Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників

§ 26. Площа трапеції

945. Дано: ABCD — трапеція. ВК — висота, ВС || AD. ВС = 7 см, AD = 13 см. SABCD = 40 см2.

Знайти: ВК.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD: ВК — її висота, тоді за формулою За умовою SABCD = 40 см2, ВС = 7 см, AD = 13 см. Тоді

Відповідь: 4 см.

946. Аналогічно № 945.

Відповідь: 4 см.

947. Дано: ABCD — трапеція. ВК — висота, ВС || AD, ВК = 6 см, SABCD = 24 см2.

Знайти: ВС + AD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВК — її висота, тоді за формулою За умовою SABCD = 24 CM2; BK = 6 CM, отже

Відповідь: 8 см.

948. Дано: ABCD — трапеція, ВК — висота, ВС || AD, MN — середня лінія, ВК = 8 см, SABCD = 40 см2.

Знайти: MN.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВК — її висота, MN — середня лінія, тоді за формулою SABCD = MN ∙ BK і За умовою ВК = 8 см, SABCD = 40 см2, тоді

Відповідь: 5 см.

949. Дано: ABCD — трапеція, ВК — висота, ВК = 7 см, ВС = 5 см, ВС || AD, SABCD = 63 см2.

Знайти: AD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ВК — висота, тоді за формулою За умовою ВС = 5 см, ВК = 7 см, SABCD = 63 см2, тоді

Відповідь: 13 см.

950. Аналогічно № 949. ВС = 22 - 17 = 5 см.

Відповідь: 5 см.

951. Дано: ABCD — трапеція, ВК — висота, ВС || AD, АВ = CD, АК = 3 см, ВС = 5 см, ВК = 4 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, АВ = CD, ВК — висота, тоді за формулою За умовою ВС = 5 см, ВК = 4 см. За властивістю рівнобедреної трапеції AD = 2АК + ВС, AD = 2 ∙ 3 + 5 = 11 см.

Відповідь: 32 см2.

952. Дано: ABCD — трапеція, АВ || CD, ∠B = 90°, DK — висота, АК = 4 см, CD = 7 см, DK = 5 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, АВ || CD, ∠B = 90°, DK — висота, тоді За умовою DK = 5 CM, CD = 7 CM. За властивістю прямокутної трапеції ВК = CD. АВ = KB + АК. За умовою АК = 4 см, АВ = 4 + 7 = 11 см.

Відповідь: 45 см2.

953. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ∠A = 90°, SABCD = 30 см2, РABCD = 28 см, ВА = 3 см.

Знайти: AD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ∠A = 90°, тоді за формулою де CK — висота. За умовою PABCD = 28 см, SABCD = 30 см2, AK = 3 см, AB = CK.

PABCD = АВ + ВС + CD + AD, тоді Отже, 20 + 4 + CD = 28; CD = 5 см.

Відповідь: 5 см.

954. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВК — висота, PABCD = 32 см, АВ = CD = 5 см, SABCD = 44 см2.

Знайти: ВК.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ВК — висота, тоді PABCD = 2АВ + ВС + АD; За умовою PABCD = 32 см, AB = 5 см, SABCD = 44 CM2. Тоді 2 ∙ 5 + BC + AD = 32, BC + AB = 22 CM. Отже,

Відповідь: 4 CM.

955. Дано: ABCD — трапеція, AK — висота, AB || CD, AB = 6 CM, SΔADC = 40 CM2.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, AB || DC, АВ = 6 см, АК — висота, АК = 8 см. За формулою

У ΔADC AK - висота, тоді За умовою SΔADC = 40 CM2, маємо:

Відповідь: 64 см2.

956. Дано: ABCD — трапеція, BC || AB, ВС = 8 см, AD = 10 см, ВК — висота, SΔABD = 25 см2.

Знайти: SABCD.

Розв'язання. За умовою задано трапецію ABCD, BC || АD, АK — висота, ВС = 8 см, АВ = 10 см. За формулою за умовою, за формулою отже

Відповідь: 45 см2.

957. Дано: ABCD — трапеція, ВС || АD, ВК — висота, ВК = 6 см, SABCD = 36 см2, ВС : АD = 1 : 3.

Знайти: ВС, AD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || АD, ВК — висота, за формулою За умовою SABCD = 36 см2, ВК = 6 см, ВС : AD = 1 : 3. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді ВС = х см, АВ = 3x см. Маємо: Отже, ВС = 3 см, АD = 3 ∙ 3 = 9 см.

Відповідь: 3 см, 9 см.

958. Дано: ABCD — трапеція, ВС || АD, ВК — висота, ВС : АD = 1 : 4, ВK = 4 см, SABCD = 50 см2.

Знайти: ВС, AD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || АD, ВК — висота. За формулою За умовою ВК = 4 см, SABCD = 50 см2, ВС : АD = 1 : 4. Тоді ВС = х см, АD = 4X см. Маємо: Отже, ВС = 5 см, АD = 4 ∙ 5 = 20 см.

Відповідь: 5 см, 20 см.

959. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВС = а CM, AD = b см, CD = с см, ∠BCD = 150°, CM — висота.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, СМ — висота, за формулою За умовою ВС = а см, AD = b см, CD = с см, ∠BCD = 150°. За властивістю трапеції ∠D + ∠BCD= 180°, тоді ∠D = 180° - 150° = 30°. У ΔCMD ∠CMD = 90°, тоді CM = CD ∙ sin ∠D,

Відповідь:

960. Дано: ABCD — трапеція, BC || AD, ∠BAK = 90°, BC = 6 CM, ∠BCA = 45°, ∠BCD = 135°.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ∠BAK = 90°, тоді за формулою (оскільки ∠BAK = 90°, то АВ — висота трапеції).

Опустимо висоту СК = АВ, тоді ВС = АК. За умовою ∠BCA = 45°, тоді у ΔАВС ∠B = 90°, a ∠BAC = 45°, отже, ВС = АВ = 6 см. Оскільки ВС || AD, тоді ∠BCA = ∠CAD (як внутрішні різносторонні кути, АС — січна).

У ΔACK ∠KCA = 45°. За умовою ∠BCD = 135° і ∠BCD = ∠BCA + ∠ACK + ∠KCD, отже, ∠KCD = 135° - 45° - 45° = 45°.

У ΔCKD ∠CKD = 90°, тоді ∠D = 45°, отже, СК = KD = 6 см. AD = АК + KD, KD = 6 + 6 = 12 CM,

Відповідь: 54 CM2.

961. Дано: ABCD — трапеція, BC || AD, ∠BAD = 90°, AB = 4 CM, ∠BAC = 45°, ∠D = 45°.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ∠BAD = 90°, тоді АВ — висота трапеції. За формулою За умовою АВ = 4 см, ∠BAC = 45°, ∠D = 45°. Опустимо висоту СК, СК = АВ.

У ΔCKD ∠CKD = 90°, ∠D = 45°, тоді ∠DCK = 45°, СК = KD = 4 см. Оскільки ВС || AD, АС — січна, тоді ∠CAD = ∠BCA = 45°, отже, АВ = ВС = 4 см. AD = АК + KD, AD = 4 + 4 = 8 см.

Відповідь: 24 см2.

962. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, BD = 13 см, AD = 12 см, ВС = 4 см. ∠A = 90°.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ∠A = 90°, тоді АВ — висота трапеції. За формулою За умовою ВС = 4 см, AD = 12 см.

У ΔABD ∠A = 90°, BD = 13 см, з теореми Піфагора

Відповідь: 40 см2.

963. Дано: ABCD — трапеція, ∠A = 90°, ВС || AD, BD = 17 CM, AB = 8 CM, BC = 5 CM.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ∠A = 90°, тоді AB — висота трапеції. За формулою За умовою АВ = 8 см, ВС = 5 см. У ΔABD ∠A = 90°, BD = 17 см, із теореми Піфагора

Відповідь: 80 см2.

964. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВС = 38 см, AD = 52 см, АВ = CD = 25 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, АВ = CD = 25 см, ВС = 38 см, AD = 52 см. Опустимо висоти СМ та ВK. За формулою За властивістю рівнобедреної трапеції У ΔАВК ∠BKA = 90°, із теореми Піфагора

Відповідь: 1080 см2.

965. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, АВ = CD = 13 см, AD = 18 см, ВК — висота, ВК = 12 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВК — висота, ВС || AD. За формулою За умовою AD = 18 см, ВК = 12 см. За властивістю рівнобедреної трапеції ВС = AD - 2АК. У ΔАВК ∠BKA = 90°, АВ = 12 см, з теореми Піфагора Тоді

Відповідь: 156 см2.

966. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВК — висота, АВ = CD = 5 см, ВС = 6 см, ВК = 3 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ВК — висота. За формулою За умовою ВС = 6 см, ВК = 3 см. За властивістю рівнобедреної трапеції У ΔАВК ∠BKA = 90°, АВ = 5 см, ВК = 3 см, тоді АК = 4 см (ΔАВК — єгипетський). Тоді

Відповідь: 30 см2.

967. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ОМ ⊥ AD, ON ⊥ ВС, ОМ = 3 CM, ON = 2 см, ВС = 10 см, АВ = CD.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ОМ ⊥ AD, ON ⊥ ВС, тоді NM = ON + ОМ — висота трапеції. За формулою За умовою ОМ = 3 см, ON = 2 см, NM = 3 + 2 = 5 см, ВС = 10 см. (за двома кутами ∠BCO = ∠OAD, ∠CBO = ∠ODA), тоді У подібних трикутників відношення висот дорівнює відношенню сторін, тоді Маємо:

Відповідь: 62,5 см2.

968. Дано: ABCD — трапеція, NO ⊥ ВС, ОМ ⊥ OD, AD = 18 см, NO = 5 см, ОМ = 6 см, ВС || AD.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС ⊥ AD, NO ⊥ ВС, ОМ ⊥ OD, NM = ON + ОМ — висота трапеції. За формулою За умовою AD = 18 см, ON = 5 см, ОМ = 6 см, тоді NM= 5 + 6 = 11 см. (ВС || AD, АС — січна, ∠BCO = ∠OAD, BD — січна, ∠CBO = ∠PDA як внутрішні різносторонні кути). Тоді Маємо:

Відповідь: 181,5 см2.

969. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВК = h — висота, BD ⊥ АС, АВ = CD.

Знайти: SABCD.

Розв'язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ВК = h — висота. За формулою Проведемо ВМ || АС, тоді АСВМ — паралелограм і ВС = АМ. ∠BDM — спільний, ∠BMD = ∠CAD як відповідні кути (АС || BM, MD — січна), тоді ∠AOD = ∠MBD = 90°. У ΔMBD MD = МА + AD = ВС + AD. BD = ВМ, оскільки ВМ = АС, BD = АС як діагоналі рівнобедреної трапеції. Нехай BD = ВМ = d. Тоді або За теоремою Піфагора у ΔMBD MD2 = MB2 + BD2; Отже, тоді MD = 2h. Оскільки MD = BC + AD, TO

Висновок: У рівнобедреної трапеції, діагоналі якої перетинаються під прямим кутом, середня лінія дорівнює висоті трапеції.

970. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ВК — висота, ВС = 4 CM, AD = 10 CM, BD ⊥ АС.

Знайти: SABCD.

Розв'язання. Використовуючи висновок із № 969, маємо:

Відповідь: 49 см2.

971. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, ∠А = 90°, коло вписане, т. О — центр кола, СР = 1 см, PD = 4 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD, ∠A = 90°, тоді АВ — висота трапеції. За формулою Оскільки коло вписане у трапецію, тоді NK = АВ, ОК = ОМ = ON = r, MO = BN = АК. MBNO та МОКА — квадрати. За властивістю дотичних CP = CN, BN = ВМ, AM = АК, PD = KD. За умовою СР = 1 см, PD = 4 см. Отже, СР = 1 + 4 = 5 см. Нехай BN = x см, тоді ВС = 1 + х см, АВ = 2x см, AD = 4 + x см. Опустимо висоту CF. У ΔCFD ∠CFD = 90°, FD = AD - ВС, FD = 4 + x – x - 1 = 3 см. Значить, FC = 4 см (ΔCFD — єгипетський). Отже, АВ = 4 см, BN = MB = AM= OK = 2 см і ВС = 2 + 1 = 3, AD = 3 + 3 = 6 см.

Відповідь: 18 см2.

972. Дано: опуклий n-кутник, n = 17, α — внутрішній кут.

Знайти:

Розв’язання. За теоремою

За умовою n = 17, тоді

Відповідь: 2700°.

973. Щоб визначити, скільки потрібно плиток квадратної форми зі стороною 20 см, щоб викласти ними підлогу в кімнаті прямокутної форми, довжина якої 4,6 м, а ширина 3,4 м, треба визначити площу підлоги S та площу однієї плитки S1. 4,6 м = 460 см, 3,4 м = 340 см. S = 460 ∙ 340 = 145 400 см2; S1 = 202 = 400 см2. Нехай n — кількість плиток, n = 156 400 : 400 = 391.

Відповідь: 391.

974. Дано: ABCD — ромб, АВ = 6 см, ∠BAD на 120° > ∠ABC.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD. За формулою За властивістю ромба ВС ⊥ АС, BD і АС — бісектриси кутів ромба, ∠BAD + ∠АВС = 180°. За умовою ∠BAD на 120° більший за ∠АВС. Нехай ∠АВС = x, тоді ∠BAD = x + 120°. Маємо: x + 120° + x = 180°; x = 30°, отже, ∠АВС = 30°. У ΔАВО ∠ВОА = 90°, АВ = 6 см, Тоді

Тоді

Відповідь: 18,56 CM2.

Домашня самостійна робота № 5

1 — Б; 2 — В; 3 — А; 4 — Г; 5 — В; 6 — Г; 7 — Б; 8 — А; 9 — В; 10 — Г; 11 — Б; 12 — В.

Завдання для перевірки знань до § 22—26

4. n = 15, тоді

Відповідь: 2340°.

5. Дано: ΔАВС, ВК — висота, SΔABC = 30 см2. АС = 12 см.

Знайти: ВК.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, ВК — висота. За формулою За умовою SΔABC = 30 см2, АС = 12 см, тоді

Відповідь: 5 см.

6. Дано: ABCD — трапеція, ВК — висота, SABCD = 35 см2, AD = 8 см, ВК = 7 см.

Знайти: ВС.

Розв’язання. За умовою зададо трапецію ABCD, ВК — висота. За формулою За умовою SABCD = 35 см2, AD = 8 см, ВК = 7 см, тоді 8 + ВС = 10; ВС = 2 см.

Відповідь: 2 см.

7. Якщо сторони прямокутника 12 дм і 7,5 дм, то його площа S = 12 ∙ 7,5 = 90 дм2. Якщо сторона квадрата 0,5 дм, то його площа S1 = 0,52 = 0,25 дм2. n — кількість квадратів, n = 90 : 0,25 = 360.

Відповідь: 360 квадратів.

9. Дано: ABCD — трапеція, ВС = 12 см, ON ⊥ AD, ОМ ⊥ ВС, ОМ = 3 см, ON = 5 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, MO ⊥ ВС, ON ⊥ AD, ОМ = 3 см, ON = 5 см, тоді MN = ОМ + ON, MN = 3 + 5 = 8 см — висота трапеції. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (як внутрішні перехресні кути, ВС || AD, BD та АС — січні). Отже, За умовою ВС = 12 см, маємо

Відповідь: 128 CM2.

10. Якщо площі двох квадратів S1 і S2, то отже, Тоді

Відповідь: √7.

11. Дано: ABCD — паралелограм, ВК, BM — висоти, BK = 5 CM, BM = 6 см, AB + BC = 22 CM.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано паралелограм ABCD, ВК і ВМ — висоти. За формулою SABCD = ВК ∙ AD та SABCD = ВМ ∙ CD. За умовою ВК = 5 см, ВМ = 6 см. АВ + BC = 22 CM. Нехай BC = х см, АВ = 22 - х см. За властивістю паралелограма ВС = AD, АВ = CD, тоді AD = х см, DC = 22 - х см. 5 ∙ (22 - х) = 6х; 110 - 5х = 6х; 11х = 110; х = 10. Отже, AD = 10 см, SABCD = 5 ∙ 10 = 50 см2.

Відповідь: 50 см2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити