Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 2. Подібність трикутників

14. Друга та третя ознаки подібності трикутників

Пояснення

II ознака подібності трикутників: якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

III ознака подібності трикутників: якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

489. Оскільки AD > АВ, то т. В лежить між А і D, оскільки АЕ < АС, то т. Е лежить між А і С. Розглянемо ΔADE і ΔАСВ: ∠A — спільний, Отже, у ΔАDЕ і ΔАСВ дві сторони пропорційні і утворені ними кути рівні, тоді за II ознакою

Відповідь: ні.

490. У ΔАВС і ΔAED ∠А — спільний, тоді за II ознакою звідки

Відповідь: 12 см.

491. У ΔАВС і ΔКВМ як вертикальні, тоді отже звідки

Відповідь: 12 см.

492. У ΔСОА і ΔDOB ∠COA = ∠DOB як вертикальні, тобто сторони пропорційні, тоді за II ознакою подібності звідки ∠BDO = ∠ACO, а ∠АСО = 72° за умовою. Тоді ∠BDO = 72°.

Відповідь: 72°.

493. У ΔВСА і ΔКСМ ∠C — спільний, отже, ці сторони пропорційні, тоді за II ознакою звідки

Відповідь: 18 см.

494. Якщо то

Отже, за III ознакою

Отже, трикутники не подібні.

495. Якщо у одного трикутника відношення сторін 3 : 8 : 9, то і у подібного йому має бути таке ж відношення. Перевіримо: 9 см : 24 см : 27 см = 3 : 8 : 9. Отже, трикутники подібні.

496. Оскільки у ΔABC і ΔA1B1C1 ∠A = ∠A1 і то за II ознакою подібності, тоді

За умовою ВС + В1С1 = 48 см, отже, 0,6В1С1 + В1С1 = 48, 1,6В1С1 = 48, В1С1 = 30 см, ВС = 48 - 30 = 18 (см).

Відповідь: 18 см і 30 см.

497. Оскільки у ΔDEF і ΔMKN ∠E = ∠K, а сторони, що їх утворюють, то за II ознакою подібності тоді DF = 2,5MN. За умовою DF - MN = 30 см, тоді 2,5MN – MN = 30, 1,5MN = 30, MN = 20 см, a DF = 2,5 ∙ 20 = 50 (см).

Відповідь: 50 см і 20 см.

498. У ΔАВС і ΔADE ∠A —спільний, а сторони, що їх утворюють, такі, що: як 3/5. Якщо позначити коефіцієнт пропорційності перших за x, x > 0, то довжини відрізків AD — 3х, DB — 5х, тоді АВ = 3х + 5х = 8х, то відношення Якщо коефіцієнт пропорційності других відрізків позначити за у, у > 0, то АЕ — 3у, ЕС — 5y, тоді АС = 3y + 5y = 8y і Отже, За II ознакою подібності трикутників тоді звідки

Відповідь: 6 см.

499. Нехай задано 3 подібних трикутники ABC, А1В1С1 і А2В2С2. Їх відповідні сторони пропорційні і нехай найбільші сторони ВС, В1С1 = kBC, В2С2 = mВС, а найменші сторони АВ, А1В1 = kAB, А2В2 = mАВ. У трикутника, складеного із найбільших сторін, сторони з такими довжинами ВС, kBC і mВС, а у трикутника, складеного із найменших сторін, сторони з такими довжинами АВ, kAB і mАВ. Знайдемо відношення відповідних сторін цих трикутників: Отже, відношення всіх відповідних сторін рівні, тоді за III ознакою подібності трикутників складені трикутники подібні.

Відповідь: так.

500. У ΔАВС АВ = ВС = b, АС = а, AM і СК — бісектриси. Розглянемо ΔСМА і ΔАКС: СА — спільна, ∠MCA = ∠CAK як кути при основі рівнобедреного трикутника, ∠CAM = ∠ACK як половини рівних кутів, тоді ΔСМА = ΔАКС за стороною і прилеглими до неї кутами. Із цього випливає, що CM = АК. Оскільки ВС = BA, ВМ = ВС — МС, ВК = BA — АК, то ВМ = ВК. У ΔВМК і ΔВСА ∠B — спільний, тоді за II ознакою звідки Оскільки ці трикутники подібні, то ∠BMK = ∠BCA, а це відповідні кути при МК і СА та їх січній ВС, тоді МК || СА. ∠KMA = ∠CAM як внутрішні різносторонні при МК || АС та їх січній AM, тоді ∠KMA = ∠KAM і ΔКМА — рівнобедрений, МК = КА і МК = МС. Маємо: звідки Тоді

Відповідь:

501. За умовою у ΔАВС АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, а у ΔBDC ВС = 12 см, CD = 9 см. У цих трикутників ∠C — спільний, тоді за II ознакою, звідки тоді

Відповідь: 6 см.

пропорційні

тоді за II ознакою

502. Із рівності АН ∙ АВ = АС ∙ AD випливає, що Побудуємо ΔАНС і ΔADB. У них ∠A — спільний, сторони, які утворюють ці кути, подібності тоді за II ознакою подібності Із цього випливає, що ∠AHC = ∠ADB, ∠ACH = ∠ABD. Розглянемо чотирикутник CHBD: ∠BHC = 180° - ∠AHC = 180° - ∠CDB, тоді ∠BHC + ∠CDB = 180° - ∠CDB + ∠CDB = 180°; ∠HCD = 180° - ∠ACH= 180° - ∠HBD, тоді ∠HCD + ∠HBD = 180° - ∠HBD + ∠HBD = 180°. Тобто у чотирикутника CHBD суми протилежних кутів по 180°. За доведеним раніше, робимо висновок: навколо такого чотирикутника можна описати коло. Отже, точки H, B, C i D лежать на одному колі. Що й треба було довести.

503. Оскільки ВМ — медіана, то AM = МС. Розглянемо ΔМКС і ΔМСВ: ∠MKC = ∠BCM за умовою, ∠KMC = ∠BMC як спільний кут, тоді за І ознакою подібності звідки маємо: Проведемо відрізок АК і розглянемо ΔМКА і ΔМАВ: (оскільки МА = МС), (МА = МС), а раніше було доведено, що отже, Крім того, у цих трикутників ∠AMK = ∠AMB(спільний), тоді за II ознакою подібності із чого випливає, що ∠AKM = ∠BAM. Що й треба було довести.

504. Із рівності AM ∙ MB = CM ∙ MD вицливає, що У ΔАМС і ΔDMB ∠AMC = ∠DMB як вертикальні, і пропорційні сторони, які їх утворюють тоді за II ознакою, звідки ∠CAM = ∠BDM = ∠1, ∠ACM = ∠DBM = ∠2. Із рівності AM ∙ MB = CM ∙ MD випливає, що У ΔAMD і ΔСМВ ∠AMD = ∠CMB як вертикальні, а сторони, що їх утворюють, пропорційні тоді за II ознакою подібності звідки ∠DAM = ∠BCM = ∠3, ∠ADM = ∠CBM = ∠4. У ΔACB ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°, отже, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°. Розглянемо чотирикутник CADB: ∠C + ∠D = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°, ∠A + ∠B = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°. Якщо у чотирикутника суми протилежних кутів по 180°, то навколо цього чотирикутника можна описати коло. Маємо: точки A, D, В і С лежать на одному колі. Що й треба було довести.

505. Нехай на спільній хорді KL двох кіл з центрами O1 i O2 обрано т. М і через неї проведено хорду АВ кола з центром О, і хорду CD кола з центром O2. У колі з центром O1 хорди АВ і KLперетинаються в точці М, тоді за їх властивістю AM ∙ MB = KM ∙ ML. У колі з центром O2 хорди KL і CD перетинаються в точці М, тоді CM ∙ MD = KM ∙ KL. Із рівностей AM ∙ MB = KL ∙ ML і CM ∙ MD = KM ∙ KL випливає, що AM ∙ MB = CM ∙ MD, а отже, У ΔAMD і ΔCMВ ∠AMD = ∠CMB як вертикальні і сторони, які їх утворюють, пропорційні, тоді за II ознакою подібності звідки ∠DAM = ∠BCM, отже, ∠DAB = ∠BCD. Що й треба було довести.

Завдання № 2 «Перевірте себе» в тестовій формі

1. Б. A1A2 = А2А3, тоді В1В2 = В2В3, отже, В1В3 = 2В2В3.

2. В. AM = 2МА1, оскільки медіани трикутника перетинаються в точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини.

3. В. Оскільки А1С1 || АС, то звідки

4. В. Нехай О — центр вписаного кола — точка перетину бісектрис трикутника. Розглянемо ΔВСВ1: CO — бісектриса, тоді за її властивістю У ΔАВВ1 АО - бісектриса, тоді звідки тоді 36 - 4СВ1 = 8СВ1, 12СВ1 = 36, СВ1 = 3. Отже,

5. Б. У ΔВКМ і ΔDKF ∠MBK = ∠FDK як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній BD, ∠BMK = ∠DFK як внутрішні різносторонні при ВМ || AD та їх січній MF. Тоді за І ознакою подібності і (за умовою). Тоді

6. В. Нехай DE || АС, Е ∈ ВС, тоді звідки тоді звідки a EC = BC - BE, EC = 21 - 15 = 6 (CM).

7. Г. де О — точка перетину діагоналей.

8. Б. BA і ВС — січні, проведені до кола з однієї точки. За їх властивістю BE ∙ BA = BD ∙ ВС, звідки

9. Г. Нехай O — точка перетину хорд, CO = OD, AO = 4 CM, OB = 25 CM. За властивістю хорд AO ∙ OB = CO ∙ OD. Оскільки OD = ОС, TO OC2 = 4 ∙ 25 = 100, звідки ОС = 10 CM, тоді CD = 2OC, CD= 20 CM.

10. А. За умовою AC = 8 CM, AD = 6 CM, тоді DC = AC - AD = 8 - 6 = 2 (CM). Розглянемо ΔACВ і ΔBCD: ∠C — спільний, отже, сторони, що утворюють кут C, пропорційні, тоді за II ознакою звідки




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити