Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

21. Площа паралелограма

Пояснення

Площа паралелограма S дорівнює добутку його сторони а і висоти ha, проведеної до цієї сторони. S = а ∙ ha.

Відповідь: 84 см2.

Відповідь: а) 20,8 см2; б) 18 см2.

Рівновеликі: а), г), д), е), є) та б), в), ґ), ж).

Відповідь: а, г, д, е, є та б, в, ґ, ж.

(проведіть діагональ зафарбованої частини);

(проведіть діагональ зафарбованої частини);

(проведіть медіану зафарбованої частини до AD).

Відповідь:

701. Нехай у паралелограма з площею S = 17 см2 одна із його сторін а = 3,4 см, а висота, проведена до цієї сторони, ha ∙ S = aha, звідки ha = S/a, тоді ha = 17/3,4 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

702. Нехай у паралелограма з площею S = 40 см2, висоти ha = 5 см і hb = 4 см, а сторони а і b. S = а ∙ ha = b ∙ hb; а ∙ ha = а ∙ 5 = 40, звідки а = 40/5 = 8 (см); b ∙ hb = b ∙ 4 = 40, звідки b = 40/4 = 10 (см).

Відповідь: 8 см, 10 см.

Відповідь: S = 44,64 см2, h = 4 дм, а = 6 м.

704. Нехай сторони паралелограма а = 10 см і b = 15 см.

1) Нехай ha = 6 см, тоді площа S = aha, S = 10 ∙ 6 = 60 (см2), але S = b ∙ hb, звідки Нехай hb = 6 см, тоді площа S = b ∙ hb, S = 15 ∙ 6 = 90 (CM2), але S = a ∙ ha, звідки 2 випадки.

2) Нехай ha = 12 CM, тоді площа S = aha, S = 10 ∙ 12 = 120 (CM2), але S = b • hb, звідки Нехай hb = 12 CM, тоді у прямокутному трикутнику, що утворюють ця висота і сторона, гіпотенуза менша за катет, що неможливо. Тому 1 випадок.

Відповідь: 1) 2 випадки — 4 см або 9 см; 2) 1 випадок — 8 см.

705. Нехай у паралелограма ABCD AB = 15 CM, AD = 25 см, BD ⊥ АВ. Із ΔABD (∠ABD = 90°) за наслідком із теореми Піфагора Площа S = АВ ∙ BD, S = 15 ∙ 20 = 300 (см2).

Відповідь: 300 см2.

706. Нехай діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О і BD ⊥ AB, АС = 26 см, ВD = 24 см. За властивістю діагоналей паралелограма BО = 1/2BD, ВО = 12 см, АО = 1/2АС, АО = 13 см. У ΔАОB ∠ABO = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора Площа S = АВ ∙ BD, S = 5 ∙ 24 = 120 (см2).

Відповідь: 120 см2.

707. Скористайтеся рисунком до задачі 705. Нехай у паралелограма ABCD BD ⊥ АВ, BD = 18 см, ∠BDA = 30°. У ΔABD ∠ABD = 90°, тоді Площа паралелограма S = АВ ∙ BD, S = 18 ∙ 6√3 = 108√3 (cм2).

Відповідь: 108√3 cм2.

708. Нехай у паралелограма AB = b, АD = a, ∠A = α. Опустимо висоту ВН до АD. У ΔАВН ∠AHB = 90°, тоді ВН = АВ sin ∠A, ВН = b sin α. Площа паралелограма S = АD ∙ ВН, S = а ∙ b sin α.

Відповідь: а ∙ b sin α.

709. Нехай у паралелограма АВСВ проведено висоти ВН ⊥ АD і BN ⊥ СD, ВН = 8 CM, BN = 12 см, ∠HBN = 60°. Оскільки BN ⊥ DС, то BN ⊥ АВ, ∠ABN = 90°, тоді ∠ABH = 90° - ∠HBN, ∠ABH = 90° - 60° = 30°. У ΔАВН ∠AHB = 90°; тоді Площа паралелограма

Відповідь: 64√3 см2.

710. Скористайтеся рисунком до задачі 709. Нехай у паралелограма АВСD АВ = 14 см, АD = 20 см, BH i BN — висоти, ВН ⊥ АD, BN ⊥ СD, ∠HBN = 45°. Оскільки BN ⊥ DC, то BN ⊥ АВ, ∠ABN = 90°, тоді ∠ABH = 90° - ∠HBN, ∠ABH = 90° - 45° = 45°. У ΔАВН ∠ABH = 45°, тоді ВН = АВ ∙ cos ∠ABH, Площа

Відповідь: 140√2 см2.

711. Нехай у ромба АВСD з гострим кутом В т. О — точка перетину діагоналей, ВD = 10 см, NH — висота, проведена через точку О, NH = 6 см. Точка О ділить діагоналі навпіл і висоту NH, тоді За властивістю діагоналей ромба ∠DOC = 90°, ОН — висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута. Тоді ОD2 = DН ∙ DС, звідки Із ΔОDН (∠OHD = 90°) Тоді DС = 25/4 см. Площа ромба

Відповідь: 37,5 см2.

712. Нехай у ромба АВСD ∠B = 60°, АС = а, тоді ΔABC — рівнобедрений (АВ = ВС) і має кут в 60°, отже, ΔABC — рівносторонній, тоді АВ = а. Проведемо висоту СН до АВ, тоді у ΔНВС Площа ромба

Відповідь:

713. Нехай у паралелограма до сторони а проведено висоту ha, до сторони b — висоту hb. Площа паралелограма S = aha або S = bhb, звідки Відношення висот Отже, висоти обернено пропорційні сторонам, до яких вони проведені. Що й треба було довести.

714. Нехай у заданого паралелограма сторони а = 9 см, b = 12 см, а висоти, проведені до них, відповідно ha і hb, ha + hb = 14 см. Позначимо довжину ha за x см, х > 0, тоді hb — (14 - x) см. Площа паралелограма S: S = aha, S = 9x або S = bhb, S = 12(14 - х). Маємо: 9х = 12(14 – x), 9x = 168 – 12x, 21x = 168, x = 8. Тоді площа паралелограма S = 9 ∙ 8 = 72 (см2).

Відповідь: 72 см2.

715. Нехай у заданого паралелограма сторони а і b, а - b = 12 (а > b), тоді до них проведено висоти ha = 10 см (до більшої сторони менша висота), hb = 15 см. Позначимо довжину меншої сторони за x см, x > 0, b — x см, тоді а — (x + 12) см. Площа паралелограма S = b ∙ hb, S = 15x або S = а ∙ ha, S = 10(x + 12). Маємо: 15x = 10(x + 12), 15x = 10x + 120, 5x = 120, x = 24. Тоді S = 15 ∙ 24 = 360 (см2).

Відповідь: 360 см2.

716. Нехай у паралелограма ABCD AD = а, АВ = b. Опустимо висоту ВН, тоді площа паралелограма S = b ∙ ВН. У ΔАВН ∠AHB = 90°, ВН — катет. Якщо АВ залишити незмінним, a ∠A збільшувати, то ВН буде зростати, таким чином буде збільшуватися добуток b ∙ ВН, отже, S. Оскільки в ΔАВН найбільшою є гіпотенуза, то найбільшого значення добуток b ∙ ВН досягне, якщо ВН набуде значення а, тоді ∠A буде дорівнювати 90°. Отже, із усіх паралелограмів зі сторонами а і b найбільшу площу має прямокутник. Що й треба було довести.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити