Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3

Вправи для повторення розділу З

До § 18

776. 1) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, а = ВС = 11 cм, b = АС = 60 см. Знайти: с = АВ.

Розв'язання. У ΔАВС: ∠C = 90°, тоді за теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2. За умовою ВС = 11 см, АС = 60 см, тоді

Відповідь: 61 см.

2) Дано: с = 13 см, b = 12 см. Знайти: а.

Розв’язання. Із теореми Піфагора За умовою

Відповідь: 5 см.

3) Дано: а = 24 см, с = 25 см. Знайти: b.

Розв’язання: Із теореми Піфагора За умовою

Відповідь: 7 см.

777. Дано: ABCD — квадрат, АВ = 5 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано квадрат ABCD, тоді АВ = ВС = CD = AD = 5 м (за умовою). Усі кути квадрата прямі. У ΔАВС ∠B = 90°. За теоремою Піфагора

Відповідь: 5√2 см.

778. Дано: ΔАВС, АВ = АС = 37 см, ВС = 24 см. АК — висота.

Знайти: АК.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = АС = 37 см, ВС = 24 см. АК — висота. За властивістю рівнобедреного три. кутника АК — медіана, отже, СК = КВ. У ΔАКС ∠AKC = 90°, Із теореми Піфагора

Відповідь: 35 см.

779. 1) Якщо трикутник прямокутний, тоді за теоремою Піфагора с2 = а2 + b2. За умовою а : b : с = 3 : 4 : 5, тоді а = 3х, b = 4х, с = 5х, маємо: 25х2 = 9х2 + 16х2; 25x2 = 25x2, отже, такий трикутник прямокутний.

2) Аналогічно 1). а = 6х, b = 7x, с = 10x. 100x2 = 36x2 + 49x2; 100x2 = 85x2, рівність неправильна, отже, такий трикутник не є прямокутним.

780. Дано: ABCD — прямокутник, SABCD = 12 см2, АВ = 3 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD, тоді всі його кути по 90°. SABCD = 12 см2 і SABCD = АВ ∙ ВС. АВ = 3 см за умовою, 3 ∙ ВС = 12; ВС = 4 см. У ΔАВС ∠B = 90°, ВС = 4 см, АВ = 3 см, тоді АС = 5 см (ΔАВС — єгипетський).

Відповідь: 5 см.

781. Дано: коло, т. О — центр, АВ — дотична, ОС = 3 см, СВ = 2 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою задано коло з центром в точці О. АВ — дотична, ОА — радіус кола, отже, за теоремою ОА ⊥ АВ і ∠OAB = 90°. ОА = ОС = r. За умовою ОС = 3 см, ОB = ОС + СВ, тоді ОВ = 3 + 2 = 5 см, отже, АВ = 4 см (ΔОАВ — єгипетський).

Відповідь: 4 см.

782. Дано: ABCD — трапеція, ∠A = 90°, ВС = 8 см, AD = 17 см, CD = 15 см.

Знайти: РAВСD.

Розв’язання. РАВСD = АВ + ВС + CD + AD. За умовою у трапеції ABCD ∠A = 90°, ВС = 8 см, AD = 17 см, CD = 15 см. Опустимо висоту СК. Знайдемо АВ. АВ = СК (як висоти трапеції). AD = АК + KD. За властивістю прямокутної трапеції АК = ВС.

У ΔCKD ∠CKD = 90°. KD = AD - АК, KD = 17 - 8 = 9 см. Із теореми Піфагора

СК = АВ, отже, АВ = 12 см. PABCD = 8 + 17 + 15 + 12 = 52 см.

Відповідь: 52 см.

783. Дано: ABCD — трапеція, АВ = CD, ВК — висота, AD = 26 см, ВК = 12 см, BD = 20 см.

Знайти: ВС, АВ.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, АВ = CD, тоді ВС = AD - 2АК. За умовою AD = 26 см, ВК = 12 см, BD = 20 см. У ΔBKD з теореми Піфагора. Тоді АК = AD - KD = 26 - 16 = 10 см, отже, ВС = 26 - 2 ∙ 10 = 6 см.

У ΔАВК ∠BKA = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = ВК2 + АК2;

Відповідь: 6 см, 2√61 см.

784. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°, СК — медіана, СК = 15 см, СВ : АС = 3 : 4.

Знайти: РΔАВС.

Розв’язання. РΔАВС = АВ + ВС + АС. За умовою задано ΔАВС, ∠ACB = 90°, СК — медіана, тоді за теоремою СК = 1/2АВ, отже, АВ = 2СК. За умовою СК = 15 см, значить, АВ = 2 ∙ 15 = 30 см. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді СВ = 3х, АС = 4х (за умовою СВ : АС = 3 : 4). За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2, маємо: отже, СВ = 18 см, АС = 24 см.РΔАВС= 24 + 18 + 30 = 72 см.

Відповідь: 72 см.

785. Дано: ΔABC, АВ = ВС, ВК — висота, ВК = 8 см, АВ : АС = 5 : 6.

Знайти: РΔАВС.

Розв’язання. РΔАВС = 2АВ + АС. За умовою у ΔАВС АВ = ВС. За теоремою висота ВК є медіаною ΔАВС, отже, АК = 1/2АС. За умовою АВ : АС = 5 : 6, тоді АВ = 5х см, АС = 6х см.

У ΔАВК ∠BKA = 90° (ВК — висота). За теоремою Піфагора АВ2 = ВК2 + АК2, маємо: 25х2 = 82 + 9х2; 16х2 = 64; х2 = 4; х = 2. Отже,

Відповідь: 64 см.

786. Дано: ΔАВС, АВ = ВС, АК — бісектриса, СК = 80 см, ВК = 50 см, ВМ — висота.

Знайти: ВМ.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС АВ = ВС, АК — бісектриса. Тоді за властивістю За умовою СК = 80 см, ВК = 50 см, тоді ВС = ВК + КС, ВС = 80 + 50 = 130 см, значить, АВ = 130 см. Маємо: тоді

У ΔABM ∠ВМА = 90°, АВ = 130 см, AM = 1/2АС (за властивістю висота ВМ у рівнобедреному трикутнику є медіаною).

Із теореми Піфагора

Відповідь: 78 см.

787. Дано: ΔАВС, АВ = √2 см, ВС = 2 см, т. К ∈ АС, АК = КВ = 1 см.

Знайти: ∠АВС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, АВ = √2 см, АК = КМ = 1 см. Розглянемо ΔАВК, доведемо, що отже, ΔАВК — прямокутний і ∠AKB = 90°. значить, ∠АВК = 45°.

У ΔВКС ∠ВКС = 90°. За умовою ВС = 2 см.

Відповідь: 105°.

788. Дано: ABCD — трапеція, АВ = 9 см, CD = 12 см, ВС = 15 см, AD = 3 см. АВ ∩ CD = т. М.

Знайти: ∠M.

Розв’язання. За умовою задано трапеція ABCD, т. M = АВ ∩ CD, ВС = 15 см, AD = 30 см, тоді ВС — середня лінія значить, ВМ = АВ і AM = 2 ∙ АВ.

МС = CD і MD = 2 ∙ CD. MD = 2 ∙ 12 = 24 см. Опустимо висоту МК, тоді ∠МКА = ∠MKD = 90°. Hехай АК = х, тоді KD = 30 - х. Знайдемо МК2 у ΔAMK і ΔDMK за наслідком з теореми Піфагора МК2 = AM2 - АК2; Отже, АК = 10,8 см, KD = 30 - 10,8 = 19,2 см.

У ΔАМК

У ΔDМК

Відповідь: 90°.

789. Дано: ΔАВС, ∠ACB = 90°, СК — медіана, СК = 25 см, СМ — висота, СМ = 24 см.

Знайти: PΔАВС.

Розв’язання. PΔАВС =АВ + ВС + АС. За умовою у ΔАВС ∠ACB = 90°, СК — медіана, тоді СК = АК = KB. СМ — висота, отже, СВ2 = MB ∙ АВ, АС2 = AM ∙ АВ. За умовою СК = 25 см, отже, АВ = 2 ∙ 25 = 50 см. AM = АК + KM, MB = ВК - МК.

У ΔСМК ∠CMK = 90°, з теореми Піфагора тоді AM = 25 + 7 = 32 см, MB = 25 - 7 = 18 см. Тоді

Відповідь: 120 см.

До § 19

790. Дано: пряма а, т. A ∉ а, АС ⊥ а, АВ = 5 см — похила, СВ = 4 см.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано пряму а і точку А, що не належить цій прямій. АС ⊥ а, АВ — похила. Тоді у ΔABC ∠С = 90°. Оскільки АВ = 5 см, ВС = 4 см, то АС = 3 см (ΔАВС — єгипетський).

Відповідь: 3 см.

791. Оскільки ∠С = ∠В, то ΔАВС — рівнобедрений і АВ = АС. За властивістю рівні похилі мають рівні проекції. За умовою СВ = 8 см, отже, CD = DB = 8 : 2 = 4 см.

Відповідь: CD = DB = 4 см.

792. Дано: пряма а, т. A ∉ а, АС ⊥ а, ∠В = 60°, АС = 12 см — похила.

Знайти: АС, СВ.

Розв’язання. За умовою задано пряму а, АС ⊥ а, тоді ∠С = 90°. У ΔАВС ∠В = 60°, АВ = 12 см. За теоремою ∠А + ∠В = 90°, тоді ∠А = 90° - 60° = 30°. За властивістю Із теореми Піфагора

Відповідь: 6√3 см, 6 см.

793. Дано: пряма а, т. A ∉ а, АС ⊥ а, АС = 4 см, АD = 5 см, ∠В = 45°.

Знайти: BD.

Розв’язання. За умовою АС ⊥ а, тоді ∠ACB = 90°. У ΔACD AD = 5 см, АС = 4 см, тоді СВ = 3 см (ΔАСВ — єгипетський). У ΔАВС ∠ACD = 90°, ∠В = 45°, тоді ∠САВ = 90° - 45° = 45°, значить, АС = СВ = 4 см. Маємо: а) ВВ = DС + СВ, DВ = 3 + 4 = 7 см; б) DВ = СВ - СD = 4 - 3 = 1 см.

Відповідь: 7 см або 1 см.

794. Дано: пряма а, т. A ∉ а, АС ⊥ а, АВ, AD — похилі, АВ : АВ = 13 : 15, ВС = 10 см, СВ = 18 см.

Знайти: АВ, AD і АС.

Розв’язання. За умовою АС ⊥ а, тоді ∠АСВ = ∠АСD = 90°. Знайдемо АС2 у ΔACD і ΔАСВ за допомогою наслідку з теореми Піфагора: AC2 = AD2 - DC2; AC2 = AB2 - CB2. За умовою AD : AB = 13 : 15, тоді AD = 13x, AB = 15x CM.Маємо: (13x)2 - 102 = (15x)2 – 182;

Отже, AD = 2 ∙ 13 = 26 CM, AB = 2 ∙ 15 = 30 CM.

AC2 = 262 - 102 = (26 - 10) ∙ (26 + 10) = 16 ∙ 36, AC = 4 ∙ 6 = 24 CM.

Відповідь: 30 CM, 26 CM, 24 CM.

795. Дано: ΔABC, BK — висота, AB = 4 CM, BC = 13 CM, AC = 15 CM.

Знайти: BC.

Розв’язання. За умовою у ΔABC BK — висота, тоді ∠BKC = ∠BKA = 90°. Знайдемо ВК2 у ΔАВК і ΔВСК за наслідком з теореми Піфагора: BK2 = AB2 - АК2 і BK2 = BC2 - КС2. За умовою АВ = 4 см, ВС = 13 см, АС = 15 см. АС = АК + КС. Нехай АК = х см, тоді КС = (15 - x) см. Маємо: 42 - x2 = 132 - (15 - х)2; Тоді

Відповідь: 3,2 см.

До § 20

796. 1) Так; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) ні; 6) так.

799. Дано: ABCD — прямокутник, коло описане навколо ABCD, т. О — центр, ОС = R, ∠CAD = α.

Знайти: РABCD.

За умовою задано прямокутник ABCD, тоді РABCD = 2AD + 2CD. За умовою задано коло, описане навколо ABCD, тоді т. О — центр кола — є точкою перетину діагоналей АС і BD.

У ΔACD РABCD CDA = 90°, РABCD CAD = α, АС = 2 ∙ ОС, АС = 2R. Тоді AD = АС ∙ cos α, CD = АС ∙ sin α.

Відповідь: 4R(cos α + sin α).

800. Дано: ABCD — ромб, ∠ABC = 80°, АС = 10 см.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, тоді РАВСD = 4 ∙ АВ. За властивістю ромба BD ⊥ АС, OB = OD, ОА = ОС, бісектриси кутів ромба.

У ΔАВО Тоді

Відповідь: 31,16 CM.

801. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, AC = b, ∠A = α, CK — висота.

Знайти: CK, KB.

Розв’язання. За умовою у ΔАВС ∠C = 90°, СК — висота, тоді CK2 = КВ ∙ АК, CB = AC ∙ tg α, CB = b ∙ tg α. У ΔАКС ∠AKC = 90°,

Маємо:

Відповідь: b ∙ sin α, b ∙ tg α ∙ sin α.

802. Дано: ΔABC, AB = ВС, sin ∠A = 0,96, АС = 28 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. За умовою у ΔABC АВ = ВС. Опустимо висоту BD, тоді за властивістю BD є медіаною, отже, AD = DC. За теоремою ∠A = ∠C, отже, sin ∠A = sin ∠C. У ΔADB ∠BDA = 90°, Нехай BD = x CM, тоді

За теоремою Піфагора

Відповідь: 50 CM.

803. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, коло вписане, т. О — центр, ОD = r, ∠CAB = β.

Знайти: АС.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, ∠C = 90°, коло вписане у ΔАВС, OD — радіус кола, ОD = r, ∠CAB = β. Проведемо радіус ОМ, за властивістю дотичної ОD ⊥ АВ, ОМ ⊥ АС. ΔADO = ΔAMО за гіпотенузою ОА (вона спільна сторона цих трикутників) та катетом AM = AD (за властивістю кола, вписаного у кут). Тоді отже, За відомим фактом CM = ОК = r. Тоді АС = CM + МА = r + МА.

Із ΔАОМ

Відповідь:

804. Дано: ABCD — трапеція, ВС = 10 см, АD = 14 см. ∠A = 60°, ∠D = 30°. ВК — висота, АС, ВО — діагоналі.

Знайти: ВК, BD, АС.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВК — висота трапеції, тоді ∠BKA = ∠BKD = 90°.

У ΔАВК ∠A = 60°, тоді Опустимо висоту CM, тоді у ΔCMD ∠CMD = 90°. ВК = CM як висоти.

У ΔCMD ∠CDM = 30°, тоді Отже, За властивістю трапеції BC = KM, тоді AK + MD = AD - BC, AK + MD = 14 - 10 = 4 CM.

Нехай AK = x CM, тоді MD = 4 - x CM, маємо x = 1. Отже, AK = 1, MD = 3. Тоді ВК = 1 ∙ √3 = √3 CM.

У ΔBKD ∠BKD = 90°, BK = √3 CM, KD = KM + MD; KD = 10 + 3 = 13 CM. За теоремою Піфагора BD2 = BK2 + KD2;

У ΔACM ∠CMA = 90°, CM = √3; AM = AK + KM; AM = 1 + 10 = 11. За теоремою Піфагора

Відповідь: √3 CM, 2√43 CM, 2√31 CM.

Дано: пряма b, АС ⊥ b, АВ і АВ — похилі. ∠D = 60°, ∠B = 30°, DB = а.

Знайти: АС. .

Розв’язання. За умовою задано пряму b, АС ⊥ b, тоді ∠ACD = ∠ACB = 90°. Знайдемо АС з ΔАСD та ΔBAC. За умовою ∠D = 60°, ∠B = 30°. Тоді АС = DC ∙ tg 60° та АС = СВ ∙ tg 30°.

а) За умовою DB = а і DB = DC + СВ. Нехай DC = х, тоді СВ = а - х.

Маємо: Тоді

б) За умовою DB = а і DB = СВ - CD. Нехай CD = х, тоді СВ = а + х.

Маємо: тоді

Відповідь:

806. За означенням тоді маємо: За теоремою Піфагора BC2 + AC2 = АВ2, тоді Доведено.

До § 21

807. 1) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 7 см, ∠А = 19°.

Знайти: ВС, АС, ∠В.

Розв’язання. За умовою ΔАВС ∠С = 90°, ∠А = 19°, за властивістю ∠А + ∠В = 90°, тоді ∠В = 90° - 19° = 71°.

Відповідь: 2,28 см, 6,62 см, 71°.

2) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 20 дм, ∠В = 48°.

Знайти: ВС, АС, ∠А.

Розв’язання.

Відповідь: 15,46 дм, 13,38 дм, 42°

3) Дано: ΔАВС, ВС = 5 см, ∠С = 90°, ∠В = 57°.

Знайти: АВ, АС, ∠А.

Розв’язання.

Відповідь: 9,18 см, 7,7 см, 33°.

4) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 18 дм, ∠В = 32°.

Знайти: АВ, ВС, ∠А.

Розв’язання.

Відповідь: 34 дм, 51,21 дм, 58°.

808. 1) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 9 см, ВС = 12 см. Знайти: АВ.

Розв’язання. У ΔАВС ∠С = 90°, тоді за теоремою Піфагора АВ2 = ВС2 + АС2. За умовою АС = 9 см, ВС = 12 см. Маємо:

Відповідь: 15 см.

2) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС = 7 дм, ВС = 5 дм. Знайти: АВ.

Розв’язання. За теоремою Піфагора АВ2 = ВС2 + АС2;

Відповідь: √74 см.

3) Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АВ = 34 см, ВС = 30 см. Знайти: АС.

Розв'язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: 16 см.

4) Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, ∠AB = 8 дм, АС = 7 дм. Знайти: ВС.

Розв’язання. Із теореми Піфагора

Відповідь: √15 дм.

809. Дано: пряма b. CD ⊥ b, СВ і АС — похилі. АВ = а, ∠САВ = β, ∠СВА = β.

Знайти: CD.

Розв’язання. За умовою задано пряму b, CD ⊥ b, тоді ∠CDB = ∠ADC = 90°. Знайдемо CD з ΔCDА та ΔCBD. CD = AD ∙ tg ∠CAD та CD = DB ∙ tg ∠CBD. Нехай AD = x, тоді DB = АВ - x. За умовою AB = а, ∠САВ = α, ∠CBA = β. Маємо:

Отже,

Відповідь:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити