Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 4. Многокутники. Площі многокутників

Вправи для повторення розділу 4

До § 22

978. Якщо всі зовнішні кути рівні між собою, тоді і всі внутрішні кути цього п’ятикутника рівні.

Сума всіх зовнішніх кутів п’ятикутника 360°, тоді зовнішній кут — 360° : 5 = 72°.

Зовнішній кут суміжний з внутрішнім, тоді внутрішній кут 180° - 72° = 108°.

Відповідь: 108°.

979. У восьмикутника m — кількість діагоналей, за формулою. Тоді

Відповідь: 20 діагоналей.

980. Якщо всі внутрішні кути л-кутника рівні 135°. Тоді

Відповідь: 8.

981. Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника — 180°(n - 2) = 180°n - 360°. Якщо кількість сторін збільшиться на 2, то сума внутрішніх кутів — 180° ∙ (n + 2 - 2) = 180°n. Отже, сумазбільшиться на 360°.

982. Сума кутів опуклого л-кутника — 180°(n - 2), а сума кутів (n - 1)-кутника — 180°(n - 1 - 2) = 180°(n - 3). Тоді 180°(n - 2) = k ∙ 180°(n - 3). n = 4, тоді n - 1 = 3. Сума кутів трикутника 180°, а чотирикутника 360°. Тоді k = 2.

До § 23

983. Площа квадрата зі стороною 6 м дорівнює S = 62 = 36 см2. Площа прямокутника зі сторонами 4 см і 9 см S1 = 4 ∙ 9 = 36 см2. Отже, площі рівні.

985. Дано: ABCD — квадрат, ΔPDC, СР = 10 см, ∠CPD = 30°.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано квадрат ABCD, SABCD = DC2. У ΔPDC ∠PDC = 90° (кут суміжний з ∠CDA — квадрата), СР = 10 см, ∠CPD = 30°, тоді DC = 1/2PC (катет, що лежить навпроти кута 30°).

Відповідь: 25 см2.

986. 1) Якщо периметр квадрата дорівнює Р см, тоді його сторона а = P/4 см, а площа

2) Якщо площа квадрата S см2, тоді його сторона а = √S см, а периметр Р = 4√S см.

3) Якщо площа квадрата S = а2 і дорівнює його Р = 4а, тоді а2 = 4а, а2 - 4а = 0; а(а - 4) = 0; а = 0 — не є розв’язком задачі або а - 4 = 0, а = 4.

Відповідь: 4.

988. Якщо стіна прямокутної форми має розміри 2,4 м і 3,6 м, то її площа 2,4 м ∙ 3,6 м = 240 см ∙ 360 см = 86 400 см2. Площа прямокутної плитки зі сторонами 30 см і 20 см дорівнює 30 см ∙ 20 см = 600 см2. n — кількість плиток, n = 86 400 : 6 = 144.

Відповідь: 144 плитки.

989. Дано: ABCD — прямокутник, АК — бісектриса, ВК = 4 см, КС = 5 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано прямокутник ABCD, тоді SABCD = АВ ∙ ВС. За умовою АК — бісектриса, ВК = 4 см, КС = 5 см. Тоді ВС = ВК + КС, ВС = 4 + 5 = 9 см. ∠1 = ∠2, ∠2 = ∠3 (як внутрішні перехресні кути, ВС || AD, АК — січна). Тоді у ΔАВК АВ = ВК = 4 см. SABCD = 9 ∙ 4 = 36 см2. Якщо ВК = 5 см, а КС = 4 см, тоді АВ = ВК = 5 см, тоді SАВСD = 9 ∙ 5 = 45 см2.

Відповідь: 45 см2 або 36 см2.

990. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, т. К ∈ АВ, т. N ∈ АВ, т. M ∈ АС, т. L ∈ ВС. MNKL — квадрат, вписаний. AN = m, КВ = n.

Знайти: SMNKL.

За формулою площа квадрата SMNKL = LK2. За умовою квадрат вписаний у ΔABC, ∠C = 90°, AN = m, КВ = n. Проведемо LP || АС, тоді ΔLKP = ΔMNA, LK = MN, як сторони квадрата, ∠KLP = ∠NAMяк відповідні кути (LP || АС, АВ — січна), тоді КР = NA = m. У ΔBLP LK — висота, ∠BLP = 90°. За властивістю LK2 = ВК ∙ КР, тоді LK2 = m ∙ n. Отже, SMNKL = m ∙ n.

Відповідь: m ∙ n.

До § 24

992. Дано: ABCD — ромб, АК — висота, АВ = 4 см, АК = 3 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, АК — висота, SABCD = АК ∙ ВС. У ромба АВ = ВС = CD = AD, тоді SABCD = АК ∙ АВ. За умовою АВ = 4 см, АК = 3 см. SABCD= 3 ∙ 4 = 12 см2.

993. Дано: ABCD — паралелограм, ∠B — тупий, СЕ — висота, ∠DCE = 60°, AD = 5 см, АВ = 4 см.

Знайти: SABCD.

За умовою задано паралелограм ABCD, СЕ — висота, тоді за формулою SABCD = AD ∙ СЕ. За умовою AD = 5 см, АВ = 4 см. У ΔDCE ∠CED = 90°, ∠ECD = 60°, CD = 4 см (CD = АВ як сторони паралелограма), тоді

Відповідь: 10 CM2.

994. 1) Якщо сторони паралелограма 6 см і 8 см, а висоти 4 см і 3 см відповідно, тоді S = 6 ∙ 4 = 8 ∙ 3 = 24 см2.

Відповідь: так.

2) Аналогічно 1). S = 9 ∙ 4, S = 6 ∙ 2, 36 ≠ 12.

Відповідь: ні.

995. Дано: ABCD — квадрат, A1B1C1D1 — ромб, ∠C1 = 150°, АВ = А1В1 = a, S — площа квадрата, S1 — площа ромба.

Порівняти: S та S1.

Площа квадрата S = а2, площа ромба S1 = а ∙ А1K (де А1K — висота ромба). У ΔВ1A1K ∠A1KB1 = 90°, А1В1 = a, ∠B1 = 180° - 150° (∠B1 + ∠C1 = 180° за властивістю кутів ромба). Тоді (як катет, що лежить навпроти кута 30°). Тоді Отже, площа квадрата у 2 рази більша.

996. Дано: ABCD — паралелограм, ∠BAD = 30°, АК — бісектриса, ВК = КС, ВМ — висота, РABCD = 24 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано паралелограм ABCD, ВМ — висота, тоді SABCD = ВМ ∙ AD. За умовою АК — бісектриса ∠BAD, ВК = КС. ∠KAM = ∠BAK, ∠KAM = ∠AKB (ВС || AD, АК — січна, внутрішні перехресні кути). Тоді у ΔАВК АВ = ВК. Нехай АВ = х см, тоді ВС = 2х см. За умовою PABCD = 24 см, за формулою PABCD = (АВ + ВС) ∙ 2. Маємо: (х + 2х) ∙ 2 = 24; 6х = 24; x = 4 см, отже, ВС = 4 ∙ 2 = 8 см, АВ = 4 см. ВС = AD = 8 см (як сторони паралелограма). У ΔABM ∠BAM = 30°, ∠BMA = 90°, тоді SABCD = 2 ∙ 8 = 16 см2.

Відповідь: 16 см2.

997. Дано: ABCD — ромб, коло вписане, т. О — центр кола, ОР = 8 см = r, АК : КВ = 1 : 4.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано ромб ABCD, коло вписане у ромб, OP = r = 8 см, тоді діаметр кола МР = 2 ∙ 8 = 16 см є висотою ромба. За формулою SABCD = ВС ∙ МР. Опустимо висоту AN, тоді SABCD = ВС ∙ AN, AN = 16 см. У ΔABN ∠ANB = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = AN2 + BN2.

За умовою АК : КВ = 1 : 4, тоді АК = х см, КВ = 4х см. Чотирикутник ANPM — прямокутник, тоді NP = AM. За властивістю дотичних ВК = ВР = 4х см, АК = AM = х см, тоді NP = х. BP = BN + NP, значить, BN = 4х - х = 3х см. Отже, (5х)2 = (3х)2 + 162; 16х2 = 162; х3 = 16; х = 4. Отже, АВ = 5 ∙ 4 = 20 см. SABCD = 16 ∙ 20 = 320 см2.

Відповідь: 320 см2.

До § 25

999. Дано: ΔABC, АС = 6 см, ВС = 9 см, АК, ВР — висоти, АК = 4 см.

Знайти: ВР.

За умовою задано ΔABC, АК та ВР — висоти. За формулою За умовою АК = 4 см, АС = 6 см, ВС = 9 см. Маємо:

Відповідь: 6 см.

1000. Дано: ΔABC, ∠BCA = 135°, АС = 4 см, BD — висота, CD = 3 см.

Знайти: SΔABC.

Розв’язання. За умовою задано ΔABC, BD — висота, за формулою За умовою АС = 4 см. У ΔBDC ∠D = 90°, DC = 3 CM. ∠DCB + ∠BCA = 180° (як суміжні кути), отже, ∠DCB = 180° - 135° = 45°, ∠CBD = 45°, тоді DC = BD = 3 см.

Відповідь: 6 см2.

1001. Дано: ΔABC, MN, NP, МР — середні лінії.

Довести:

Доведення. За умовою задано ΔABC, MN та NP та МР — середні лінії ΔАВС. Тоді т. М, т. N, т. Р — середини АВ, ВС та АС відповідно. Значить, AM = MB, BN = NC, АР = PC. За теоремою

MN = 1/2АС, тоді MN = АР = PC. Отже, ΔMBN = ΔPNC = ΔАМР = ΔPNM за трьома сторонами. отже, Доведено.

1002. Дано: ΔАBС, АС = SC, СК — медіана, т. М ∈ СK.

Довести: SΔAMC= SΔBMC.

Доведення. За умовою задано ΔАВС, АС = ВС, СК — медіана. За властивістю СК є бісектрисою ∠ACВ та висотою ΔABC. Розглянемо ΔАМС та ΔBMC: МС — спільна сторона цих трикутників, АС = СВ, ∠ACM = ∠MCB, тоді за І ознакою рівності ΔАМС = ΔBMC. Значить, SΔAMC= SΔBMC. Доведено.

До § 26

1005. Мал. 252 підручника. Дано: ABCD — трапеція, ∠A = 90°, ВС || AD, 1 клітинка = 0,5 см. АВ = 5 клітинок, ВС = 2 клітинки, АВ = 6 клітинок.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ∠A = 90°, тоді АВ — висота. За формулою За умовою АВ = 5 кл., AD = 6 кл., ВС = 2 кл„ 1 кл. = 0,5 см. Отже, АВ = 5 ∙ 0,5 = 2,5 см, AD = 6 ∙ 0,5 = 3 см, ВС = 2 ∙ 0,5 = 1 см.

Відповідь: 5 см2.

Мал. 253 підручника. Дано: MNKP — трапеція, NB — висота, NK || МР, 1 кл. = 0,5 см. NK = 4 кл., МР = 6 кл., NB = 6 кл.

Знайти: SMNKP.

Розв’язання. За умовою задано трапецію MNKP, NB — висота, тоді За умовою NK = 4 кл., МР = 6 кл., NB = 6 кл. 1 кл = 0,5 см. Отже, NK = 4 ∙ 0,5 = 2 см, МР = NB = 6 ∙ 0,5 = 3 см.

Відповідь: 7,5 см2.

Мал. 254 підручника. Дано: EFGH — трапеція, FG || ЕН, FP — висота, FG = 3 кл., ЕМ = 6 кл., FP = 4 кл., 1 кл. = 0,5 см.

Знайти: SEFGH.

Розв’язання. За умовою задано трапецію EFGH, FG || ЕН, FP — висота. За формулою За умовою FG = 3 кл., ЕМ = 6 кл., FP = 4 кл., 1 кл. = 0,5 см. Тоді FG = 3 ∙ 0,5 = 1,5 см, ЕН = 6 ∙ 0,5 = 3 см, FP = 4 ∙ 0,5 = 2 см.

Відповідь: 4,5 см2.

1007. Дано: ABCD — трапеція, ∠A = 90°, ВС || AD. ВС = АВ = b см, ∠D = 45°.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ∠A = 90°, ВС || AD, тоді АВ — висота трапеції. За формулою За умовою ВС = АВ = b см, ∠D = 45°. У ΔCKD ∠CKD = 90°, ∠D = 45°, тоді ∠DCK = 45° і KD = СК = b (СК = АВ як висоти трапеції). Отже, AD = АК + KD, AD = b + b = 2b см.

Відповідь:

1008. Дано: ΔАВС, EF — середня лінія, EF || АВ.

Порівняти SΔCEFта SΔEFB.

Розв’язання. За умовою задано ΔАВС, EF || АВ, EF — середня лінія. Проведемо середні лінії ЕК та KF. Тоді (див. № 1001), значить, Тоді SΔCEF у 3 рази менша SΔEFB.

Відповідь: у 3 рази.

1009. Дано: ABCD — трапеція, ВС || AD, коло вписане, т. О — центр кола, АВ = CD, СР = 8 см, PD = 2 см.

Знайти: SABCD.

Розв’язання. За умовою задано трапецію ABCD, ВС || AD. Опустимо висоту BF. За формулою За умовою коло вписане у трапецію, тоді ВС + AD = АВ + CD за властивістю. За умовою СР = 8 см, PD = 2 см. CD = CP + PD, значить, CD = 2 + 8 = 10 см. Тоді ВС + AD = 20 см. У ΔABF ∠BFA = 90°, АВ = 10 см. Розглянемо ΔCOD: ОС і OD — бісектриси ∠BCD і ∠CDA, оскільки т. О — центр кола, вписаного у трапецію. Оскільки ∠BCD + ∠CDA = 180° за властивістю, тоді ∠OCD + ∠CDO = 90°, отже, ∠COD = 90°. OP ⊥ CD, за властивістю дотичної і радіуса кола, проведеного у точку дотику. Тоді ОР — висота ΔCOD. Отже, Проведемо висоту трапеції NK = BF = 2 ∙ OP, тоді BF = 12 ∙ 4 = 8 CM.

Відповідь: 80 CM2.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити