Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3

§ 21. Розв’язування прямокутних трикутників

756. 1) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ = 10 см, ∠А = 30°. Знайти: ВС, АС, ∠В.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = 30°, тоді ∠В = 90° - ∠А, маємо: ∠В = 90° - 30° = 60°. ВС = АВ ∙ cos ∠В, АС =АВ ∙ sin ∠В. За умовою АВ = 10 см, тоді ВС = 10 ∙ cos 60° = 10 ∙ 1/2 = 5 см.

Відповідь: 4 см, 5√3 см, 30°.

2) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, ∠В = 45°, АВ = 8 дм. Знайти: АС, ВС, ∠А.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠С = 90°, ∠В = 45°, тоді ∠А = 90° - ∠В, ∠А = 90° - 45° = 45°, значить, ВС = АС. ВС = АВ ∙ cos ∠В; Значить, АС = 4√2 дм.

Відповідь: 4√2 дм, 4√2 дм, 45°.

3) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ = 15 см, ∠А = 15°. Знайти: ВС, АС, ∠В.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = 18°, тоді ∠В = 90° - ∠А,

Відповідь: 14,27 см, 4,64 см, 72°.

4) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ = 12 дм, ∠В = 73°. Знайти: ВС, АС, ∠А.

Розв’язання.

Відповідь: 3,51 дм, 11,48 дм, 17°.

757. 1) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ = 6 дм, ∠А = 45°.

Знайти: АС, ВС, ∠В.

Розв’язання. ∠В = 90° - ∠А, ∠В = 90° - 45° = 45°, отже, АС = ВС.

Відповідь: 3√2 дм, 3√2 дм, 45°.

2) Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ = 14 см, ∠В = 60°. Знайти: АС, ВС, ∠А.

Розв’язання. ∠А = 90° - 60°; ∠А = 30°, тоді СВ = 1/2АВ за властивістю.

Відповідь: 7√3 см, 7 см, 30°.

3) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = 82°, АВ = 8 дм. Знайти: АС, ВС, ∠В.

Розв’язання.

Відповідь: 1,11 дм, 7,93 дм, 8°.

4) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 3 см, ∠B = 25°. Знайти: АС, ВС, ∠А.

Розв’язання.

Відповідь: 1,27 см, 2,76 см, 65°.

758. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠B = 30°, АС = 8 CM. Знайти: АВ, ВС, ∠A.

Розв’язання. ∠A = 90° - ∠B, ∠A = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 16 см, 8√3 см, 60°.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 13 см, ∠A = 24°. Знайти: АВ, ВС, ∠B.

Розв’язання.

Відповідь: 14,23 см, 5,79 см, 66°.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ВС = 8 дм, ∠A = 42°. Знайти: АВ, АС, ∠B.

Розв’язання. ∠B = 90° - ∠A, ∠B = 90° - 42° = 48°.

Відповідь: 8,97 дм, 6,66 дм, 48°.

4) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ВС = 5 см, ∠B = 45°. Знайти: АВ, ВС, ∠A.

Розв’язання. ∠A = 90° - ∠B, ∠A = 90° - 45° = 45°, тоді АС = ВС = 5 см. АВ = ВС : cos ∠B, АВ = 5 : cos 45° = 5√2 см.

Відповідь: 5√2 см, 5 см, 45°.

759. 1) ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°, АС = 15 см. Знайти: ВС, АВ, ∠B.

Розв’язання. ∠B = 90° - ∠A, ∠B = 90° - 60° = 30°.

Відповідь: 25,98 см, 30 см, 30°.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠B = 12°, АС = 6 дм. Знайти: ВС, АВ, ∠A.

Розв’язання.

Відповідь: 1,28 дм, 6,13 дм, 78°.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ВС = 8 см, ∠B = 71°. Знайти: АВ, АС, ∠A.

Розв’язання.

Відповідь: 24,57 см, 23,24 см, 19°.

4) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ВС = 10 дм, ∠A = 45°. Знайти: АВ, АС, ∠B.

Розв’язання. ∠B = 90° - ∠A, ∠B = 90° - 45° = 45°, тоді ВС = АС = 10 дм.

Відповідь: 5√2 дм, 10 дм, 45°.

760. Дано: ABCD — прямокутник, АС = 6 CM, ∠АСВ = 25°.

Знайти: АВ, ВС, ∠ACD.

Розв’язання, За умовою задано прямокутник ABCD, отже, ∠В = ∠BCD = ∠D = ∠DAB = 90°.

∠BCD = ∠ВСА + ∠ACD. За умовою ∠ACB = 25°, ∠ACD = 90° - 25° = 65°. У ΔABC ∠В = 90°, ∠ACB = 25°, АС = 6 CM.

Відповідь: 2,54 CM, 5,44 CM, 65°.

761. Дано: пряма а, т. А ∉ а, АС ⊥ а, АВ — похила, АВ = 6 см, ∠В = 52°.

Знайти: АС, СВ, ∠А.

Розв’язання. За умовою задано пряму о, точка А, що не належить цій прямій, АС ⊥ а, АВ — похила. Тоді ∠АСВ = 90° і ΔABC — прямокутний, тоді ∠А = 90° - ∠В. За умовою ∠В = 52°, тоді ∠А = 90° - 52° = 38°. АС = АВ ∙ sin ∠В, СВ = АВ ∙ cos ∠В. За умовою АВ = 6 см, тоді

Відповідь: 4,73 см, 3,6 см, 38°.

762. Дано: ΔABC, ∠С = 90°, ∠В = 27°, ВС = 40 м.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠С = 90°, ∠В = 27°, ВС = 40 м, тоді

Відповідь: 20,38 м.

763. Дано: ΔABC, ∠С = 90°, ВС = 80 м, ∠В = 57°.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠С = 90°, ∠В = 57°, ВС = 80 м, тоді АВ = 80 : cos 57° = 80 : 0,5456 = 146,9 м.

Відповідь: 146,9 м.

764. 1) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 4 см, ВС = 4√3 см. Знайти: АВ, ∠А, ∠В.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 4 см, ВС = 4√3 см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2; отже, ∠А = 60°. ∠А + ∠В = 90°, отже, ∠В = 90° - 60° = 30°.

Відповідь: 8 см, 60°, 30°.

2) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 8 дм, ВС = 5 дм. Знайти: АВ, ∠А, ∠В.

Розв’язання. У ΔАВС ∠С = 90°, тоді АВ2 = АС2 + ВС2 за теоремою Піфагора. За умовою АС = 8 дм, ВС = 15 см. тоді ∠A = 90° - 28°4' = 61°56'.

Відповідь: 17 см, 61°56', 28°4'.

3) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 3 см, ВС = 9 см. Знайти: АВ; ∠А, ∠В.

Розв’язання. У ΔАВС ∠С = 90°, тоді АВ2 = АС2 + ВС2. За умовою АС = 3 см, ВС = 9 см, тоді тоді ∠A = 90° - 18°26' = 74°34'.

Відповідь: 9,49 CM, 74°34', 18°26'.

4) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 7m дм, ВС = 24m дм.

Знайти: АВ, ∠A, ∠B.

Розв’язання. За теоремою Піфагора

Відповідь: 25m дм, 73°44', 16°16'.

765. 1) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, AC = 2√3 CM, BC = 2 CM.

Знайти: AB, ∠A, ∠B.

Розв’язання. (за теоремою Піфагора). тоді ∠B = 60°. ∠A + ∠B = 90°, ∠A = 90° - 60° = 30°.

Відповідь: 4 CM, 30°, 60°.

2) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, AC = 8 CM, BC = 6 CM.

Знайти: AB, ∠A, ∠B.

Розв’язання. 3a теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2; ∠B = 53°8', тоді ∠A = 90° - 53°8' = 36°52'.

Відповідь: 10 CM, 36°52', 53°8'.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = 2 дм, BC = 5 дм.

Знайти: AB, ∠A, ∠B.

Розв’язання. За теоремою Піфагора АВ2 = ВС2 + АС2; тоді

Відповідь: 5,39 дм, 68°12', 21°48'.

4) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = 9k дм, BC = 40k дм.

Знайти: AB, ∠A, ∠B.

Розв’язання. За теоремою Піфагора АВ2 = ВС2 + АС2;

Відповідь: 41k дм, 77°19', 12°41'.

766. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 6 CM, AC = 3√3 CM.

Знайти: BC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 3 CM, 60°, 30°.

2) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 65 дм, BC = 16 дм.

Знайти: BC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 67 дм, 14°15', 75°45'.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 7 CM, AC = 4 CM.

Знайти: BC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: √33 CM, 55°9', 34°51'.

4) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ДВ = 13a CM, BC = 5a CM.

Знайти: AC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 12 CM, 22°37', 67°23'.

767. 1) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, AB = 7 CM, AC = 4√2 CM.

Знайти: BC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

тоді ∠A = 45°.

Відповідь: 4√2 см, 45°, 45°.

2) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АВ = 37 дм, ВС = 12 дм.

3найти: АС, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 35 дм, 18°55', 71°5'.

3) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 10 CM, AC = 7 CM.

Знайти: BC, ∠A, ∠B.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: √51 CM, 45°34', 44°26'.

4) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AB = 61b дм, BC = 60b дм.

Знайти: AC, ∠A, ∠B.

Розв'язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 11b дм, 78°37', 10°23'.

768. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, BC = 5 M, AC = 2,6 м.

Знайти: ∠A.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, BC = 5 м,

Відповідь: 62°32'.

769. Дано: ΔABC, АС = 10 м, СВ = 500 м.

Знайти: ∠B.

Розв'язання. За умовою задано ΔАВС, АС = 10 м, СВ = 500 м.

Відповідь: 1°9'.

770. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, AD = 10 м, ∠A = 35°, ВК — висота, ВК = 2 м.

Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, АВ = CD, ВК — висота, тоді ∠BKA = 90°. У ΔАВК ∠A = 35°, ВК = 2 м, тоді Оскільки трапеція рівнобічна, тоді ВС = AD - 2АК; ВС = 10 - 2 ∙ 2,856 = 4,29 м.

Відповідь: 4,29 м.

772. Дано: ABCD — ромб, АС = 16 CM, BD = 30 см.

Знайти: РАВСD.

Розв'язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді РАВСD = 4 ∙ АВ. За властивістю ромба BD ⊥ АС, BO = OD, АО = ОС. У ΔАВО За умовою BD = 30 см, АС = 16 см, тоді За теоремою Піфагора РАВСD = 17 ∙ 4 = 68 см.

Відповідь: 68 см.

773. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ВС = 12 см, sin ∠B = 3/5.

Знайти: РΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, РΔABC = АВ + ВС + АС, за умовою ВС = 12 см, Нехай АВ = х см, тоді За теоремою Піфагора Тоді

Відповідь: 36 см.

774. Дано: ΔАВС, ∠BCA = 90°, СD — бісектриса, АD = 30 см, BD = 40 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠BCA = 90°, СD — бісектриса, тоді за властивістю бісектриси. За умовою AD = 30 см, BD = 40 см, маємо; отже, Нехай АС = х см, ВС = 4/3х см. За теоремою Піфагора у ΔАВС АВ2 = АС2 + ВС2; АВ = ВD + АD, АВ = 30 + 40 = 70 см.

Отже, AC = 42 CM.

Відповідь: 42 CM.

Домашня самостійна робота № 4

1 — В; 2 — Б; 3 — А; 4 — Б; 5 — Г; 6 — В; 7 — Б; 8 — Б; 9 — Г; 10 — В; 11 — А; 12 — В.

Завдання для перевірки знань до § 18-21

4. Дано: ABCD — ромб, AB = 25 CM, AC = 14 CM.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді BD ⊥ АС, BO = OD, АО = ОС. У ΔАВО ∠BOA = 90°, АВ = 25 см.

(АС = 14 за умовою).

Із теореми Піфагора

Тоді BD = 24 ∙ 2 = 48 см.

Відповідь: 48 см.

5. Дано: пряма m, т. А ∉ m, АС ⊥ m, АВ — похила, АС = 6 см, ∠B = 30°.

Знайти: АВ, СВ.

Розв’язання. За умовою задано пряму m, точку А, що не належить прямій m. АС ⊥ m, тоді ∠C = 90°. У ΔАСВ АС = 6 см, ∠B = 30°. Отже, за властивістю АВ = 2АС, АВ = 2 ∙ 6 = 12 см.

Із теореми Піфагора СВ2 = АВ2 — АС2;

Відповідь: 12 см, 6√3 см.

7. Дано: ΔABC, ∠A — тупий, ВС = 20 см, АВ = 15 см, ВK — висота, ВK = 12 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠A — тупий, ВK — висота, тоді ∠K = 90°. У ΔВKС ВK = 12 см, СВ = 20 см.

Із теореми Піфагора

У ΔАВK ∠K = 90°, KВ = 12 см, АВ = 15 см. Із теореми Піфагора АС = СK = АK, АС = 16 - 9 = 5 см.

Відповідь: 5 см.

8. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АС = 24 CM, sin ∠A = 5/13.

Знайти: РΔABC.

Розв’язання. РΔABC = АВ + ВС + АС.

За умовою у ΔABC ∠C = 90°, АС = 24 см, тоді Нехай АВ = x см, СВ = 5/13x см. За теоремою Піфагора Отже,

РΔABC = 24 + 26 + 10 = 60 см.

Відповідь: 60 см.

9. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, АD — бісектриса, CD = 6 см, DB = 10 см.

Знайти: АВ, АС, СВ.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ∠C = 90°, CD = 6 см, DB = 10 см, AD — бісектриса. СВ = CD + DB, CB = 6 + 10 = 16 см. За властивістю бісектриси маємо: Нехай AB = x см, тоді AC = 3/5x см. За теоремою Піфагора Отже,

Відповідь: 20 CM, 12 CM, 16 CM.

10. Дано: ΔАВС, AB = 13 CM, BC = 4 CM, AC = 15 CM, DB ⊥ AC.

Знайти: AD, DC.

Розв’язання. У ΔАВС DB ⊥ AC, тоді ∠BDA = ∠BDC = 90°, АС = АD + DС. Нехай DС = x см, тоді АD = 15 - x см, ВС = 4 см, АС = 15 см за умовою.

Знайдемо ВD з ΔAВD та ΔВСD за допомогою наслідку з теореми Піфагора.

Отже, DС = 2,4 см, АD = 15 - 2,4 = 12,6 см.

Відповідь: 12,6 см, 2,4 см.

11. Дано: ABCD — ромб, АС = 6 см, ВD = 12 см.

Знайти: ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA, ∠DAB.

Розв’язання. За умовою задано ромб АВСD, тоді ВD ⊥ АС, ВD і АС — бісектриси кутів ромба; АО = ОС, BO = OD, ∠ABC = ∠CDA, ∠BAD = ∠BCD за властивістю ромба.

У ДΔВО

(за умовою ВD = 12 см, АС = 6 см).

отже, ∠ABO = 90° - 63°26' = 26°34'. Маємо: ∠ABC = 2∠ABO, ∠ABC = 2 ∙ 26°34' = 53°08', тоді ∠CDA = 53°14'. ∠BAD = ∠BCD = 2 ∙ ∠BAO, ∠BAD = ∠BCD = 2 ∙ 63°26' = 126°52'.

Відповідь: ∠ABC = ∠CDA = 53°8', ∠BCD = ∠BAD = 126°52'.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити