Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

22. Площа трикутника

Пояснення

Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та висоти, проведеної до неї.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

721. Якщо у трикутника а = 12 см, ha = 2,5 см, то

Відповідь: 15 см2.

722. Якщо у прямокутного трикутника катети а = 10 см, b = 18 см, то площа

Відповідь: 90 см2.

Рівновеликі: а) і г); б) і в); ґ) і д).

Відповідь: а, г; б, в; ґ, д.

Відповідь: 12; 10; 6; 8. -

725. Нехай у заданого трикутника висота h = 8 см, проведена до сторони а, звідки

Відповідь: 12 см.

726. Нехай у заданого трикутника відомі сторони а = 24 см, b = 9 см. До більшої сторони проведено висоту ha = 6 см. Тоді площа трикутника Якщо до сторони bпроведено hb, то звідки

Відповідь: 16 см.

727. 1) а = 2,4 см, h = 4 см, тоді

2) а = 9 дм, S = 81 дм2, звідки

3) h = 5 м, S = 65 м2, звідки

Відповідь: S = 4,8 см2; h = 18 дм; а = 26 м.

728. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 13 см, АС = 24 см. Проведемо висоту ВН, яка є і медіаною, тому АН = 1/2АС. Tоді У ΔАВН ∠AHB = 90°, АВ = 13 см, тоді за наслідком із теореми Піфагора Отже, SΔABC = 12 ∙ 5 = 60 (см2).

Відповідь: 60 см2.

729. Скористайтеся рисунком до задачі 728. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 61 см, ВІТ — висота, ВН = 60 см. Оскільки АС — oснова, ВH ⊥ АС, то ВН і медіана, тоді У ΔАВH∠AHB = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора Отже, SΔABC = 11 ∙ 60 = 660 (см2).

730. Нехай у ΔАВС ∠C = 90°, АС = 12 см, СМ — медіана, СМ = 18,5 см. За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи прямокутного трикутника, СМ = 1/2АВ, отже, АВ = 2 см, АВ = 2 ∙ 18,5 = 37 (см). Із ΔАВС маємо

Відповідь: 210 CM2.

731. Нехай у ΔАВС ∠C = 90°, CH — висота, AH = 3 CM, ВН = 27 см. Тоді АВ = AH + НВ, АВ = 3 + 27 = 30 (см). За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику CH2 = АН ∙ ВН, СН2= 3 ∙ 27 = 81, СН = 9 см.

Відповідь: 135 см2.

732. Скористайтеся рисунком до задачі 731. Нехай у ΔABC ∠C = 90°, СН — висота, СН = 8 см, АН = 6 см. У ΔACH ∠AHC = 90°. Тоді АС2 = АН2 + СН2, АС2 = 36 + 64 = 100 (см2). За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику АС2 = АН ∙ АВ, звідки

Відповідь:

733. Нехай у ΔАВС BD — висота, ВС = √37 см, CD = 5 см, ∠A = 30°. У ΔBDC ∠BDC = 90°. Тоді У ΔABD ∠BDA = 90°, тоді AD = BD ctg ∠A, Тоді AC = AD + CD = 6 + 5 = 11 (CM).

Відповідь: 11√3 см2.

734. Нехай у ΔABC AM — висота, АВ = 10√2 см, АС = 26 см, ∠B = 45°. У √АВМ ∠AMB = 90°, ∠B = 45°, тоді ΔАВМ — рівнобедрений, У ΔАМС

Відповідь: 170 см2.

735. Скористайтеся рисунком до задачі 728, Нехай у ΔАВС АВ = ВС, АВ = b, ∠A = α. Проведемо висоту ВН, вона є і медіаною, тому У ΔАВН ∠AHB = 90°, тоді

Відповідь: b2 sin α cos α.

736. Скористайтеся рисунком до задачі 728. Нехай у ΔABC АВ = ВС, ВН — висота, ВН = h, ∠ABC = β. Оскільки ВН — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, то вона є бісектрисою і медіаною, тому У ΔАВН ∠AHB = 90°, тоді АН = ВН tg ∠ABH,

Відповідь:

737. Нехай у рівностороннього трикутника сторона а, висота — h. Тоді його площа За доведеним у § 3 висота рівностороннього трикутника

Відповідь:

Запам’ятайте! Площа рівностороннього трикутника зі стороною а дорівнює

738. Нехай у ΔABC ∠C = 90°, АС = ВС, АВ = с. Проведемо висоту СН, вона є і медіаною, а за властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеною до гіпотенузи,

Відповідь: C2/4.

739. Скористайтесь рисунком до задачі 731. Нехай у ΔAВС ∠C = 90°, СН — висота, АС = 10 см, СВ = 24 см. За теоремою Піфагора З іншого боку, звідки

Відповідь: 120/13 см.

740. Нехай у ΔАВС (∠C = 90°) вписано коло з центром О, яке дотикається до АВ в точці К, до АС — в точці М і до ВС — в точці N, АК = 8 см, ВК = 12 см. За властивістю дотичних, проведених до кола із однієї точки, маємо: AM = АК = 8 см, BN = ВК = 12 см, МС = CN. Позначимо довжину МС за х см, х > 0, тоді і CN — х см. У ΔАВС АВ = АК + ВК, АВ = 8 + 12 = 20 (см); АС = AM + МС, АС = 8 + х (см); ВС = CN + BN, ВС = 12 + x (см). За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2, тоді 202 = (8 + х)2 + (12 + х)2, 64 + 16х + х2 + 144 + 24x + х2 - 400 = 0, 2х2 + 40х - 192 = 0, х2 + 20х - 96 = 0, звідки x1 = 4, х2 = -24 < 0. Тоді х = 4, АС = 8 + 4 = 12 (см), ВС = 12 + 4 = 16 (см).

Відповідь: 96 см2.

741. Скористайтеся рисунком до задачі 728. Нехай у ΔАВС АВ = ВС, ВН — висота, ВН = 9 см, АН = 1/2АС, оскільки висота є і медіаною, РΔАВС = 54 см. Позначимо довжину АВза х см, х > 0, тоді РΔАВС = 2АВ + АС, звідки У ΔАВН ∠AHB = 90°, тоді за теоремою Піфагора Отже,

Відповідь: 108 см2.

742. Скористайтесь рисунком до задачі 728. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 40 см, ВН — висота, а отже, і медіана, АС : ВН = 8 : 3. Позначимо коефіцієнт пропорційності основи і висоти за х, х > 0, тоді АС — 8x см, ВН — 3x см, АН — 4x см. У ΔАВН ∠AHB = 90°, за теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2, 1600 = 16x2 + 9x2, 25x2 = 1600, x2 = 64, звідки x = 8, тоді АН = 8 ∙ 4 = 32 (см), ВН = 8 ∙ 3 = 24 (см). SΔABC = 32 ∙ 24 = 768 (см2).

Відповідь: 768 см2.

743. Нехай у чотирикутника ABCD О — точка перетину діагоналей, BD ⊥ AC.

Що й треба було довести.

Запам’ятайте! Площа чотирикутника зі взаємно перпендикулярними діагоналями дорівнює половині їх добутку.

Запам’ятайте! Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей.

744. Нехай у ромба ABCD Позначимо коефіцієнт пропорційності діагоналей за х, х > 0, тоді АС — 5X CM, BD — 12x см. За доведеним у задачі 743 тоді У ΔАОВ Тоді АВ2 = АО2 + ВО2, АВ2 = 25 + 144, АВ = 13 см. РABCD = 4АВ, РABCD = 13 ∙ 4 = 52 (см).

745. Скористайтеся рисунком до задачі 744. Нехай у ромба ABCD АВ = 25 см, АС + BD = 62 см. У ΔАОВ ∠AOB = 90°, тоді Позначимо довжину АО за x см (x > 0), тоді ВО = (31 - х) см. За теоремою Піфагора АВ2 = АО2 + ВО2, 625 = х2 + (31 - х)2, х2 + 961 – 62x + x2 - 625 = 0, 2x2 – 62x + 336 = 0, х2 – 31x + 168 = 0, звідки х1= 7, x2 = 24. Якщо x = 7, то 31 - x = 31 - 7 = 24; якщо x = 24, то 31 - 24 = 7. Маємо АО = 7 см, ВО = 24 см. АС = 2АО, АС = 14 см, BD = 2ВО, ВD = 48 см. Площа ромба

Відповідь: 336 см2.

746. Скористайтесь рисунком до задачі 744. Нехай у ромба ABCD АВ = 39 см, BD - АС = 42 см. тоді Позначимо довжину АО за x см (x > 0), тоді ВО = (x + 21) см. У ΔАОВ ∠AОВ - 90°, тоді АВ2 = АО2 + ВО2, 392 = x2 + (x + 21)2, 1521 = x2 + x2 + 42x + 441, 2x2 + 42x + 441 - 1521 = 0, 2x2 + 42x - 1080 = 0, x2 + 21x - 540 = 0, звідки x1 = 15, x2 = -36 < 0. Отже, x = 15, тоді АО = 15 см, АС = 2АО = 30 см; ВО = 15 + 21 = 36 (см), BD = 36 ∙ 2 = 72 (см). Площа ромба

Відповідь: 1080 см2.

747. Розглянемо трикутники, основою яких є відрізок АВ, а висотою, проведеною до неї (або прямої, на якій вона лежить), відрізки, довжина яких дорівнює відстані між паралельними прямими АВ і l, тобто всі рівні ХН (ХН ⊥ АВ). Оскільки SΔAXB = АB ∙ ХН, то всі трикутники, вершина X яких лежить на прямій l, рівновеликі. Що й треба було довести.

748. Нехай у одного трикутника основа а, висота, проведена до неї, - h, тоді Нехай у другого трикутника основа b, висота, проведена до неї, теж h, тоді Відношення площ трикутників — дорівнює відношенню сторін, до яких проведено рівні висоти. Що й треба було довести.

749. Нехай у ΔАВС ВМ — медіана. Опустимо із вершини В висоту ВН ΔАВС. Вона є висотою і для ΔМВС, і для ΔАВМ. Тоді Оскільки AM = МС, то SΔABM = SΔMBC. Отже, медіана трикутника розбиває його на два рівновеликі трикутники. Що й треба було довести.

750. Нехай у ΔАВС М ∈ АС і Позначимо коефіцієнт пропорційності цих відрізків за х, х > 0, тоді AM = mх, МС = nх. Опустимо висоту ВН ΔАВС, вона є висотою і для ΔАBМ, і для ΔМВС. Тоді Відношення Що й треба було довести.

751. Нехай у ΔABC О — точка перетину медіан AF, CN, ВМ; BS, СТ, AQ — висоти ΔАВС; Оскільки медіани перетинаються і точкою О діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини, то у ΔАОС висота ОН = 1/3BS, у ΔСОВ висота ОЕ = 1/3AQ, у ΔАОВ висота ОК = 1/3СТ;

OM — медіана ΔАОС, тоді за доведеним у задачі 749

отже, Що й треба було довести.

752. Поділіть сторону АС точками М і N на три рівних відрізки AM = MN = NC. Через вершину В і точки М і N проведіть прямі. оскільки їх основи рівні і рівні висоти, що можна провести до них (і дорівнюють висоті ΔАВС).

753. Ураховуючи, що у паралелограма зі сторонами а і b та висотами, проведеними до них, ha i hb S = ahb = bhb, зауважимо, що діагональ розбиває паралелограм на два рівновеликі трикутники, а медіана кожного з них розбиває кожний із цих трикутників на два рівновеликих.

1) Тому у паралелограма ABCD проведемо діагональ BD і медіану BN ΔABD та медіану ВМ ΔBDC.

2) Поділимо сторони AD і DC на 5 рівних частин та позначимо на AD точки М і N так, що AM : MN : ND = 2 : 2 : 1, на DC — К і С так, щоб CL : LK : DK = 2 : 2 : 1. Проведемо прямі ВМ, BN, ВK і BL.

Площі трикутників рівні за міркуваннями, наведеними вище

754. Поділіть сторони AD і DC кожну на 3 рівні частини і позначте на AD точку М так, що AM : MD = 2 : 1, на DC — точку N так, що CN : DN = 2 : 1. Проведіть прямі ВМ і BN. (кожна з яких дорівнює половині SΔABM).

755. Нехай задано паралелограм ABCD. На продовженні сторони AD за точку D відкладіть відрізок DK = AD. Побудуйте ΔАВК. SΔABK = SABCD.

Доведення. Проведемо висоту паралелограма ABCD — ВН, тоді SABCD = AD ∙ ВН. У ΔАВK: АК = 2AD, висота - ВН, тоді отже, SΔABK = SABCD.

756. Нехай у трикутника зі сторонами а, b і с до кожної з них проведено від повідно висоти ha, hb і hc. Площа трикутника звідки Оскільки у отриманих дробів чисельники рівні, то менше значення у того дробу, знаменник якого більший. Отже, до найбільшої висоти проведено меншу висоту. Що й треба було довести.

Запам’ятайте! У трикутника на найбільшу сторону опущено найменшу Н висоту і навпаки.

757. За умовою М ∈ АС і тоді за доведеним раніше (задача 750) Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді У ΔAXC тоді Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за y, y > 0, тоді Тоді Що й треба було довести.

758. Нехай у ΔАВС (∠C = 90°) вписано коло з центром О, точки його дотику з АВ — К, з ВС — L, з АС — М. І нехай КВ = АК + 14 см. За властивістю дотичних, проведених із однієї точки до кола, AM = АК, LB = KB, МС = CL = 4 см. Позначимо довжину АК- за х см, х > 0, тоді КВ — (х + 14) см, АВ — x + х + 14 = 2х + 14 (см), АС — (х + 4) см, ВС — х + 14 + 4 = х + 18 (см).

За теоремою Піфагора АВ2 =АС2 + ВС2, тоді (2х + 14)2 = (х + 4)2 + (х + 18)2, 4x2 + 56x + 196 = х2 + 8х + 16 + х2 + 36x + 324, 2x2 + 12x - 144 = 0, х2 + 6х - 72 = 0, звідки х1 = 6, x2 = -12 < 0. Отже, х = 6, тоді АС = 6 + 4 = 10 (см), ВС = 6 + 18 = 24 (см).

Відповідь: 120 см2.

тоді за умовою Поділимо перше рівняння на друге, маємо: звідки Позначимо довжину AM за х см, x > 0, тоді ВМ — 9х см. За властивістю висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, CM2 = AM ∙ ВМ, СМ2 = х ∙ 9х = 9х2. У ΔАСМ ∠AMC = 90°, тоді АС2 = AM2 + CM2, АС2 = х2 + 9х2 = 10х2, звідки АС = х√10; у ΔВCМ ∠BMC = 90°, тоді тоді звідки 30х2 = 120, х2 = 4, х = 2. Отже,

Відповідь: 2√10 см, 6√10 см, 20 см.

760. Нехай у √АВС ∠C = 90°, АК — бісектриса і СК = 21 см, ВK = 35 см. Тоді ВС = 21 + 35 = 56 (см). За властивістю бісектриси трикутника тоді Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0. С Тоді АС — 3х см, АВ — 5х см. За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2, 25х2 = 9х2 + 562, звідки 16х2 = 562, тоді

Відповідь: 1176 см2.

761. Нехай у ΔАВС ∠C = 90°, СК — бісектриса, АК = 2 см, ВК = 6 см. За властивістю бісектриси трикутника тоді Позначимо довжину АС за х см, х > 0, тоді ВС — 3х см. У ΔАВС АВ = АK + ВК, АВ = 2 + 6 = 8 (см). За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2. 64 = х2 + 9х2, 10х2 = 64, х2 = 6,4. тоді

Відповідь: 9,6 см2.

762. Нехай в ΔABC (АВ = ВС) вписано коло з центром О, ВН — висота, О ∈ ВН, ВО = 34 см, ОН = 16 см. Тоді ВН = ВО + ОН, ВН = 34 + 16 = 50 (см). оскільки висота ВН є і медіаною, і АН = 1/2АС. Проведемо відрізок АО, він є бісектрисою ∠A, оскільки О — центр вписаного кола — точка перетину бісектрис кутів трикутника ABC. У ΔАВН АО — бісектриса, тоді ВО : ОН = АВ : АН, отже, Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0. Тоді АВ — 17x см, АН — 8x см і за теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2, 289x2 = 64x2 + 2500, звідки Отже,

Відповідь:

763. Нехай у ΔАВС АВ = ВС і в цей трикутник вписано коло з центром О. Проведемо бісектриси з вершин А і В, точка їх перетину О, при цьому бісектриса ВН є і висотою, і медіаною ΔАВС. Нехай коло дотикається до АВ в точці К і ВК : АК = 9 : 8. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за x, x > 0, тоді ВК — 9x см, АК — 8x см. За властивістю дотичних, проведених із однієї точки до кола, АН = АК, АН — 8x см. За умовою ОН (радіус вписаного кола) дорівнює 16 см. У ΔАВН АО — бісектриса, тоді тоді АВ = АК + ВК, АВ = 8x + 9x = 17x, отже, Тоді ВН = ВО + ОН, ВН = 34 + 16 = 50 (см). За теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2, 289x2 = 64x2 + 2500, 225x2 = 2500, тоді

тоді

Відповідь:

764. Проведемо відрізки CD, АЕ, FB. За умовою АВ = СВ = АС, BD = CE = AF = 2АВ, SΔABC = 1 см2. У ΔАDС тоді звідки SΔBDC = 2 см2. У ΔBDE тоді звідки SΔDCE = 4 см2. У ΔBAE тоді звідки SΔACE = 2 см2. У ΔFCE тоді звідки SΔFAE = 4 см2. У ΔFBC тоді звідки SΔFBA = 2 см2. У ΔFAD тоді звідки SΔFBD = 4 см2.

Відповідь: 19 CM2.

765. За умовою Проведемо через т. M відрізки СF, ВК і АЕ. У ΔАВС отже, BE = EС, У — середина ВС, АE — медіана ΔАВС; у ΔАВС отже, АК = КС, К — середина АС, ВК — медіана ΔАВС; у ΔАВС отже, АF = FВ, F — середина АВ, СF — медіана ΔАВС. Тоді М — точка перетину медіан ΔАВС. Що й треба було довести.

767. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = АС, О — довільна точка трикутника. Опустимо з точки О перпендикуляр до сторін трикутника: ОН ⊥ АС, ОМ ⊥ ВС, ON ⊥ АВ. З’єднаємо точку О з вершинами трикутника.

звідки — стале число. Що й треба було довести.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.