Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

1. Чотирикутник та його елементи

Пояснення

Якщо всі кути чотирикутника менші від розгорнутого, то цей чотирикутник є опуклим.

Якщо один із кутів чотирикутника більший від розгорнутого, то цей чотирикутник не є опуклим. .

Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°. Для чотирикутника з кутами ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 маємо:

∠1 = 360° - (∠2 + ∠3 + ∠4), ∠2 = 360° - (∠1 + ∠3 + ∠4),

∠3 = 360° - (∠1 + ∠2 + ∠4), ∠4 = 360° - (∠1 + ∠2 + ∠3).

4. МКСА, або КСАМ, або САМК, або АМКС.

1) Вершини — М, К, С і А;

2) сторони — МК, КС, СА, МА;

3) пари сусідніх вершин: М і К, К і С, С і А, М і А;

4) пари протилежних вершин — М і С, К і А;

5) пари сусідніх сторін — МК і КС, КС і СА, СА і AM, AM і МК;

6) пари протилежних сторін — МК і СА, КС і МА;

7) діагоналі — МС, АК.

7. Нехай у заданого чотирикутника ∠1 = 78°, ∠2 = 89°, ∠3 = 93°. Тоді ∠4 = 360° - (78° + 89° + 93°) = 360° - 260° = 100°.

Відповідь: 100°.

8. Якщо у заданого чотирикутника ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, a ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°, то 4∠1 = 360°, звідки ∠1 = 360° : 4 = 90°. Отже, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°.

Відповідь: по 90°.

9. Відомо, що ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, звідки ∠A + ∠C + ∠D = 360° - ∠B, ∠A + ∠C + ∠D = 360° - 150° = 210°. За умовою ∠A = ∠C = ∠D, тоді 3∠A = 210°, звідки ∠A = 210° : 3 = 70°. Отже, ∠A = ∠C = ∠D = 70°.

Відповідь: по 70°.

10. Найменшу величину має четвертий кут ∠4. Позначимо її за х°, отже, ∠4 = х°, тоді ∠1 = х° + 40°, ∠2 = 2∠1 = 2х° + 80°, ∠3 = ∠1 + 20° = х° + 40° + 20° = х° + 60°. Оскільки ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°, то х + 40 + 2х + 80 + х + 60 = 360; 5х + 180 = 360; 5х = 180; х = 36. Тоді ∠1 = 36° + 40° = 76°, ∠2 = 2 ∙ 36° + 80° = 152°, ∠3 = 36° + 60° = 96°, ∠4 = 36°.

Відповідь: 76°, 152°, 96°, 36°.

11. Позначимо коефіцієнт пропорційності величин кутів за х, тоді величини кутів чотирикутника 2х°, 3x°, 10х° та 21х°, а їх сума 2х° + 3х° + 10х° + 21х° = 360°. Із рівняння 2х + 3х + 10х + 21 х = 360° маємо х = 10. Отже, кути заданого чотирикутника 20°, 30°, 100° і 210°. Оскільки чотирикутник містить кут, більший від розгорнутого, то цей чотирикутник неопуклий.

Відповідь: 20°, 30°, 100°, 210°; не є опуклим.

12. Позначимо коефіцієнт пропорційності трьох кутів за х, тоді їх величини 4х°, 5х° і 7х°, а а величина четвертого кута Складемо і розв’яжемо рівняння за сумою кутів чотирикутника: 4х + 5х + 7х + 8х = 360; х = 360 : 24; х = 15. Тоді величини кутів чотирикутника: 4 ∙ 15° = 60°, 5 ∙ 15° = 75°, 7 ∙ 15° = 105°, 8 ∙ 15° = 120°. Усікути чотирикутника менші від розгорнутого, отже, чотирикутник є опуклим.

Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°; опуклий.

13. 1) Ні, оскільки четвертий кут має бути прямим (360° - 3 ∙ 90° = 90°).

2) Ні, див. № 13, 1).

3) Так, оскільки сума чотирьох прямих кутів 360°.

4) Ні, оскільки їх сума менша, ніж 360°.

5) Ні, оскільки їх сума перевищує 360°.

6) Так, може.

14. Позначимо довжину першої сторони за х см. Тоді довжина другої третьої — а четвертої — 1,5х см. Їх сума — що становить 63 см; 3,5х = 63, звідки х = 63 : 3,5; х = 18. Отже, сторони чотирикутника — 18 см,

Відповідь: 18 см, 12 см, 6 см, 27 см.

15. Найменша сторона — друга, позначимо її довжину за х см. Тоді довжина першої — (х + 2) см, третьої — х + 2 + 6 = (х + 8) см, четвертої — 3(х + 2) см. Сума всіх сторін: х + 2 + х + х + 8 + 3(х + 2) = 3х + 10 + 3х + 6 = 6х + 16, що становить 64 см. Із рівняння 6х + 16 = 64 маємо: 6х = 48, х = 8. Отже, перша сторона чотирикутника 8 + 2 = 10 (см), друга — 8 см, третя — 8 + 8 = 16 (см), четверта — 3 ∙ (8 + 2) = 30 (см).

Відповідь: 10 см, 8 см, 16 см, 30 см.

16. У чотирикутника ABCD AB = ВС, ∠ABD = ∠CBD, діагональ BD розбиває чотирикутник на 2 трикутники ABD і CBD; ΔABD = ΔCBD за двома сторонами і кутом між ними (BD — спільна, АВ = СВ, ∠ABD = ∠CBD), тоді AD = CD. Що й треба було довести.

17. Нехай задано чотирикутник ABCD, його діагоналі АС і BD перетинаються в точці О так, що BO = OD, АО = ОС. І нехай АВ = 6 см. Знайдемо протилежну їй сторону CD. Розглянемо ΔВОА і ΔDOC: BO = DO, AO = СО (за умовою), ∠BOA = ∠DOC (як вертикальні). ΔBOА = ΔDOC за двома сторонами і кутом між ними, звідки CD = АВ, тоді CD = 6 см.

Відповідь: 6 см.

18. Проведемо діагональ NP, вона розбила чотирикутник на ΔMNP і ΔKNP, у яких: NP — спільна, NM = NK, МР = КР, тоді ΔMNP = ΔKNP за трьома сторонами. Отже, ∠K = ∠M = 100°.

Відповідь: 100°.

19. Розглянемо ΔDAC і ΔBAC: АС — спільна, ∠DAC = ∠BAC, ∠DCA = ∠BCA, тоді ΔDAC = ΔВАС за стороною і прилеглими до неї кутами. Звідки АВ = АD, ВС = CD. Маємо: АВ = AD= 8 см, ВС = CD = 10 см. Периметр чотирикутника PABCD = 2АВ + 2ВС, отже, PABCD = 2 ∙ 8 + 2 ∙ 10 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

20. 1) Оскільки бісектриси АК і ВМ ділять відповідні кути навпіл, то ∠BAK = ∠CAK= 44° : 2 = 22°, ∠ABM = ∠CBM = 56° : 2 = 28°.

У ΔАВО ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180°, звідки ∠AOB = 180° - 22° - 28° = 130°. ∠MOK = ∠AOB = 130° як вертикальні. Для ΔАВК ∠AKC — зовнішній, тому ∠AKC = ∠BAK + ∠ABK, тоді ∠AKC = 22° + 56° = 78° = ∠OKC.

Для ΔАВМ ∠BMC — зовнішній, тому ∠BMC = ∠BAM + ∠ABM, тоді ∠BMC = 44° + 28° = 72° = ∠OMC. У чотирикутника МОКС ∠OMC + ∠MOK + ∠OKC + ∠MCK = 360°, звідки ∠MCK = 360° - (∠OMC + ∠MOK + ∠OKC), ∠MCK = 360° - (72° + 130° + 78°) = 80°.

Відповідь: 72°, 130°, 78°, 80°.

2) Кути чотирикутника АОВС: ∠OAC = 44° : 2 = 22°, ∠OBK = 56° : 2 = 28°, ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (44° + 56°) = 80°. Оскільки сума кутів чотирикутника 360°, то ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB + ∠AOB = 360°, звідки ∠AOB = 360° - (22° + 28° + 80°) = 230°.

Відповідь: 22°, 28°, 80°, 230°.

21. 1) У ΔABC ∠A + ∠B + ∠C = 180°, звідки ∠C = 180° - (∠A + ∠B), ∠C = 180° - (36° + 72°) = 72°. У чотирикутника CFHE ∠C = 72°, ∠HFC = 90° (оскільки BF ⊥ АС), ∠HEC = 90° (оскільки АЕ ⊥ ВС), ∠FHE + ∠HEC + ∠C + ∠HFC = 360°, звідки ∠FHE = 360° - (∠HFC + ∠HEC + ∠C), ∠FHE = 360° - (90° + 90° + 72°) = 108°.

Відповідь: 72°, 90°, 90°, 108°.

2) У ΔАВС ∠A + ∠B + ∠C = 180°, звідки ∠C = 180° - (∠A + ∠B), ∠C = 180° - (36° + 72°) = 72°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника 90°, то у ΔBFC (∠BFC = 90°) ∠FBC = 90° - ∠C, ∠FBC = 90° - 72° = 18°; у ΔАВС (∠AEC = 90°) ∠EAC = 90° - ∠C = 90° - 72° = 18°. У чотирикутника АСВН ∠C + ∠HBC + ∠HAC + ∠AHB = 360°, звідки ∠AHB = 360° - (∠C + ∠HBC + ∠HAC), ∠AHB = 360° - (72° + 18° + 18°) = 252°.

Відповідь: 72°, 18°, 18°, 252°.

22. Нехай задано чотирикутник ABCD з периметром РABCD = 80 см, діагональ BD розбиває його на ΔABD з РΔABD = 36 см і ΔBDC з РΔBDC = 64 см.

РABCD = АВ + BC + CD + AD, РΔABD = AB + BD + AD, РΔBDC = BD + DC + ВС; РΔABD + РΔBDC = АВ + BD + AD + BD + DC + BC = 2BD + AB + BC + DC + AD = 2BD + РABCD. Тоді 36 + 64 = 2BD + 80, звідки 2BD = 100 - 80, 2BD = 20, BD = 10.

Отже, BD = 10 см.

Відповідь: 10 см.

Пояснення

Довжина будь-якої сторони чотирикутника менша від суми трьох інших сторін цього чотирикутника.

Якщо довжина найбільшого із чотирьох відрізків менша від суми трьох інших, то ці відрізки можуть бути сторонами чотирикутника. Якщо вона не менша від суми трьох інших відрізків, то ці відрізки не можуть бути сторонами чотирикутника.

23. 1) 9 дм = 2 дм + 3 дм + 4 дм, отже, сторони чотирикутника не можуть мати такі довжини;

2) 10 дм > 2 дм + 3 дм + 4 дм, отже, сторони чотирикутника не можуть мати такі довжини.

Відповідь: 1) ні; 2) ні.

24. У чотирикутника ABCD ∠A = ∠C = 90°. Нехай ВК і DE — бісектриси двох інших кутів, тоді ∠ABK = ∠KBC, ∠ADE = ∠CDE. Позначимо величину ∠ABK за х°, тоді ∠ABC = 2∠ABK = 2х°. У прямокутного трикутника ABK ∠AKB = 90° - ∠ABK, ∠AKB = 90° - х°. У чотирикутника ABCD ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, звідки ∠D = 360° - (∠A + ∠B + ∠C), ∠D = 360° - (90° + 2х° + 90°) = 360° - 180° - 2х° = 180° - 2х°. Оскільки DE — бісектриса ∠D, то ∠EDА = 1/2∠D, ∠EDA = 1/2(180° - 2х°) = 90° - х°. Розглянемо прямі ВК і DE та їх січну AD: ∠АКВ і ∠ADE — відповідні і ∠AKB = ∠ADE, отже, ВК || DE. Отже, бісектриси кутів В і D лежать на паралельних прямих.

У випадку, якщо АВ = СВ, AD = CD, ΔАВD = ΔCBD, звідки ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB, тоді BD — бісектриса ∠B, DB — бісектриса ∠D, отже, бісектриси кутів В i D лежать на одній прямій. Що й треба було довести.

25. а) Нехай бісектриси ВК і DL опуклого чотирикутника ABCD паралельні. ∠ABK = ∠CBK, ∠ADL = ∠CDL, ВК || DL. Тоді ∠CLD = ∠CBK як відповідні при паралельних прямих ВК і DL і їх січній ВС, ∠AKB = ∠ADL як відповідні при паралельних прямих ВК і DL та їх січній AD. Розглянемо ΔАВК i ΔCLD: ∠ABK = ∠CLD, ∠AKB = ∠CDL, тоді ∠A = ∠C, оскільки ∠A = 180° - (∠ABK + ∠AKB) = 180° - (∠CLD + ∠CDL) = ∠C. Отже, два інші кути чотирикутника рівні.

б) Нехай бісектриси кутів В і С лежать на одній прямій, отже, ВС — діагональ чотирикутника і ∠ABC = ∠DBC, ∠ACB = ∠DCB. Тоді у ΔABC ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = ∠D трикутника BDC. Отже, два інші кути чотирикутника рівні. Що й треба було довести.

26. Нехай задано відрізки АВ, ВС, CD, AD, що є сторонами шуканого чотирикутника, і ∠B.

Побудова.

1) Побудуйте кут ∠B.

2) На сторонах ∠B від точки В відкладіть відрізки ВА і ВС.

3) Із точки С (центра кола) проведіть коло радіусом CD.

4) Із точки А (центра кола) проведіть коло радіусом AD.

5) Побудуйте точку D — точку перетину кіл.

6) Побудуйте чотирикутник ABCD.

27. Нехай у шуканого чотирикутника ABCD задано відрізки AB, AD, CD (сторони) і АС і BD (діагоналі).

Побудова.

1) Побудуйте відрізок AD.

2) Із точки А як із центра кола проведіть коло з радіусом АВ.

3) Із точки D як із центра кола проведіть коло з радіусом DB.

4) Побудуйте точку В перетину кіл.

5) Із точки А як із центра кола проведіть коло з радіусом АС.

6) Із точки D як із центра кола проведіть коло з радіусом DC.

7) Побудуйте точку D перетину кіл.

8) Побудуйте чотирикутник ABCD.

28. Нехай задано відрізки АВ, ВС, CD, AD, що є сторонами чотирикутника ABCD та АС, що є його діагоналлю.

Побудова.

1) Побудуйте відрізок AD.

2) Із точки А як із центра кола побудуйте коло з радіусом АС.

3) Із точки D як із центра кола побудуйте коло з радіусом DC.

4) Побудуйте точку С перетину кіл.

5) Побудуйте ДACD.

6) Із точки А як із центра кола побудуйте коло з радіусом АВ.

7) Із точки С як із центра кола побудуйте коло з радіусом СВ.

8) Побудуйте точку В перетину кіл.

9) Побудуйте чотирикутник ABCD.

29. Нехай у чотирикутника ABCD задано кути ∠A і ∠B, сторони АВ і ВС і AM = AD + CD.

Побудова.

1) Побудуйте ∠A.

2) На одній стороні ∠A відкладіть від точки А відрізок довжиною АВ, отримаємо точку В.

3) На другій стороні ∠A відкладіть відрізок довжиною AM від точки А, отримаємо точку М.

4) Від сторони ВА відкладіть кут величиною кута В з вершиною в точці В у півплощину (відносно прямої ВА), яка містить точку М.

5) На утвореній стороні кута В відкладіть відрізок ВС.

6) З’єднайте точки С і М.

7) Побудуйте серединний перпендикуляр до відрізка CM.

8) Побудуйте точку D перетину AM і серединного перпендикуляра.

9) Побудуйте чотирикутник ABCD.

Зауваження для доведення: DM = CD, тоді ΔCDM — рівнобедрений.

30. Для прямих ВС і AD пряма CD є січною, тоді ∠C і ∠D — внутрішні односторонні кути. Оскільки ∠C + ∠D = 110° + 70° = 180°, то за ознакою паралельних прямих ВС || AD. Що й треба було довести.

32. 1) Кути ∠A і ∠B є внутрішніми односторонніми при прямих AD і ВС та їх січній АВ. Оскільки сума цих кутів 180°, то AD || ВС.

2) Кути ∠B і ∠C є внутрішніми односторонніми при прямих АВ і CD та їх січній ВС. Оскільки їх сума 90° + 100° = 190° > 180°, то

Відповідь: 1) так; 2) ні.

33. У ΔABD і ΔCDB: BD — спільна, ∠CBD = ∠ADB, ВС = AD, отже, ΔABD = ΔCDB за двома сторонами і кутом між ними. Тоді АВ = CD (що й треба було довести), ∠ABD = ∠CDB. Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих АВ і CD та їх січній BD. Тоді за ознакою паралельних прямих АВ || CD. Що й треба було довести.

34. У ΔАВС ВК — бісектриса, тоді ∠ABK = 1/2∠ABC. DK || АВ, D ∈ ВС, тоді ∠KDC = ∠ABC за властивістю паралельних прямих. Оскільки за умовою ∠BDK =116°, то суміжний з ним ∠KDC = 180° - 116° = 64°, отже, ∠ABC = 64°, тоді ∠ABK = 64°: 2 = 32°. Оскільки АВ || KD, a ∠ABK і ∠BKD — внутрішні різносторонні кути при прямих АВ і KD та їх січній ВК, то ∠BKD = ∠ABK = 32°.

Відповідь: 32°.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.