Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік
§ 1. Чотирикутник
2. Паралелограм. Властивості паралелограма
Пояснення
У паралелограма протилежні сторони попарно рівні і паралельні. Протилежні кути паралелограма рівні.
Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, 180°.
Діагональ паралелограма розбиває його на 2 рівні трикутники.
Точка перетину діагоналей паралелограма поділяє їх навпіл.
Якщо у паралелограма суміжні сторони мають довжини а і b, то його периметр Р обчислюється за формулою Р = 2(а + b).
39. У заданого паралелограма периметр Р = 40 см, а і b — задані сусідні сторони. Якщо 2(а + b) ≤ 40, то дроту вистачить; якщо 2(a + b) > 40, то не вистачить.
1) 2 ∙ (14 + 8) = 44 > 40, отже, дроту не вистачить;
2) 2 ∙ (16 + 4) = 40, отже, дроту вистачить;
3) 2 ∙ (12 + 6) = 36 < 40, отже, дроту вистачить.
Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так.
40. 1) Позначимо довжину меншої сторони за х см, х > 0, тоді довжина більшої (х + 12) см. Периметр 2(х + х + 12) = 112, звідки 2х + 12 = 56, 2х = 44, х = 22. Отже, довжина меншої сторони 22 см, більшої — 22 + 12 = 34 (см).
2) Позначимо коефіцієнт пропорційності сторін за х, х > 0, тоді їх довжини — 5х см і 9х см, а периметр 2(5x + 9x) = 112, звідки 14x = 56, х = 4. Тоді довжини сторін паралелограма 4 ∙ 5 = 20 (см) і 4 ∙ 9 = 36 (см).
Відповідь: 1) 22 см і 34 см; 2) 20 см і 36 см.
41. Позначимо довжину меншої сторони паралелограма за x см, x > 0, тоді довжина більшої — 5x см. За умовою периметр паралелограма 96 см, тоді 2(х + 5х) = 96, звідки 6x = 48, х = 8. Отже, менша сторона має довжину 8 см, більша — 8 ∙ 5 = 40 (см).
Відповідь: 8 см і 40 см.
42. Протилежні сторони паралелограма рівні, отже, CD = АВ = 6 см. Діагоналі точкою перетину О діляться навпіл, отже,
Відповідь: 16 см.
43. За означенням паралелограма його протилежні сторони попарно паралельні: АВ || CD, ВС || AD. ∠B і ∠A — сусідні і є внутрішніми односторонніми кутами при прямих ВС і AD та їх січній АВ, тоді за властивістю паралельних прямих ∠A + ∠B = 180°. Аналогічно отримаємо, що ∠A + ∠D = 180° як сума кутів при АВ || CD та їх січній AD.
За властивістю паралелограма його протилежні кути рівні, тоді ∠C = ∠A і ∠C = ∠B = 180°, ∠C = ∠D = 180°. Маємо: сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма 180°. Що й треба було довести.
44. Сума двох сусідніх кутів паралелограма 180°.
1) Якщо один з кутів паралелограма 70°, то протилежний йому має величину 70°, а сусідні по 180° - 70° = 110°.
2) Якщо сума заданих кутів 100°, то ці кути протилежні і кожен з них дорівнює по 100° : 2 = 50°. Сусідні для них кути мають величину 180° - 50° = 130°.
3) Задані кути не рівні, отже, вони сусідні і їх сума 180°. Оскільки різниця кутів 20°, то один менший за другий на 20°. Позначимо величину меншого з них за х°, х > 0, тоді більшого — (х + 20)°. Маємо: х + х + 20 = 180, 2х = 160, х = 80. Величина меншого кута 80°, більшого 80° + 20° = 100°. Два інші кути — 80° і 100°.
4) Позначимо коефіцієнт пропорційності кутів за х, х > 0, тоді величина одного з них 3х°, другого — 7х°. Кути не рівні, отже, сусідні, і їх сума 180°. Маємо: 3х + 7х = 180, 10х = 180, х = 18. Тоді один із кутів 18° ∙ 3 = 54°, другий — 18° ∙ 7 = 126°. Два інші кути 54° і 126°.
Відповідь: 1) 70°, 110°, 70°, 110°; 2) 50°, 130°, 50°, 130°; 3) 80°, 100°, 80°, 110°; 4) 54°, 126°, 54°, 126°.
45. 1) Позначимо величину меншого кута за х°, х > 0, тоді сусіднього з ним — 2х°. Сума їх 180°, тоді х + 2х = 180, х = 60. Отже, менший кут 60°, більший — 60° ∙ 2 = 120°. Протилежні їм кути мають величину 60° і 120° відповідно.
2) Позначимо величину меншого з кутів за x°, х > 0, тоді сусіднього з ним — (х + 24)°. Сума їх 180°, тоді х + х + 24 = 180, 2х = 156, х = 78. Отже, менший із кутів 78°, сусідній — 78° + 24° = 102°. Протилежні їм кути мають величину 78° і 102° відповідно.
Відповідь: 1) 60°, 120°, 60°, 120°; 2) 78°, 102°, 78°, 102°.
46. Нехай на стороні ВС трикутника ABC обрано точку К, через яку проведено пряму, паралельну АС, що перетинає АВ в точці Е, та пряму, паралельну АВ, що перетинає АС в точці М; ЕК || АС, КМ || АВ. Тоді у чотирикутника АЕКМ сторони попарно паралельні, отже, АЕКМ — паралелограм.
Його кут ∠A = 35° за умовою. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠EKM = ∠A = 35°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠A + ∠AMK = 180°, звідки ∠AMK = 180° - 35° = 145°. ∠AEK — протилежний до ∠AMK, тоді ∠AEK = ∠AMK = 145°.
Відповідь: паралелограм; 35°, 145°, 35°, 145°.
47. У паралелограма ABCD ВС || AD, тоді ∠ADB = ∠CBD = 47° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD, ∠ABC = 68° + 47° = 115°. У ΔABD ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°, звідки ∠A = 180° - (∠ABD + ∠ADB), ∠A = 180° - (68° + 47°) = 65°. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠C = ∠A = 65°, ∠D = ∠B = 115°.
Відповідь: 65°, 115°, 65°, 115°.
48. За умовою ∠BAC = 32°. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠BAD = ∠BCD = 56°. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD, звідки ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC, ∠CAD = 56° - 32° = 24°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠BAD + ∠D = 180°, звідки ∠D = 180° - ∠BAD, ∠D = 180° - 56° = 124°.
Відповідь: ∠CAD = 24°, ∠D = 124°.
49. Нехай бісектриса ∠A перетинає ВС в точці Е, а бісектриса ∠B перетинає AD в точці К. Бісектриси ВК і АЕ перетинаються в точці М.
У ΔABM ∠M = 180° - (∠BAM + ∠ABM). За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠ABC + ∠BAD = 180°, 
тоді 
Відповідь: 90°.
Висновок: кут між бісектрисами двох сусідніх кутів паралелограма прямий.
50. Ні, оскільки дві різні сторони паралелограма і діагональ утворюють трикутник, а за нерівністю трикутника будь-яка сторона менша за суму двох інших, а 16 см = 6 см + 10 см.
51. У ΔАВК ∠AKB = 90°, тоді ∠A + ∠ABK = 90°, звідки ∠A = 90° - ∠ABK, ∠A = 90° - 30° = 60°. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠C = ∠A = 60°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠А + ∠ABC = 180°, звідки ∠ABC = 180° - 60° = 120°, ∠D = ∠ABC = 120°. Сторона AD = АК + KD, AD = 4 + 6 = 10 (см).
У прямокутного трикутника АВК АК = 1/2АВ як катет, що лежить проти кута в 30°, отже, АВ = 2АК, АВ = 4 ∙ 2 = 8 (см). РABCD = 2(АВ + AD), РABCD = 2 ∙ (8 + 10) = 36 (см).
Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; Р = 36 см.
52. Нехай у паралелограма ABCD ∠А = 45°, висота ВК = 3 см, АК = KD, діагональ BD сполучає вершини тупих кутів. Шукані кути ∠ABD і ∠BDA. Розглянемо ΔАВК: ∠AKB = 90°, ∠A = 45°, тоді ΔАВК — рівнобедрений і АК = ВК = 3 см. За умовою АК = KD, тоді AD = 2АК, AD = 3 ∙ 2 = 6 (см). Прямокутні трикутники ΔBKD = ΔВКА, оскільки ВК — спільна, KD = АК. Тоді ∠BDA = ∠BAD = 45°.
У ΔABD ∠ABD = 180° - (∠BAK + ∠BDK), ∠ABD = 180° - (45° + 45°) = 90°.
Відповідь: 6 см; 45°, 90°.
53. У ΔВНС ∠BHC = 90°, ∠C = 30°, ВН — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді ВС = 2ВН, ВС = 7 ∙ 2 = 14 (см). РАВСD = 2(BС + АВ), звідки 
Протилежні сторони паралелограма рівні, тому CD = АВ = 9 см, AD = ВС = 14 см.
Відповідь: 9 см, 14 см, 9 см, 14 см.
54. Ні, не можуть, оскільки у ΔMNK ∠M + ∠K + ∠N = 180°, а у паралелограма ABCD ∠A + ∠B + ∠C > 180° (сума ∠A + ∠B = 180°).
55. Проведемо у паралелограма ABCD діагональ АС і опустимо на неї перпендикуляри ВН і DK, ВН ⊥ АС, DK ⊥ АС. Оскільки АВ || CD, то ∠BAH = ∠KCD як внутрішні різносторонні при АВ || CD та їх січній АС. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD. Тоді прямокутні ΔАВН = ΔCDK за гострим кутом і гіпотенузою, звідки ВН = DK. Отже, вершини В і D рівновіддалені від АС. Що й треба було довести.
56. Нехай у паралелограма ABCD О — точка перетину діагоналей. Проведемо через точку О відрізок LM, де L ∈ АВ, М ∈ CD. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, отже, AO = СО. ∠LAO = ∠MCO як внутрішні різносторонні кути при АВ || CD та їх січній АС; ∠LOA = ∠MOC як вертикальні, тоді ΔLAO = ΔМСО за стороною і прилеглими до неї кутами. Тоді LO = МО. Оскільки відрізок LM обрано довільно, то будь-який відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей та кінці якого належать протилежним сторонам паралелограма, діляться цією точкою навпіл. Що й треба було довести.
57. Скористаємося рисунком до задачі 48. PABCD = 24 CM, ∠ABC = 160°, ∠CAD = 10°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠ABC + ∠BAD = 180°, звідки ∠BAD = 180° - 160° = 20°; ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD, звідки ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD, ∠BAC = 20° - 10° = 10°. Оскільки ВС || AD, то ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній АС, отже, ∠BCA = 10°. Тоді ΔABC— рівнобедрений з основою АС, тоді АВ = ВС. Маємо PABCD = 2(АВ + ВС) = 4АВ, звідки АВ = 24 : 4 = 6 (см). Усі сторони по 6 см.
Відповідь: 6 см.
58. ∠A = ∠C = 50°. У ΔABD ∠ABD = 65° за умовою, тоді ∠ADB = 180° - (∠ABD + ∠A), ∠ADB = 180° - (65° + 50°) = 65°. Отже, ΔABD — рівнобедрений з основою BD, тоді AD = АВ = 8 см.
PABCD = 2(АВ + AD), PABCD = 2 ∙ (8 + 8) = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
59. Скористаємося рисунком до задачі 58. За умовою ∠ABD = 90° і АВ = BD, отже, ΔABD — прямокутний і рівнобедрений, тоді ∠BAD = 45°, ∠ABC = 180° - ∠BAD, ∠ABC = 180° - 45° = 135° за властивістю суми сусідніх кутів паралелограма. Відповідно ∠C = ∠BAD = 45°, ∠D = ∠ABC - 135°.
Відповідь: 45°, 135°, 45°, 135°.
60. Скористаємося рисунком до задачі 58. Нехай у паралелограма ABCD ∠ABD = 90°, ∠ADB = 30°, РАBСD = 36 см. У прямокутного ΔABD АВ = 1/2AD як катет, що лежить проти кута в 30°, тобто AD = 2АВ. РABCD = 2(АВ + AD). РABCD = 2(АВ + 2АВ) = 6АВ; 6АВ = 36 см, АВ = 6 см, a AD = 6 ∙ 2 = 12 (см). ВС = AD = 12 см, CD = АВ = 6 см.
Відповідь: 6 см, 12 см, 6 см, 12 см.
61. 3а побудовою EF || BD, ЕВ || EF як прямі, на яких лежать протилежні сторони паралелограма ABCD. Тоді EBDF — паралелограм за означенням і EF = BD. МК || BD, бо лежать на прямій EF, MB || KD як прямі, на яких лежать сторони паралелограма ABCD, тоді KMBD — паралелограм за означенням і МК = BD.
Маємо: МК = BD = EF, отже, МК = EF. Що й треба було довести.
62. За побудовою МК || АС, AM || СК як прямі, на яких лежать сторони АВ і CD, тоді АМКС — паралелограм за означенням і МК = АС. Аналогічно міркуючи, маємо: PN || АС, РА || NC, тоді PNCA— паралелограм і PN = АС. Отже, PN = АС = МК, тоді PN = МК; PM = PN - MN, NK = МК - MN, тоді PM = NK. Що й треба було довести.
63. Нехай у паралелограма ABCD проведено бісектрису AM і ∠BMA = 24°. ∠MAD = ∠BMA як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній AM, тоді ∠BMA = ∠MAD = 24°.
∠BAM = ∠MAD, ∠BAD = 2∠BAM, ∠BAD = 48°, оскільки AM — бісектриса ∠BAD. ∠B = 180° - ∠BAD, ∠B = 180° - 48° = 132° за властивістю суми сусідніх кутів. ∠C = ∠BAD = 48°, ∠D = ∠B = 132°.
Відповідь: 48°, 132°, 48°, 132°.
64. Скористаємося рисунком до задачі 63. Оскільки AM — бісектриса ∠A, то ∠BAM = ∠MAD. ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній AM. Тоді ∠BAM = ∠BMA і ΔАВМ — рівнобедрений з основою AM, отже, ВМ = АВ = 12 см. ВС = ВМ + МС, ВС = 12 + 16 = 28 (см).
РABCD = 2(АВ + ВС). РABCD = 2 ∙ (12 + 28) = 80 (см).
Відповідь: 80 см.
65. Скористаємося рисунком до задачі 63. Нехай у паралелограма ABCD бісектриса AM ділить сторону ВС так, що ВМ : МС = 3 : 5, а РАВСD = 66 см. Маємо: ∠BAM = ∠MAD (AM — бісектриса ∠A), ∠BMA = ∠MAD (властивість паралельних прямих), тоді ∠BAM = ∠BMA і ΔАВМ — рівнобедрений, де АВ = AM. Позначимо коефіцієнт пропорційності відрізків ВМ і МС за х, х > 0, тоді ВМ — 3х см, МС — 5х см, АВ — 3x см, ВС — (3x + 5x) = 8x (см), РАВСD = 2(3x + 8x) = 22x (см). Отже, 22x = 66, звідки х = 3 і АВ = 3 ∙ 3 = 9 (см), ВС = 3 ∙ 8 = 24 (см). Тоді CD = 9 см, AD = 24 см.
Відповідь: 9 см, 24 см, 9 см, 24 см.
66. За умовою ВК — бісектриса ∠B, тоді ∠CBK = ∠ABK, ∠CKB = ∠ABK за властивістю паралельних прямих, тоді ∠CBK = ∠CKB і ΔВСК — рівнобедрений, у якого ВС = СК. Позначимо довжину KD за х см, тоді СК — 5x см і DC — 6x: см, ВС — 5х см. РАВСD = 2(5x + 6x) = 22x (см). Отже, 22x = 88, звідки х = 4. Маємо: ВС = 4 ∙ 5 = 20 (см), CD = 4 ∙ 6 = 24 (см), АВ = CD = 24 см, AD = ВС = 20 см.
Відповідь: 20 см, 24 см, 20 см, 24 см.
67. У паралелограма ABCD AB = CD = 3 см, AD = 12 см. BE — бісектриса ∠B, тоді ∠ABE = ∠CBE; ∠BEA = ∠CBE за властивістю паралельних прямих, отже, і ∠ABE = ∠AEB, ΔАВЕ — рівнобедрений і АВ = АЕ = 3 см. CF — бісектриса ∠C, тоді ∠BCF = ∠DCF; ∠DFC = ∠BCF за властивістю паралельних прямих, отже, і ∠DCF = ∠DFC, ΔFCD — рівнобедрений і FD = DC = 3 см. AD = АЕ + EF + FD, звідки FE = AD - (АЕ + FD), EF = 12 - (3 + 3) = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
68. За умовою ВН ⊥ AD, тоді у ΔВНМ ∠BHM = 90°, ∠HBM = 24°, a ∠BMH = 90° - ∠HBM, ∠BMH = 90° - 24° = 66°. За властивістю паралельних прямих ∠CBM = ∠BMH = 66°. Оскільки ВМ — бісектриса ∠ABC, то ∠ABC = 2∠CBM, ∠ABC = 66° ∙ 2 = 132°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠A = 180° - ∠ABC, ∠A = 180° - 132° = 48°. ∠C = ∠A = 48°, ∠D = ∠ABC = 132°.
Відповідь: 48°.
69. Нехай у паралелограма ABCD ВН ⊥ AD, ВК ⊥ DC. ∠HBK — шуканий. У прямокутного трикутника ΔСВК ∠CBK = 90° - ∠C. ∠CBH = 90°, тоді ∠HBK = 90° - ∠CBK = 90° - (90° - ∠C) = 90° - 90° + ∠C = ∠C. Отже, кут між висотами, проведеними із вершини тупого кута, дорівнює гострому куту паралелограма. Що й треба було довести.
70. Нехай у паралелограма ABCD AH ⊥ ВС, АК ⊥ CD, ∠HAK — шуканий кут. AH ⊥ AD, тоді ∠HAB = 90° - ∠BAD; AK ⊥ BA, ∠DAK = 90° - ∠BAD; ∠HAK = ∠HAB + ∠BAD + ∠DAK, ∠HAK = 90° - ∠BAD + ∠BAD + 90° - ∠BAD = 180° - ∠BAD. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠ABC = 180° - ∠BAD, отже, ∠HAK = ∠ABC — кут між висотами, проведеними із вершин гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма. Що й треба було довести.
71. Скористаємося рисунком до задачі 69. Нехай у паралелограма ABCD ВН і ВК — висоти, ∠HBK = 30°, ВН = 4 см, ВК = 6 см. За висновком задачі 69 ∠A = ∠C = ∠HBK = 30°. У ΔABH ∠AHB = 90°, ВН — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді АВ = 2ВН, АВ = 4 ∙ 2 = 8 (см). У ΔВКС ∠BCK = 90°, ВК — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді ВС = 2ВК, ВС = 6 ∙ 2 = 12 (см). РABCD = 2(АВ + ВС), РАBCD = 2 ∙ (8 + 12) = 40 (см).
Відповідь: 40 см.
72. Скористаємося рисунком до задачі 70. Нехай у паралелограма ABCD АН і АК — висоти. За умовою ∠HAK = 150°, АВ = 10 см, AD = 18 см. За доведеним у задачі 70 ∠ABC = ∠HAK = 150° = ∠ADC. Тоді ∠HBA = 180° - 150° = 30°, ∠ADK = 180° - ∠ADC = 180° - 150° = 30°. AH — катет прямокутного ΔAHB, що лежить проти кута в 30°, тому АН = 1/2АВ, АН = 10 : 2 = 5 (см), АК — катет прямокутного трикутника AKD, що лежить проти кута в 30°, тому АК = 1/2АD, АК = 18 : 2 = 9 (см).
Відповідь: 5 см, 9 см.
73. Нехай у ΔАВС АВ = ВС, К ∈ АС; МК || ВС, М ∈ АВ, КЕ II АВ, B ∈ ВС. КМВЕ — паралелограм.
РКМВЕ = 2(MB + МК). У рівнобедреного ΔАВС ∠A = ∠C, ∠C = ∠MKA (відповідні при паралельних прямих МК і ВС та їх січній КС), тоді ∠A = ∠MKA і ΔАМК — рівнобедрений, AM = МК. Тоді РКМВЕ = 2(MB + АМ) = 2АВ. Отже, периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі бічних сторін заданого трикутника. Що й треба було довести.
74. Нехай через вершини ΔАВС проведено прямі, паралельні протилежним сторонам, і які перетинаються в точках К, М, Е так, що КЕ || ВС, КМ || АС, ME || АВ. При цьому утворились паралелограми АВМС, АВСЕ, АКВС. РAMBC = 2(ВM + MC), РАBСE = 2(CE + AE), РАKBС = 2(АК + КВ), а їх сума РAMBC + РАBСE + РАKBС = 2(BM + МС + СЕ + АЕ + АК + КВ) = 2((ВМ + ВК) + (МС + СЕ) + (АК + АЕ)) = 2(KM + ME + КЕ) = 100 см за умовою, звідки КМ + МЕ + КЕ = 100 : 2 = 50 (см). Отже, KM + ME + КЕ = PΔKME = 50 см.
Відповідь: 25 см.
75. 1) Побудуйте заданий кут, на його сторонах від вершини відкладіть відрізки заданої довжини. Маємо три вершини паралелограма. Через отримані точки на сторонах кута проведіть прямі, паралельні сторонам кута. Точка перетину цих прямих — четверта вершина паралелограма. З’єднайте послідовно отримані вершини.
2) Нехай необхідно побудувати паралелограм ABCD за відомою стороною AD і діагоналями АС і BD. Побудуйте відрізок AM = 2AD, D — середина AM. Побудуйте коло радіусом АС з центром А та коло радіусом BD з центром в точці М. Позначте точку їх перетину С. Через точку D побудуйте промінь, паралельний CM і такий, що лежить по один бік із точкою С відносно прямої М. На промені від точки В відкладіть відрізок, що дорівнює ВВ. Кінець його позначте як В. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.
3) Побудуйте заданий кут з вершиною в точці А. На одній із його сторін відкладіть відрізок AD, що дорівнює заданій стороні, а на другій — відрізок AC, що дорівнює заданій діагоналі. Через точку С проведіть пряму, паралельну AD. На цій прямій від точки С відкладіть відрізок СВ, що дорівнює AD, так, щоб точки ВІН лежали по різні боки від прямої АС. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.
76. 1) Побудуйте відрізок AD, що дорівнює одній стороні паралелограма. Побудуйте коло радіусом, що дорівнює діагоналі паралелограма, з центром А. Побудуйте коло радіусом, що дорівнює стороні паралелограма, з центром D. Позначте точку перетину кіл С. Через точку С проведіть пряму, паралельну AD, і відкладіть на ній від точки С відрізок ВС, що дорівнює AD так, що точки ВІВ лежать по різні боки від АС. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.
2) Побудуйте кут з вершиною А, величина якого дорівнює куту між діагоналями. На сторонах кута від точки А відкладіть відрізки АС і AM, що дорівнюють діагоналями паралелограма. З’єднайте точки С i М відрізком. Поділіть відрізок CM навпіл точкою В. Через точку С проведіть пряму, паралельну АВ. На цій прямій від точки С відкладіть відрізок СВ, що дорівнює АВ, так, щоб точки В і Dлежали по різні боки від АС. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.
77. Нехай задано точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Через точку В проведіть пряму, паралельну АС. Відкладіть від точки В на проведеній прямій відрізок ВD, що дорівнює АС. Для цього є три можливості: 1) ВС і АD — діагоналі чотирикутника. Чотирикутник АВDС — шуканий паралелограм. 2) АВ і DС — діагоналі чотирикутника. Чотирикутник АВDС — шуканий паралелограм. 3) АС і ВD — діагоналі чотирикутника. Чотирикутник АВDС — шуканий паралелограм.
78. Нехай у паралелограма АВСВ бісектриси кутів ∠B і ∠C перетинаються в точці К, К ∈ АD. Оскільки ВС || АD і ВК — їх січна, то ∠AKB = ∠CBK, ∠ABK = ∠CBK, звідки ∠ABK = ∠AKB i ΔАВК — рівнобедрений, АВ = АK; ∠DKC = ∠BCK, ∠DCK = ∠BCK, звідки ∠DCK = ∠DKC і ΔKCD — рівнобедрений, СD = KD. Оскільки СD = АВ, то АD = АК + KD = АВ + CD = 2АВ. Тоді відношення АВ : АD = АВ : 2АВ = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2.
79. Нехай у паралелограма ABCD М ∈ ВС, ВМ = MD = CD, AD = BD. Позначимо величину кута ∠A за х°, х > 0, a ∠DBM — за у°, у > 0. АВ = ВD, тоді ΔАВD — рівнобедрений і ∠ABD = ∠A = х°. ∠A + ∠ABC = 180°, тоді 2х + у = 180. Оскільки ВМ = MD, то ∠MBD = ∠MDB = у°. ∠C = ∠A = х°; оскільки MD = CD, то ∠DCM = ∠DMC = х°. ∠CMD — зовнішній для ΔBMD, тоді ∠CMD = ∠MBD + ∠MDB, отже, х = у + у. Розв’яжемо систему рівнянь: 
Маємо: ∠A = 72°, ∠ABC =180° - ∠A, ∠ABC = 180° - 72° = 108°.
Відповідь: 72°, 108°.
80. 1) На побудованій прямій оберіть точку Н і проведіть через неї перпендикуляр до прямої. На ньому відкладіть відрізок НВ, що дорівнює висоті паралелограма. Побудуйте коло з центром В і радіусом, що дорівнює діагоналі паралелограма. Точка перетину кола з прямою — точка D. На прямій від точки D відкладіть відрізок DA, що дорівнює стороні паралелограма, так, щоб точка Н лежала між точками А і D. Через точку В проведіть пряму, паралельну AD, та відкладіть на ній від точки В відрізок ВС, що дорівнює AD, так, щоб точки С і D лежали по один бік від ВН. З’єднайте точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.
81. 1) Побудуйте відрізок AD, що дорівнює стороні паралелограма, до якої проводиться задана висота. Із одного кінця, наприклад А, відрізка проведіть до нього перпендикуляр та відкладіть на ньому відрізок АК, що дорівнює заданій висоті. Через точку К проведіть пряму І, паралельну AD. Побудуйте коло з центром А і радіусом, що дорівнює другій стороні паралелограма. Точку її перетину з прямою І назвіть В. На прямій І відкладіть відрізок ВС, що дорівнює AD, так, щоб точка В лежала між точками К і С. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий паралелограм.
84. На стороні АВ побудовано ΔАВМ, де АВ = АМ = ВМ, на стороні ВС паралелограма ABCD — ΔВСК, де ВС = ВК = СК. Позначимо величину ∠BAD за х°, х > 0. Тоді ∠МАВ = ∠МВА, ∠КСВ = 60°.
Розглянемо ΔMAD, ΔDCK та ΔМВК: AM = DC = MB, AD = KC = ВК, ∠MAD = 60° + х, ∠DCK = 60° + x, ∠МВК = 360° - ∠MBA - ∠ABC - ∠КВС = 360° - 60° - (180° - x°) - 60° = 240° - 180° + x° = 60° + x°, отже, ∠MAD = ∠DCK = ∠МВК. Тоді ΔMAD = ΔDCK = ΔМВК за двома сторонами та кутом між ними, отже, MD = DK = МК, тобто ΔMKD — рівносторонній. Що й треба було довести.
85. Побудуйте заданий кут А та задану точку М всередині кута. Через точку М проведіть пряму, паралельну одній із сторін кута. Точку перетину прямої і другої сторони кута позначте за К. На цій стороні кута від точки К відкладіть відрізок КВ, що дорівнює АК, так, щоб точка К лежала між А і В. Проведіть через точки В і М пряму і точку її перетину з іншою стороною кута позначте за С. Тоді М — середина ВС, оскільки К — середина АВ, КМ || АС, отже, КМ — середня лінія ΔАВС, ВМ = МС.