Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

§ 3. Прямокутник і його властивості

Пояснення

Прямокутник — паралелограм, у якого всі кути прямі.

Прямокутник має всі властивості паралелограма:

1) у прямокутнику протилежні сторони рівні, АВ = CD, ВС = AD;

2) PABCD = 2(АВ + ВС);

3) діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл, BО = OD, AO = СО;

4) діагоналі прямокутника рівні, АС = BD;

5) точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

Ознаки паралелограма:

якщо у паралелограма

1) усі кути рівні, або

2) один з кутів прямий, або

3) діагоналі рівні, то він — прямокутник.

77. Мал. 40, мал. 42.

78. У прямокутника діагоналі рівні, тому BD = АС = 5 см.

79. Р = 2 ∙ (4 + 7) = 22 см.

80. Р = 2 ∙ (2 + 5) = 14 см.

81. Твердження правильне, якщо даний чотирикутник — паралелограм.

82. Дано: ABCD — прямокутник, BС = 8 см, BD = 12 см. в АС ∩ ВD = О.

Знайти: РΔВOС.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл. BО = ОС = 12 : 2 = 6 см,

РΔВOС = 6 + 6 + 8 = 20 см.

Відповідь: 20 см.

83. Дано: ABCD — прямокутник, АС ∩ BD = О, АС = 12 см, РΔAOB = 16 см.

Знайти: АВ.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл. АО = BО = 12 : 2 = 6 см, АВ = 15 - 6 - 6 = 3 см.

Відповідь: 3 см.

84. 1) Паралелограм не існує; 2) паралелограм не існує; 3) паралелограм є прямокутником.

85. Сума кутів чотирикутника 360°. Тому, якщо три кути рівні, то четвертий — 90° (360° : 4 = 90°). Даний чотирикутник — прямокутник.

86. У чотирикутника сума кутів 360°, якщо всі кути рівні, то кожен із них 360° : 4 = 90°. Цей чотирикутник — прямокутник.

87. Дано: ABCD — прямокутник, РABCD = 40 см.

1) BС > АВ на 2 см; 2) АВ : ВС = 2 : 3.

Знайти: сторони.

-

Розв'язання. Р = 2(АB + ВС).

1) Нехай АB = х см, BС = х + 2 см. 2(х + х + 2) = 40; 2х + 2 = 40 : 2; 2х = 20 - 2; 2х = 18; х = 18 : 2; х = 9. АB = CD = 9 см, ВС = AD = 11 см.

2) АB = 2х см, BС = 3х см. 2(2x + 3х) = 40; 5х = 40 : 2; 5х = 20; х = 20 : 5; х = 4. АB = 2 ∙ 4 = 8 см, ВС = 3 ∙ 4 = 12 см.

Відповідь: 1) 9 см, 9 см, 11 см, 11 см; 2) 8 см, 8 см, 12 см, 12 см.

88. Дано: (див. рис. до № 87) ABCD — прямокутник, РABCD = 50 см.

1) BС > АB на 5 см; 2) BС : АB = 4 : 1.

Знайти: сторони ABCD.

Розв’язання. Р = 2(АВ + BС).

1) Нехай АВ = х CM, ВС = х + 5 см. 2(х + х + 5) = 50; 2х + 5 = 50 : 2; 2х + 5 = 25; 2х = 25 - 5; 2х = 20; х = 20 : 2; х = 10. АВ = CD = 10 см, ВС = AD = 10 + 5 = 15 см.

2) Нехай одна частина х см, тоді АВ = х см, ВС = 4х см. 2(х + 4х) = 50; 5х = 50 : 2; 5х = 25; х = 25 : 5; х = 5. АВ = CD = 5 см, ВС = AD = 4 ∙ 5 = 20 см.

Відповідь: 1) 10 см, 10 см, 15 см, 15 см; 2) 5 см, 5 см, 20 см, 20 см.

89. 1) ∠7 = ∠3, ∠8 = ∠4, ∠6 = ∠2, ∠1 = ∠5, ∠10 = ∠12, ∠9 = ∠14.

90. 1) ∠3 = 90° - 52° = 38°; 2) ∠2 = 40° : 2 = 20°.

91. 1) ∠5 = 90° - 37° = 53°; 2) ∠12 = 2 ∙ ∠3 = 2 ∙ 30° = 60°.

92. Дано: ABCD — прямокутник, АС — діагональ, ∠BAC > ∠CAD на 20°.

Знайти: ∠BAC, ∠CAD.

Розв’язання. ∠A = 90°. Нехай ∠CAD = х°, ∠BAC = (х + 20)°. х + х + 20 = 90; 2х = 90 - 20; 2х = 70; х = 709 : 2; х = 35. ∠CAD = 35°, ∠BAC = 35° + 20° = 55°.

Відповідь: 35°, 55°.

93. Діагоналі прямокутника рівні, вони є діаметрами описаного кола.

94. Дано: ABCD —прямокутник, АС, BD — діагоналі.

1) ∠BAO < ∠AOB на 15°; 2) ∠BAO < ∠AOD на 50°.

Знайти: ∠BAO.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні, в точці перетину діляться навпіл, тому ΔАОВ — рівнобедрений.

1) ∠BAO = ∠ABO = х°, ∠AOB = (х + 15)°. Сума кутів трикутника 180°.

х + х + х + 15 = 180; 3х = 180 - 15; 3х = 165; х = 165 : 3; х = 55. ∠BAO = 55°.

2) ∠AOD — зовнішній для рівнобедреного ΔАОВ з основою АВ. Нехай ∠BAO = х°, тоді ∠AOD = (х + 50)°, ∠ABO = ∠BAO = х°. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх, з ним не суміжних, ∠AOD = ∠BAO + ∠ABO. х + х = х + 50; х = 50. ∠BAO = 50°.

Відповідь: 1) 55°; 2) 50°.

95. Дано: ABCD — прямокутник, АС, BD — діагоналі, AC ∩ BD = О. 1) ∠CAD < ∠AOD на 90°; 2) ∠CAD < ∠AOB на 40°.

Знайти: ∠CAD.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, тому ΔАОВ і ΔAOD — рівнобедрені.

1) Нехай ∠CAD = х°, ∠AOD = (х + 90)°. Сума кутів трикутника 180°.

х + х + х + 90 = 180; 3х = 180 - 90; 3х = 90; х = 90 : 3; х = 30. ∠CAD = 30°.

2) ∠AOB — зовнішній для ΔAOD, він дорівнює сумі двох внутрішніх, з ним не суміжних, ∠CAD = х°, ∠AOB = (х + 40)°. х + х = х + 40; х = 40. ∠CAD = 40°.

Відповідь: 1) 30°; 2) 40°.

96. Дано: ABCD — прямокутник, АС ∩ BD = О, E ∈ AB, АЕ = ЕВ, ∠BAD = 70°.

Знайти: ∠DOE.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл. ΔАОВ — рівнобедрений, ОЕ — медіана, бісектриса і висота ΔАОВ, у ΔАОЕ ∠OEA = 90°, ∠EAO = 70°, ∠АОЕ = 90° - 70° = 20°, ∠AOD — зовнішній для ΔABD, ∠AOD = 140°, ∠EOD = 140° + 20° = 160°.

Відповідь: 160°.

97. Дано: ABCD — прямокутник, АС ∩ BD = O, OP — бісектриса ΔАОВ, ∠DOP = 130°.

Знайти: ∠CAB.

Розв'язання. ∠DOP — суміжний з ∠BOP, ∠BOP = 180° - 130° = 50°, ∠AOP = 50°, ΔАОР — прямокутний; сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°, ∠AOP = 50°, ∠CAB = 90° - 50° = 40°.

Відповідь: 40°.

98. Дано: ABCD — паралелограм, АС ∩ BD = О, М ∈ AO, N ∈ ОС, ОМ = BO, ON = DO.

Довести: BNDM — паралелограм.

Доведення. За умовою MO = BO, ON = DO, BO = DO, оскільки діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл. У чотирикутника BNDM діагоналі в точці перетину діляться навпіл, тому він — паралелограм.

99. Дано: коло з центром в точці О, АС — діаметр, AD = ВС, В і D належать колу.

Довести: ABCD — прямокутник.

Доведення. Проведемо BD — діаметр. ΔAOD = ΔСОВ за двома сторонами і кутом між ними. У чотирикутника ABCD діагоналі рівні і в точці перетину діляться навпіл, тому він — прямокутник.

100. Дано: ABCD — прямокутник, АС ∩ BD = О, OK ⊥ AD, OK = 4 см, ОМ ⊥ AB, ОМ = 9 см.

Знайти: РABCD.

Розв’язання.

Відповідь: 52 см.

101. Дано: ABCD — прямокутник, AL — бісектриса, L ∈ ВС, ВС = LC, ВС = 20 см.

Знайти: PABCD.

Розв'язання. PABCD = 2(АВ + ВС).

За умовою ВС = 20 см, BL = LC = 10 см.

∠LAD = ∠BLA — внутрішні різносторонні, ∠BAL = ∠BLA, тоді ΔABL — рівнобедрений, АВ = BL = 10 см. PABCD = 2 ∙ (10 + 20) = 60 см.

Відповідь: 60 см.

102. Дано: ABCD — прямокутник, AL — бісектриса, BL = LC, АВ = 8 см.

Знайти: PABCD.

Розв’язання. AL — бісектриса, тому ∠BAL = ∠LAD, ВС = LC, ∠BLA = ∠LAD — внутрішні різносторонні, ∠BAL = ∠BLA, тому ΔABL — рівнобедрений.

PABCD = 2 ∙ (8 + 16) = 48 см.

Відповідь: 48 см.

103. Дано: ABCD — прямокутник, ВК ⊥ AC, ∠ACD = 60°. 1) ОК = а; 2) АС = m.

Знайти: 1) DB і АВ; 2) AL і CD.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл.

1) ∠ACD = ∠ABO = ∠BAO = 60°, тому ∠AOB = 60°. ΔАОВ — правильний. ВК — медіана, бісектриса і висота, OK = a, AO = 2а, AN = 2а, DB = АС = 4а.

2) Аналогічно, АС = m, тому

Відповідь:

104. Дано: ABCD — прямокутник, ВК ⊥ АС, ∠ACD = 60°, АВ = 6.

Знайти: BD, ОК.

Розв’язання. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл, ∠ACD = 60°, тому ΔАКВ — правильний, AO = ВО = АВ = b, тому BD = 2b, ВК — медіана, бісектриса і висота ΔАОВ, АК = КО = b/2.

Відповідь: BD = 2b, ОК = b/2.

105. Дано: ΔАВС, ∠A = 90°, АС = АВ, ВС = 35 см, KNML — прямокутник, KL : KN = 5 : 2.

Знайти: PKNML.

Розв’язання. За умовою ΔАВС — прямокутний рівнобедрений, тому ∠C = ∠B = 45°. ΔCNK і ΔBML — прямокутні рівнобедрені, СК = NK = ML = LB.

Нехай 1 частина — х см, тоді KL = 3х см, NK = MN = СК = LB = 2х см. ВС = 35 см, тоді 2х + 3х + 2х = 35; 7х = 35; х = 35 : 7; х = 5. KL = 3 ∙ 5 = 15 см, NK = 2 ∙ 5 = 10 см. PKNML = 2 ∙ (15 + 10) = 50 CM.

Відповідь: 50 CM.

106. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = CB = 20 CM, KCDP — вписаний прямокутник.

Знайти: PKCDP.

Розв’язання. За умовою KCDP — прямокутник, тому КР || СВ, ΔАКР і ΔPDB — прямокутні, рівнобедрені, КР = CD, DP = DВ, BC = CD + PD.

PKCDP = 2 ∙ BC = 2 ∙ 20 = 40 см.

Відповідь: 40 CM.

107. Дано: ABCD — паралелограм ВK ⊥ AD, BK = 1/2AB.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. ΔABK — прямокутний, ВК = 1/2АВ, тому ∠A = 30°, ∠C = 180° - 30° = 150°. ∠C = ∠A = 30°, ∠B = ∠D = 150°.

Відповідь: 30°, 30°, 150°, 150°.

108. 1) Дано: ΔАВС,

Знайти: ∠A.

Розв’язання. За умовою тоді 2∠A = ∠B + ∠C. Сума кутів трикутника 180°, 4∠A = 180°, ∠A = 180° : 4, ∠A = 45°.

Відповідь: ∠A = 45°.

2) Дано: ABCD — чотирикутник,

Знайти: ∠A.

Розв’язання. За умовою 3 ∙ ∠A = ∠B + ∠C + ∠B. Сума кутів чотирикутника 360°. 6 ∙ ∠A = 360°, ∠A = 360° : 6, ∠A = 60°.

Відповідь: 60°.

1) Через точки В i Р проводимо промінь l і відкладаємо відрізок BE = 2ВР.

2) Через точку Р проводимо ЕК || BL і EL || ВК.

3) KBLE — паралелограм із діагоналлю KL, яка в точці перетину діагоналей Р ділиться навпіл. Тобто KL — шукана пряма.

110. Дано: АВ = ВС = CD = AD.

Довести: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D.

Доведення. Проведемо діагональ BD, ΔABD = ΔCDB за трьома сторонами, тоді ∠A = ∠C. Проведемо діагональ АС, ΔАСВ = ΔCAD за трьома сторонами, тоді ∠B = ∠D. Доведено.

Ні.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити