Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

20. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника

Пояснення

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його сусідніх сторін. Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони.

Рівні многокутники мають рівні площі.

Многокутники, що мають рівні площі, називають рівновеликими.

Якщо многокутник розбито на декілька многокутників, то його площа дорівнює сумі площ многокутників, на які його розбито.

666. Нехай у прямокутника сторони а і b, а = b + 5 см, а площа S = 36 см2. S = ab, тоді (b + 5) ∙ b = 36, b2 + 5b - 36 = 0, звідки b1 = 4, b2 = -9, але -9 — від’ємне число, яке не може бути довжиною відрізка. Отже, b = 4 см, тоді а = 4 + 5 = 9 (см).

Відповідь: 4 см і 9 см.

667. Нехай у прямокутника зі сторонами а і b а : b = 5 : 6, площа S = 270 см2. Позначимо коефіцієнт пропорційності сторін за х, х > 0, тоді а — 5х см, b — 6x см. S = ab, тоді 5х ∙ 6х = 270, 30х2= 270, х2 = 9, звідки х = 3. Отже, сторони а = 3 ∙ 5 = 15 (см), b = 3 ∙ 6 = 18 (см).

Відповідь: 15 см і 18 см.

668. Рівновеликими є многокутники, площі яких рівні. Площі прямокутників: a) S = 3 ∙ 4 = 12; б) S = 1,5 ∙ 8 = 12; в) S = 2 ∙ 8 = 16; г) S = 4 ∙ 4 = 16; ґ) S = 1 ∙ 16 = 16; д) S = 2 ∙ 6 = 12. Отже, рівновеликими є прямокутники на рисунках а, б і д, а також на рисунках в, г, ґ.

Відповідь: а, б, д; в, г, ґ.

669. Нехай сторона квадрата с = 12 см, а у прямокутника зі сторонами а і b а = 8 см, площа квадрата SКВ дорівнює площі прямокутника Snp ∙ SKB = с2, SKB = 122 = 144 (CM2). Snp = ab, Snp = 8b (CM2). Маємо: 8b = 144, b = 144/8 = 18 (CM). Периметр прямокутника Рпр= 2(a + b), Рпр= 2 ∙ (8 + 18) = 2 ∙ 26 = 52 (см). Відповідь: 52 см.

670. Нехай у заданого прямокутника сторони а = 2 см і b = 32 см, тоді його площа Snp = ab, Snp = 2 ∙ 32 = 64 (см2). У квадрата зі стороною с SKB = с2. За умовою Snp = SKB, тоді с2 = 64 см2, с = 8 см. Периметр квадрата Ркв = 4с, Ркв = 8 ∙ 4 = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

671. 1 га = 10 000 м2. Площа поля S = 500 ∙ 400 = 200 000 (м2) = 20 га. Якщо на 1 га необхідно 260 кг гороху, то на 20 га — 260 ∙ 20 = 5200 (кг) = 5,2 т > 5 т. Отже, 5 т гороху не вистачить.

Відповідь: ні.

672. Площа стіни SCT = 6 м ∙ 3 м = 18 (м2) = 180 000 см2. Площа однієї плитки Sпл = 152 = 225 (см2). На стіну необхідно п плиток, де У 5 контейнерах плиток — 160 ∙ 5 = 800 (пл.). Отже, 5 контейнерів вистачить.

Відповідь: так.

673. Площа стіни SCT = 6 м ∙ 3 м = 18 (м2), тоді на її фарбування необхідно 180 г ∙ 18 = 3240 = 3,24 кг фарби. Отже, 3 кг емалі не вистачить.

Відповідь: ні.

674. Площа стінки посудини SCT = 35 ∙ 24 = 840 (см2) = 0,084 м2. Тиск на стінку — 0,0015 Н/м2 ∙ 0,084 м2 = 0,000126 Н.

Відповідь: 0,000126 Н.

675. Площа поперечного перерізу стержня Sn.n.. Sn.n. =20 мм ∙ 10 мм = 200 мм2. Максимальне навантаження на цей стержень 60 Н/мм2 ∙ 200 мм2 = 12 000 Н = 12 КН.

Відповідь: 12 КН.

676. Нехай у прямокутника ABCD АС = d, а ∠CAD = α. Із ΔACD (∠ADC = 90°) CD = АС sin ∠CAD, AD = АС cos ∠CAD, тоді CD = d sin α, AD = d cos α. Площа прямокутника SABCD = CD ∙ AD, SABCD = d sin α ∙ d cos α = d2 sin α ∙ cos α.

Відповідь: d2 sin α ∙ cos α.

677. Скористайтеся рисунком до задачі 676. Нехай у прямокутника ABCD AD = 15 см, ACAD = 30°. Із ΔACD (∠ADC = 90°) CD = AD ∙ tg ∠CAD,

Відповідь: 75√3 см2.

678. Нехай сторона одного квадрата а, а другого — b. Тоді їх площі Sa = а2, Sb = b2, а відношення площ

Відповідь: 1) 9 : 16; 2) 4 : 5.

Пояснення

Відношення площ двох квадратів дорівнює квадрату відношення їхніх сторін.

679. За доведеним в задачі 678 тоді відношення сторін квадрата

1) Sa : Sb = 25 : 36, тоді а : b = 5 : 6; 2) Sa : Sb = 3 : 49, тоді а : b = √3 : 7.

Відповідь: 1) 5 : 6; 2) √3 : 7.

680. Нехай у прямокутника сторона a = 28 см, а сторона b = х см. Площа його Snp = ab, Snp = 28х см2. Якщо сторону b зменшити на 5 см, то b' = (х - 5) см, a S' = ab', S' = 28(х - 5) = (28х - 140) см2; площа прямокутника змінилась так: Snp - S' = 28х - (28х - 140) = 28х - 28х + 140 = 140 (см2), тобто зменшилась на 140 см2.

Відповідь: зменшиться на 140 см2.

681. Нехай у прямокутника сторони а і b, тоді його площа S = ab.

1) Одну із сусідніх сторін збільшили в 3 рази, тоді b' = 3b, тоді S' = а ∙ b', S' = а ∙ 3b = 3аb = ЗS, отже, площа збільшилась в 3 рази;

2) кожну із сусідніх сторін збільшили в 3 рази, тоді а' = 3а, b' = 3b, тоді S' = а' ∙ b' = 3а ∙ 3b = 9аb = 9S, отже, площа збільшилась в 9 разів;

3) одну із сусідніх сторін збільшили в 6 разів, тоді а' = 6а, а другу — зменшили в 3 рази, тоді тоді отже, площа збільшилась в 2 рази.

Відповідь: 1) збільшилась в 3 рази; 2) збільшилась в 9 разів; 3) збільшилась в 2 рази.

682. 1) Одну із сусідніх сторін зменшили в 4 рази, тоді а другу — в 2 рази, тоді тоді отже, площа зменшилась у 8 разів;

2) одну із сусідніх сторін збільшили в 4 рази, тоді а' = 4а, а другу зменшили в 4 рази, тоді тоді Отже, площа не зміниться.

Відповідь: 1) зменшилась у 8 разів; 2) не змінилась.

683. Нехай відрізок ВМ перетинає сторону DC в точці О. У ΔВОС і ΔMOD DM = ВС, оскільки DM = AD за умовою, a AD = ВС; ∠ODM = ∠OCB як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній CD; ∠OMD = ∠OBC як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній ВМ. Тоді ΔВОС = ΔMOD за стороною і прилеглими до неї кутами. Площа паралелограма SABCD = SABOD + SΔBOC, площа трикутника SΔABM = SABOD + SΔMOD, тоді SABCD = SΔABM, отже, паралелограм і трикутник рівновеликі. Що й треба було довести.

684. Проведемо діагональ АС, вона перетинає діагональ BD і точці О, АС ⊥ BD, SABCD = AD2, AD2 = 10 CM2, AD = √10 CM. Діагональ квадрата BD = АС = AD ∙ √2 = √10 ∙ √2 = 2√5 (CM). Сторони прямокутника BMKD BD і ВМ; ВМ ⊥ BD, тоді

Відповідь: 10 см2.

685. Паралельні прямі ВС і AD перетинають сторони ΔAKD так, що АЕ = ЕК, тоді KF = FD за теоремою Фалеса. Опустимо із точки К перпендикуляр КН. Тоді:

1) у прямокутних ΔВЕА і ΔНЕК АЕ = ЕК, ∠BEA = ∠KEH як вертикальні, тоді АВЕА = АНЕК, тоді SΔBEA = SΔHEK.

2) у прямокутних ΔKHF і ΔDCF KF = FD, ∠KFH = ∠DFC, тоді ΔKHF = ΔDCF і SΔKHF = SΔDCF.

Площа прямокутника SABCD = SAEFD + SΔBEA + SΔHEK, площа трикутника SΔAKD = SAEFD + SΔKHF + SΔDCF, тоді SABCD = SΔAKD. Що й треба було довести.

686. Нехай в квадрат ABCD вписано коло з центром O i в це коло вписано квадрат KLEF. Нехай радіус кола R, тоді сторона квадрата ABCD АВ = MN = 2R, а площа SABCD = (2R)2= 4R2. Діагональ квадрата КLEF КЕ = 2R — діаметру кола, Площа Площа описаного квадрата більша за площу вписаного квадрата. — тобто удвічі більша.

Відповідь: у 2 рази.

687. Оскільки необхідні квадрати площею 4 см2, то їх сторони по 2 см. Тоді вирізати можна з паперу розміром 2x6 або 3x4, оскільки їхня площа 12 см2. Якщо папір розміром 2x6, то можна вирізати 3 квадрати; якщо папір розміром 3x4, то вирізати можна 2 квадрати. Із прямокутника 1x12 вилізати квадрати неможливо.

Відповідь: 2, або 3, або жодного.

688. Вирізати квадрати зі стороною 3 см можна лише з паперу розміром 3x6. Таких квадратів можна вирізати 2. Із паперу із розмірами 1x18 або 2x9 вирізати квадрат не можна.

Відповідь: 2 або жодного.

689. Нехай у прямокутника ABCD АК — бісектриса, АК ділить діагональ BD в точці О, при цьому BO : OD = 2 : 7. У ΔВОК і ΔDOA ∠AOD = ∠KOB як вертикальні, ∠OAD = ∠OKD як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній АК, тоді за двома кутами, тоді тоді У ΔBАК ∠BAK = ∠АKВ, тоді АВ = ВК, отже, Якщо х — коефіцієнт їх пропорційності, х > 0, тоді AD — 7х см, АВ — 2х см. SABCD = 4х ∙ х = 4х2. За умовою РАВСD = 2(АВ + AD), 2(АВ + AD) = 108, АВ + AD = 54, 2х + 7х = 54, 9х = 54, х = 6. Тоді SABCD = АВ ∙ АВ = 2х ∙ 7х = 14х2 = 14 ∙ 36 = 504 (см2).

Відповідь: 504 см2.

690. Скористайтеся рисунком до задачі 689. Бісектриса АK прямокутника ABCD перетинає діагональ BD в точці О, BO : OD = 1 : 4. ∠BAK = ∠KAD, ∠KAD = ∠BKA, тоді АВ = ВК. за двома кутами, тоді Якщо х — коефіцієнт пропорційності відрізків, х > 0, тоді ВК — х см, AD — 4х см, отже, АВ — х см, SABCD = АВ ∙ AD, SABCD = х ∙ 4х = 4х2. За умовою SABCD = 36 см2, тоді 4х2 = 36, х2 = 9, х = 3. Периметр прямокутника РАВСD = 2(АВ + AD), = 2(х + 4х) = 10х = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

691. Нехай у заданих квадратів площі a2 і b2, тоді їх сума а2 + b2. Нехай сторона квадрата шуканого с, його площа с2 = а2 + b2. Тоді можна побудувати прямокутний трикутник з катетами а і b, а на його гіпотенузі с побудувати шуканий квадрат. За теоремою Піфагора с2 = а2 + b2.

692. Площа заданого прямокутника S = ab. Тоді якщо сторона шуканого квадрата с, то с2 = ab. Таке ж співвідношення мають висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, і проекції катетів на гіпотенузу. Тому на прямій а позначимо точку Н і по обидва боки від неї відкладемо відрізки НА = а і НВ = b. Відрізок АВ поділимо навпіл точкою О і з радіусом ОА побудуємо коло з центром О. Через точку Н проведемо перпендикуляр до АВ, точку його перетину з колом позначимо С. Квадрат зі стороною СН — шуканий. СН2 = НА ∙ НВ.


Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити