Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

19. Многокутники

Пояснення

Сума кутів опуклого га-кутника дорівнює 180° ∙ (n - 2).

Периметр многокутника — сума всіх його сторін.

Якщо коло проходить через усі вершини многокутника, то многокутник називають вписаним в коло.

Якщо коло дотикається до всіх сторін многокутника, то многокутник називають описаним навколо кола.

646. У п’ятикутника ABCDE сторони АВ, ВС = АВ + 1, CD = АВ + 2, DE = АВ + 3, АЕ = АВ + 4, PABCDE = 100 см. PABCDE = AB + ВС + CD + DE + АЕ, 100 = АВ + АВ + 1 + АВ + 2 + АВ + 3 + АВ + 4, 5АВ = 100 – 1 – 2 – 3 - 4, 5АВ = 90, АВ = 18 см, ВС = 19 см, CD = 20 см, DE = 21 см, АЕ = 22 см.

Відповідь: 18 см, 19 см, 20 см, 21 см, 22 см.

647. Суму кутів знайдемо за формулою Sn = 180°(n - 2).

Відповідь: 1) 540°; 2) 1080°; 3) 3960°.

Відповідь: 1) 1260°; 2) 2520°.

Якщо n — натуральне число, то многокутник існує. Тоді:

многокутник існує;

многокутник існує;

многокутник не існує.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні.

650. Сума Sn кутів n-кутника дорівнює Sn = 180°(n - 2). Якщо величина кожного кута α, то Sn = αn. Отже, звідки Якщо n — натуральне, то такий многокутник існує. Тоді:

многокутник існує;

многокутник не існує.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

Сума кутів п’ятикутника отже, вимірювання виконано неправильно.

Відповідь: ні.

652. Позначимо коефіцієнт пропорційності кутів за х, х > 0, тоді кути мають такі величини: 3х°, 3х°, 4х°, 4х°, 5х°, 5х°, а їхня сума S5 = 2 ∙ (3х° + 4х° + 5х°) = 24х°. Суйа кутів п’ятикутника S5= 180° ∙ (5 - 2) = 540°, Тоді 24х = 540°, х = 22,5. Отже, кути: 2 кути по 22,5 ∙ 3 = 67,5°, 2 по 22,5 ∙ 4 = 90°, 2 по 22,5 ∙ 5 = 112,5°.

Відповідь: 67,5°, 67,5°, 90°, 90°, 112,5°, 112,5°.

653. Нехай х — коефіцієнт пропорційності кутів, х > 0, тоді їх величини 6х°, 7х°, 8х°, 9х°, 9х°, 10х°, 11х°, а сума S7 = 6х° + 7х° + 8х° + 2 ∙ 9х° + 10х° + 11х° = 60х°; S7 = 180° ∙ (7 - 2) = 180° ∙ 5 = 900°, тоді 60х = 900, х = 15. Отже, кути: 15 ∙ 6 = 90°, 15 ∙ 7 = 105°, 15 ∙ 8 = 120°, 2 кути по 15 ∙ 9 = 135°, 15 ∙ 10 = 150°, 15 ∙ 11 = 165°.

Відповідь: 90°, 105°, 120°, 135°, 135°, 150°, 165°.

Пояснення

Кількість діагоналей n-кутника

Проведемо із вершини A4 (наприклад) всі діагоналі. Вони з’єднають точку А4 з усіма точками, окрім сусідніх з нею А3 і А5. ОСКІЛЬКИ ВСЬОГО вершин n, то діагоналей буде (n - 3) (мінус точки A3, А4, А5). ОСКІЛЬКИ ЇХ можна провести із кожної із n точок, то діагоналей було б n(n - 3), але кожна враховується двічі, тому загальна кількість діагоналей

654. 1) n = 9; діагоналей із однієї вершини — n - 3 = 9 - 3 = 6; діагоналей із 9 вершин по 6 — 9 ∙ 6 = 54 було б, якщо рахувати кожну двічі, але фактично діагоналей 54 : 2 = 27;

2) n = 20; із однієї вершини — n - 3 = 20 - 3 = 17 діагоналей, із 20 вершин, рахуючи один раз —

3) див. доведення перед задачею 654.

звідки n1 = 12, n2 = -9 < 0, тому вершин n-кутника n = 12, отже, кількість сторін — 12, тоді сума кутів S12 = 180° ∙ (12 - 2) = 1800°.

Відповідь: 12 сторін; 1800° — сума кутів.

656. Нехай многокутник A1А2А3...Аn вписано в коло і A1А2 = А2А3 = А3А4 = ... = АnА1. Розглянемо ∠A1А2А3 і ∠A2А3А4. Це вписані кути, ∠A1А2А3 спирається на дугу A1АnА3, a ∠A2А3А4 — на дугу A2АnА4. ∪A1АnА3 = 360° - ∪A1А2А3, ∪A2АnА4 = 360° - ∪A2А3А4; ∪A1А2А3 = 2∪А2А3, ∪A2А3А4 = 2∪A2А3, тоді ∪A1А2А3 = ∪A2А3А4, a ∪A1АnА3 = ∪A2АnА4, отже, ∠A1А2А3 = ∠A2А3А4. Оскільки всі сторони многокутника рівні, то це буде справедливо для всіх кутів многокутника. Маємо: якщо всі сторони вписаного многокутника рівні, то і всі його кути рівні. Що й треба було довести.

657. Нехай у многокутник A1А2А3...Аn вписано коло і ∠A1 = ∠A2 = ∠A3 = ... = ∠An. Проведемо радіуси кола в точки дотику: ОМ ⊥ А1An, ОН ⊥ А1А2, ON ⊥ А2А3 і відрізки OA1, ОА2, OA3. У ΔA1OM і ΔA1OH ОА1 — спільна, ОМ = ОН як радіуси, А1М = А1H як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола. Тоді ΔA1OM = ΔA1OH, звідки Аналогічно: ΔHA2O =ΔNA2O, звідки Оскільки ∠A1 = ∠A1, ТОДІ ∠OA1H = ∠OA2H, ΔA2OA1 — рівнобедрений, OH — висота і медіана, отже, тоді Оскільки А1H || A1M, то A1А2 = A1Аn. Аналогічно можна довести, що A1А2 = А2А3 = ... = A1Аn. Що й треба було довести.

658. Нехай у п’ятикутника ABCDE АВ = ВС = CD = DE = АЕ, ∠A = ∠B = 90°. Оскільки АЕ ⊥ АВ, ВС ⊥ АВ, то АЕ || ВС, АЕ = ВС, тоді АВСЕ — паралелограм, а оскільки ∠A = ∠B = 90°, то АВСЕ — прямокутник, а оскільки АВ = ВС, то АВСЕ — квадрат. Тоді АС = ED = DC, і ΔECD — рівносторонній, і його кути ∠D = ∠CED = ∠ECD = 60°. Отже, у п’ятикутника ∠AED = ∠AEC + ∠CED = 90° + 60° = 150°, ∠D = 60°, ∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 90° + 60° = 150°.

Відповідь: 150°, 60°, 150°.

659. Нехай у заданого многокутника п сторін, тоді і n кутів. Величина 3 кутів по 100°, а решти — (n - 3) — по 120°. Тоді сума S всіх кутів: S = 3 ∙ 100° + (n - 3) ∙ 120° = 300° + 120°n - 360° = 120°n - 60°. За формулою суми кутів многокутника S = 180°(n - 2). Тоді 180°(n - 2) = 120°n - 60°; 180°n - 120°n = 360° - 60°, 60°n = 300°, n = 5. Отже, заданий многокутник — п’ятикутник.

Відповідь: п’ятикутник.

660. Нехай у шестикутника ABCDEF ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F. Сума його кутів S6 = 180°- (6 - 2) = 720°, тоді величина кожного кута α = 720°/6 = 120°. Проведемо діагональ BD, вона відтинає п’ятикутник BDEFA, сума кутів якого S5 = 180° ∙ (5 - 2) = 540°, де ∠A + ∠F + ∠E = 3 ∙ 120° = 360°, тоді ∠ABD + ∠EDB = 180°, а ці кути внутрішні односторонні при прямих АВ і DE та їх січній BD. За ознакою паралельності прямих АВ || DE. Аналогічними міркуванням можна довести, що ВС || EF (їх січна СЕ), CD || AF (їх січна DF). Що й треба було довести.

661. Нехай у п’ятикутнику ABCDE ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. Сума його кутів S5 = 180° ∙ (5 - 2) = 540°. Тоді величина кожного кута α = 540°/5 = 108°. ∠AED + ∠CDE = 108° + 108° = 216° ≠ 180°, а це внутрішні односторонні кути при АЕ і CD та їх січній ED, тоді тоді Аналогічно Що й треба було довести.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.