Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Чотирикутники

§ 5. Квадрат і його властивості

Пояснення

Квадрат — прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата:

1) усі кути квадрата прямі;

2) РАВСD = 4AB;

3) діагоналі квадрата рівні, АС = BD;

4) діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, АС ⊥ BD, AO = CO, BO = DO;

5) діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів, тобто утворюють кути 45° зі сторонами квадрата.

Ознаки квадрата:

1) якщо діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні, то він є квадратом;

2) якщо діагоналі ромба рівні між собою, то він є квадратом.

153. а - 20 : 4 = 5 см.

154. Р = 4 ∙ 7 = 28 дм.

155. АВ = ВС = CD = AD; AO = BO = CO = DO.

156. Обернене твердження «Якщо у чотирикутника діагоналі рівні і взаємно перпендикулярні, то він є квадратом» не завжди правильне.

квадрат

АС ⊥ BD, АС = BD.

не є квадратом

МР = NK, МР ⊥ NK.

157. Дано: ABCD — квадрат, АС ∩ BD = О, ВО = 2 см.

Знайти: АС + BD.

Розв’язання. Діагоналі квадрата рівні і в точці перетину діляться навпіл.

BO = DO = CO= AO, АС + BD = 4 ∙ ВО = 4 ∙ 2 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

158. Див. мал. до № 157. Дано: ABCD — квадрат, АС + BD = 32 см, АС ∩ BD = О.

Знайти: BD.

Розв’язання. Діагоналі квадрата рівні і в точці перетину діляться навпіл, тому AO = CO = ВО = DO = 32 : 4 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

159. Див. мал. до № 157. Дано: ABCD — квадрат, АВ + ВС = 10 см.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. PABCD = 2 ∙ 10 = 20 см.

Відповідь: 10 см.

160. Див. мал. до № 157. Дано: ABCD — квадрата, АВ + ВС + CD = 18 дм.

Знайти: РABCD.

Розв’язання. АВ = ВС = CD = 18 : 3 = 6 дм. РАВСD = 4 ∙ 6 = 24 дм.

Відповідь: 24 дм.

161. 1) Діагоналі в точці перетину діляться навпіл, взаємно перпендикулярні і є бісектрисами кутів.

2) Р = 4 ∙ а.

162. 1) Усі кути прямі. 2) Діагоналі рівні.

163. 4a - a = 18; 3а = 18; a = 6 CM. P = 4 ∙ 6 = 24 CM.

Відповідь: 6 CM, 24 CM.

164. Доведення. У прямокутника всі кути рівні, а якщо сусідні сторони рівні, то всі сторони рівні. Маємо прямокутник, у якого всі сторони рівні, за визначенням — це квадрат.

165. Доведення. У ромба всі сторони рівні і сума сусідніх кутів 180°. Якщо один з кутів прямий, то всі — прямі. Маємо чотирикутник, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі.

166. 1) Так; 2) ні; ) ні; 4) так; 5) ні; 6) так.

167. BD — бісектриса ∠B, а за умовою BD ⊥ EF, отже, ΔBFE — прямокутний, рівнобедрений, ∠BFE = 45°.

168. У ΔАОК ∠AOK = ∠BOC = 70° — як вертикальні. ∠CAK = 45°, оскільки АС — бісектриса ∠A. Сума кутів трикутника 180°, тому ∠OKA = 180° - (70° + 45°) = 65°.

Відповідь: 65°.

169. 1) Дано: Ркв = 6 см.

Побудувати: квадрат ABCD.

Побудова:

1) Довжину даного відрізка ділимо на 4 рівні частини, будуючи серединні перпендикуляри.

2) Пряма l.

3) А ∈ l.

4) АВ = 1,5 см, АВ ∈ l.

5) AD ⊥ AB.

6) Коло (A; R = 1,5 CM).

7) D — точка перетину кола з перпендикуляром.

8) ВС ⊥ АВ.

9) Коло (В; R = 1,5 см).

10) С — точка перетину кола із ВС.

11) ABCD — шуканий квадрат.

2) Дано: АС = 3 см — діагональ.

Побудувати: квадрат ABCD.

Побудова:

1) Пряма l.

2) АС ∈ l.

3) Серединний перпендикуляр до АС, О — точка перетину.

4) Коло

5) Точки В і D — точки перетину кола із серединним перпендикуляром.

6) ABCD — шуканий квадрат.

170. Довжину даного відрізка поділити на 2. Далі див. № 169 (2).

173. Дано: ABCD — квадрат, АЕ = FC.

Довести: BEDF — ромб.

Доведення. ABCD — квадрат, тому AC ∩ BD = O, АС ⊥ BD, AO = CO = ВО = DO. За умовою АЕ = CF, тому FO = ОЕ; У чотирикутнику BD ⊥ EE, ЕО = FO, BO = DO, отже, він — ромб.

174. Дано: ABCD — квадрат, H ∈ ВС, G ∈ СD, F ∈ АD, E ∈ A, НС = GC - AF = АЕ.

Довести: EHGF - прямокутник.

Доведення. ΔHCG = ΔFAE за двома катетами, ∠CHG = ∠CGH = 45°, ∠AFE = ∠HEF = 45°, HG = EF; ΔВЕН = ΔDGF за двома катетами, прямокутні, рівнобедрені.

∠BEH = ∠BHE = ∠DGF = ∠DFG = 45°. У чотирикутника EHGF протилежні сторони рівні і всі кути рівні, отже, він — прямокутник.

175. Дано: коло з центром в т. О, АВ і АС — дотичні, В і С — точки дотику.

Довести: АВОС — квадрат.

Доведення. За властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, ОС ⊥ АС, OB ⊥ АВ. OB = ОА як радіуси.

У чотирикутника АВОС протилежні кути прямі, тоді і ∠A = ∠O = 90°, ОВ = ОС, тому і АВ = АС = ОВ = ОС, отже, він — квадрат.

176. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = ВС = b см, вписано квадрат MNKC, К ∈ АВ.

Знайти: РMNKC.

Розв’язання. ΔАВС — прямокутний, рівнобедрений, ∠A = ∠B = 45°. MNKC — квадрат, тому MN = NK = СК = МС, ΔNKB і ΔAMN — прямокутні, рівнобедрені, тому

Відповідь: 26 см.

177. Дано: ΔАВС, ∠C = 90°, АС = ВС, LKMN — квадрат, L ∈ АС, N ∈ ВС, К ∈ АВ, М ∈ АВ, PLKMN = 12 см.

Знайти: АВ.

Розв'язання. ΔАВС— прямокутний, рівнобедрений, тому ∠A = ∠B = 45°. ΔMNB і ΔAKL — прямокутні, рівнобедрені, оскільки ∠NMB = ∠AKC = 90°, тоді ∠MNB = ∠MBN = ∠KAL = ∠KLA = 45°.

KM = МВ = MN = KL = АК = 12 : 4 = 3. АВ = 3 ∙ 3 = 9 см.

Відповідь: 9 см.

178. Дано: ABCD — квадрат, ΔВЕС, ΔCFD, ΔADM, ΔABN — рівносторонні.

Довести: MNEF — квадрат.

Доведення. ΔNBE = ΔECF = ΔFDM = ΔMAN за двома сторонами і кутом між ними, тому NE = FE = MF = MN, ∠NBE = ∠FCE = ∠FDM = ∠MAN = 150°, тоді ∠NEB = ∠BNE = ∠CEF = ∠CFE = ∠DFM = ∠DAF= ∠ANM = ∠AMN = (180° - 150°) : 2 = 15°. Отже, ∠N = ∠E = ∠F = ∠M = 90°. У чотирикутника MNEF всі сторони рівні і всі кути рівні, отже, він — квадрат.

179. Дано: ABCD — ромб, ∠CBD = 30°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв’язання. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, тому ∠B = 30° ∙ 3 = 60°; сума сусідніх кутів ромба 180°, а протилежні кути рівні, тому ∠A = ∠C = 180° - 60° = 120°, ∠B = ∠D = 60°.

Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°.

180. Дано: ABCD — чотирикутник: ∠A : ∠B : ∠C : ∠D = 1 : 3 : 4 : 10.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв'язання. Сума кутів чотирикутника 360°. Нехай одна частина х°, тоді ∠A = х°, ∠B = (3x)°, ∠C = (4х)°, ∠D = (10x)°. х + 3х + 4х + 10х = 360; 18x = 360; x = 360 : 18; x = 20. ∠A = 20°, ∠B = 60°, ∠C = 80°, ∠D = 200°.

Відповідь: 20°, 60°, 80°, 200°; чотирикутник не є опуклим.

181. Дано: ABCD — прямокутник, ВК — бісектриса, АК : KD = 3 : 5, PABCD = 110 см.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. ВК — бісектриса, тому ∠ABK = ∠CBD, ∠BKA = ∠CBD як внутрішні різносторонні, ΔABK — прямокутний, рівнобедрений, АВ = АК.

Нехай одна частина х см, тоді АК = АВ = 3х см, KD = 5х см, AD = 8х см. РABCD = (АВ + AD). 2(3х + 8х) = 110; 11х = 110 ; 2; 11х = 55; х = 55 : 11; х = 5. АВ = CD = 5 ∙ 3 = 15 см, ВС =AD = 5 ∙ 8 = 40 см.

Відповідь: 15 см, 15 см, 40 см, 40 см.

183. Хвилинна стрілка здійснює оберт за 60 хвилин, рухаючись із умовною швидкістю 1/60. Годинна стрілка здійснює оберт за 12 годин або 60 ∙ 12 = 720 хвилин з умовною швидкістю 1/720. Через х хвилин після 12-ї хвилинна стрілка наздожене годинну, пройшовши 1/60х або 1 оберт плюс пройдене годинною стрілкою 1/720х. Маємо звідси

Відповідь:

Домашня самостійна робота № 1

1 — Б; 2 — В; 3 — В; 4 — А; 5 — Г;6 — Б; 7 — Г;8 — В;9 — В; 10 — Б; 11 — Б; 12 — Г.

Завдання для перевірки знань до § 1—5

6. Дано: ABCD — чотирикутник, АВ = CD, ∠ABD = ∠BDC.

Довести: ABCD — паралелограм.

Доведення. АВ = CD за умовою, ∠ABD = ∠CDB — внутрішні різносторонні, тому АВ || CD. Маємо у чотирикутника 2 протилежні сторони паралельні і рівні, отже, він — паралелограм.

7. 2х + 3х + 4х + 6х = 360; 15х = 360; х = 360 : 15; х = 24. ∠1 = 2 ∙ 24° = 48°, ∠2 = 3 ∙ 24° = 72°, ∠3 = 4 ∙ 24° = 96°, ∠4 = 6 ∙ 24° = 144°. Опуклий.

8. Дано: ABCD — ромб, ВК і ВН — висоти, ∠KBH = 120°.

Знайти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Розв'язання. Проведемо діагональ BD. У ΔBHD ∠DBH = 60°, ∠BHD = 90°, тоді ∠BDH = 30°, ∠D = ∠B = 60°, ∠A = ∠C = 120°.

Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°.

9. Дано: ABCD — паралелограм, АК — бісектриса, К ∈ ВС, ВК : КС = 4 : 3; PABCD = 88 см.

Знайти: АВ, ВС, CD, AD.

Розв’язання. ∠BKA = ∠KAD — внутрішні різносторонні, ∠BAK = ∠KAD, бо АК — бісектриса. ΔАВК — рівнобедрений, АВ = ВК. Нехай одна частина х см, тоді ВК = 4х см, КС = 3х см, ВС = 7х см, АВ = 4х см.

PABCD = 2(АВ + АВ) = 88 см.

2(4х + 7х) = 88; 11x = 44; х = 4. АВ = 4 ∙ 4 = 16 см, BС = 7 ∙ 4 = 28 см, ВС = АВ = 16 см, ВС = АD = 28 см.

Відповідь: 16 см, 16 см, 28 см, 28 см.

10. Дано: ΔАВС, ∠A = 90°, KLMN — прямокутник, KL > LM на 2 см, ВС = 23 см.

Знайти: PKLMN.

Розв’язання. ΔMLC і ΔBKN — прямокутні, рівнобедрені, тому LC = LM = KN = ВК = х, тоді KL = х + 2 см, ВС = 23 см, ВС = ВК + KL + LC.

х + x + 2 + х = 23; 3х = 23 - 2; 3х = 21; x = 21 : 3; х = 7. LM = 7 см, KL = 7 + 2 = 9 см.

PKLMN = 2 ∙ (7 + 9) = 32 см.

Відповідь: 32 см.

11. Дано: ABCD — ромб, ВМ ⊥ AD, ∠DBM = 30°, PABCD = 40 см.

Знайти: BD.

Розв’язання. У ΔBDM ∠BMD = 90°, ∠MBD = 30°, тоді ∠BDM = 60°, ΔABD — рівнобедрений, АВ = АD, а оскільки ∠BDM = 60°, то він рівносторонній, АВ = АD = BD = 40 : 4 = 10 см.

Відповідь: 10 см.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити