 60° = 30° і АВ = 1/2AD. За умовою РАВСD = 24 см, тоді АВ + CD = 12 см. Нехай АВ = x см, AD = 12 - x CM, тоді Значить, AB = 4 CM, AD = 12 - 4 = 8 CM. Із теореми Піфагора

Відповідь: 4√3 CM.

750. Дано: ΔАВС, ВС = 10 CM, ∠ACB = 135°, ∠B = 30°, AM — висота.

Знайти: AM.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠В = 30°, ∠AMC = 90°, AM — висота, тоді ∠MCA = 180° - 135° = 45°. Отже, у ΔАМС ∠САМ = 90° - 45° = 45° і МС = AM. У ΔAMB ∠В = 30°, за властивістю AB= 2АМ. Нехай AM = МС = х см, тоді AB = 2х CM, MB = (х + 10) см. За теоремою Піфагора

— не є розв’язком задачі. Тоді

Відповідь: 5(1 + √3) см.

751. Дано: ΔАВС, АС 8 см, ∠A = 45°, ∠С = 60°, ВК — висота.

Знайти: ВК.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠А = 45°, ∠С = 60°, ВК — висота, тоді ∠АКВ = ∠ВКС = 90°. У ΔАВК ∠А = 45°, тоді ∠АВК = 90° - 45° = 45°, тоді АК = ВК. Нехай АК = х, тоді КС = 8 - x (за умовою АС = 8 см і АС = АК + КС). У ΔВКС ВК = х, КС = 8 - х, ∠С = 60°, тоді ∠СВК = 90° - 60° = 30°, ВС = 2 ∙ (8 - х). За теоремою Піфагора

(не є розв’язком задачі, оскільки є від’ємним числом). х2 = 12 - 4√3, отже,

Відповідь: 4(3 - √3) см.

752. Дано: пряма а, ВС ⊥ а, АВ — похила, AB = 2ВС.

Знайти: ∠А.

Розв’язання. За умовою задано пряму а, ВС ⊥ а, АВ — похила, АВ = 2ВС. Тоді ∠ВСА = 90°, отже, АВ — гіпотенуза, ВС — катет, тоді ∠A = 30° за властивістю.

Відповідь: 30°.

753. Дано: ΔАВС, ∠АСВ = 90°, CD ⊥ АВ, АС = 12 см, AD = 7,2 см.

Знайти: PΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠АСВ = 90°, CD ⊥ АВ. PΔABC = АВ + ВС + АС. За умовою АС = 12 см, AD = 7,2 см, тоді за властивістю АС2 = АВ ∙ AD і Із теореми Піфагора

Відповідь: 48 см.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити