Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 4. Многокутники. Площа многокутника

23. Площа трапеції

Пояснення

Площа трапецїі дорівнює добутку півсуми її основ і висоти:

Площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії і висоти.

772. Якщо у заданої трапеції а = 12 см, b = 7 см, h = 6 см, то її площа

Відповідь: 57 см2.

773. Якщо у заданої трапеції середня лінія l = 18 см, а висота h = 9 см, то S = lh, S = 18 ∙ 9 = 162 (см2).

Відповідь: 162 см2.

774. У трапеції з основами а і b а : b = 3 : 5, висота h = 3 см, S = 96 см2. тоді Нехай коефіцієнт пропорційності основ x, x > 0, тоді а — 3x см, b — 5x см, отже, 3x+ 5x - 64, 8х = 64, х = 8. Тоді а = 8 ∙ 3 = 24 (см), b = 8 ∙ 5 = 40 (см).

Відповідь: 24 см і 40 см.

775. Нехай у трапеції з основами а і b а = 8 см, висота b = 6 см, площі S = 45 см2. звідки тоді b = 15 - а, b = 15 - 8 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

776. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, ВС = 14 см AD = 16 см, BD = 17 см. Проведемо висоту ВН, за її властивістю У ΔBHD ∠BHD = 90°, тоді за наслідком із теореми Піфагора Площа трапеції

Відповідь: 120 см2.

777. Нехай у трапеції ABCD АВ ⊥ AD ВС = 9 см, AD = 16 см, CD = √б5 см. Опустимо висоту СН, тоді HD = AD – AH = AD - BC, HD = 16 - 9 = 7 (см). У ΔСHD ∠CHD = 90°, за наслідком із теореми Піфагора

Відповідь: 50 см2.

778. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, ВС = 14 см, AD = 32 см, АВ = 15 см. Опустимо висоту ВН, тоді У ΔАВH ∠AHB = 90°, тоді

Відповідь: 282 см2.

779. У заданої трапеції h = 1,5 м, а = 1,2 м, b = 0,8 м.

Відповідь: 1,5 м2.

780. а) Оскільки кути при основі рівні, то задана трапеція — рівнобічна. Нехай це трапеція ABCD, у якої AB = CD, ∠A = 45°, AD = 60 см, ВС = 40 см. Опустимо висоту ВН, тоді У ΔABH ∠AHB = 90°, ∠A = 45°, тоді ∠ABH = 45°, ΔABH — рівнобедрений і ВН = АH = 10 см.

Відповідь: 500 см2.

б) Нехай у трапеції ABCD AD = 48 см, ВС = 32 см, АВ = 10 см, ∠A = 60°. Опустимо висоту ВН. У ΔАВН ∠AHB = 90°, ∠A = 60°, тоді ВН = АВ ∙ sin ∠A,

Відповідь: 200√3 см2.

781. Нехай у трапеції ABCD AD = 36 см, ВС = 24 см, ∠С = 150°, CD = 20 см. У паралелограма сума кутів, прилеглих до бічної сторони, 180°, тому ∠D = 180° - ∠С, ∠D = 180° - 150° = 30°. Опустимо висоту СН. У ΔCHD

Відповідь: 300 см2.

782. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, АС — бісектриса ∠A, MN — середня лінія, О — точка перетину MN і АС, МО = 6 см, ON = 12 см. ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній АС, ∠BAC = ∠CAD, оскільки АС — бісектриса, тоді ∠BAC = ∠BCA і ΔАВС— рівнобедрений з основою АС, отже, АВ = ВС. У ΔАВС МО — середня лінія, тоді ВС = 2МО, ВС = 12 см = АВ. У ΔACD ON — середня лінія, тоді AD = 2ON, AD = 24 см. Опустимо виcоту ВН, тоді У ΔАВН ∠AHB = 90°, тоді (см).

Відповідь: 108√3 см2.

783. Нехай у трапеції ABCD АВ ⊥ AD, ВС = 9 см, AD = 17 см, СА — бісектриса ∠BCD. ∠DAC = ∠BCA як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній АС, ∠BCA = ∠DCA, оскільки СА — бісектриса ∠BCD, тоді ∠DCA = ∠DAC і ΔACD — рівнобедрений з основою АС, отже, CD = AD = 17 см. Опустимо висоту СН, тоді HD = AD - АН = AD - ВС, HD = 17 - 9 = 8 (см). У ΔCHD ∠CHD = 90°, тоді

Відповідь: 195 см2.

784. Нехай у трапеції ABCD АВ = 17 см, CD = 25 см, АО — бісектриса ∠A, DO — бісектриса ∠D, О — точка перетину АО і DO, О ∈ ВС, ВН — висота, ВН = 15 см. ∠DAO = ∠BOA = ∠BAO, тоді АВ = ВО = 17 см; ∠COD = ∠ADO = ∠CDO, тоді ОС = CD = 25 см. ВС = ВО + ОС, ВС = 17 + 25 = 42 (см). Опустимо висоти ВН і CN. У ΔABH ∠BHA = 90°, тоді у ΔCND ∠CND= 90°, тоді

Відповідь: 840 см2.

785. Нехай у трапеції АВСD ЛВ = 10 см, СD = 17 см, ВО — бісектриса ∠B, СО — бісектриса ∠С, О точка перетину бісектрис, О ∈ AD, ВН висота, ВН = 8 см. ∠AOB = ∠СВО = ∠АВО, тоді AО = AВ = 10 см; ∠COD = ∠BCO = ∠DCO, тоді OD = CD = 17 см. AD = AО + ОD = 10 + 17 = 27 (см). Опустимо висоти ВH і СN. У ΔАВH У ΔСND Тоді

Відповідь: 132 см2.

786. Нехай у трапеції ABCD AВ = СD = 20√3 см, ∠A = 60° і в дану трапецію можна вписати коло тоді AВ + СD = ВС + AD, отже, ВС + AD = 2 ∙ 20√3 = 40√3 (см). Опустимо висоту ВН. У ΔАВH∠АHВ = 90°, тоді

Відповідь: 600√3 см2.

787. Скористайтеся рисунком до задачі 786. Нехай у трапеції AВСD AB = CD, ВС = 32 см, AD = 50 см і в трапецію можна вписати коло. Тоді BC + AD = AВ + СD = 32 + 50 = 82 (см), а оскільки AВ = СD, то AВ = 82 : 2 = 41 (см). Опустимо висоту ВН, тоді У ΔАВH ∠АHВ = 90°, тоді

Відповідь: 1640 см2.

788. Скористайтеся рисунком до задачі 777. Нехай у трапеції ABCD AB ⊥ AD, АB = 8 см, ∠D = 45° і в трапецію можна вписати коло, тоді АВ + СD = ВC + AD. Опустимо висоту СH, тоді у ΔСHD тоді

Відповідь: 32 (1 + √2) см2.

789. Скористайтеся рисунком до задачі 777. Нехай у трапеції ABCD АВ ⊥ AD, CD = 28 CM, ∠D = 30° і в трапецію можна вписати коло. Тоді AD + ВС = АВ + CD. Опустимо висоту СН, тоді у ΔCHD∠CHD = 90°, СН — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді

Відповідь: 294 рм2.

790. Нехай у трапеції ABCD MN — середня лінія, О — середина MN, EF проходить через т. О, Е ∈ ВС, F ∈ AD. Утворились трапеції ABEF, FECD, які мають таку ж висоту h, як і трапеція ABCD. Тоді SABEF = МО ∙ h, де МО — середня лінія трапеції ABEF; SEFCD = ON ∙ h, де ON — середня лінія трапеції FECD. Оскільки МО = ON, то SABEF = SEFCD. Що й треба було довести.

791. 1) Позначте т. N — середину CD і через неї проведіть пряму, паралельну АВ, її точка перетину з AD — L, з прямою, на якій лежить ВС, — К. Паралелограм ABKL — шуканий, оскільки ΔCNK= ΔDNL.

2) Позначте середину АВ — точку Е і середину CD — точку О. Через точки Е і О проведіть прямі, перпендикулярні основам. Точки перетину з AD — точки К і N, точки перетину з прямою, яка містить основу ВС, — точки F і М. Чотирикутник KFMN — шуканий прямокутник, оскільки ΔFEB = ΔKEA, ∠COM = ∠DON.

792. Позначимо середини бічних сторін: М — середина АВ, N — середина CD. Оберіть на AD точку О. Із точки О через точки М і N проведемо промені. Точки їх перетину з прямою, яка містить ВС, позначимо Р i К. ΔРКО — шуканий, оскільки ΔАМО = ΔBMP, ΔOND = ΔKNC.

793. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, BD ⊥ АВ, ВС = 24 см і AD = 40 см. Проведемо висоту ВН, тоді a HD = AD - AH, HD = 40 - 8 = 32 (см). У ΔABD ∠ABD = 90°, ВН — висота, проведена до гіпотенузи, тоді

Відповідь: 512 см2.

794. Оскільки трапеція ABCD (АВ = CD) вписана в коло і діагональ BD ⊥ АВ, то більша основа є діаметром кола. За умовою АВ = 15 см, АО = 12,5 см, де О - центр кола, середина АD. Тоді AD = 2АО, АD = 25 см. Опустимо висоту ВH. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику АВ2 = АН ∙ AD, звідки

Відповідь: 192 см2.

795. Нехай у трапеції ABCD АС ⊥ BD, BD = 48 см, середня лінія m = 25 см. Проведемо через точку С пряму, паралельну ВD, її точка перетину з прямою АD — т. К. ВСКD — паралелограм, тому DК = ВС. У ΔACK ∠ACK = 90°, АК = АD + DК = АD + ВС = 2m = 50 см (сума основ дорівнює двом середнім лініям); СК = СD = 48 см; (О - точка перетину діагоналей).

Відповідь: 336 см2.

796. Нехай у трапеції АВ = СН, ВС = а, АС бісектриса ∠A, АС ⊥ СD. ∠BCA = ∠CAD = ∠BAC, тоді ВС = АВ = а, тоді і СН = а. У рівнобедреної трапеції ∠A = ∠D, ∠CAD = 1/2∠A. Позначимо величину ∠CAD за х°, тоді ∠CDA — 2х°. У ΔАСD ∠CAD + ∠CDA = 90°, тоді х + 2х = 90, 3х = 90, х = 30. Отже, ∠CAD = 30°, СН - катет, що лежить проти кута в 30°, тоді АD = 2СD, АD = 2а. Проведемо висоту СH, тоді Із ΔСНD (∠CHD = 90°)

Відповідь:

797. Нехай у трапецію АВСD (АВ = СD) вписано коло з центром О. К — точка дотику кола до АD, М — до АВ, N — до ВС, ВМ = 4 см, AM = 9 см. ВN = 1/2ВС, АK = 1/2АD. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, BN = ВМ = 4 см, АК = AM = 9 см. Тоді ВС = 2BN = 8 см, AD = 2АК = 18 см; AB = AM + BM = 9 + 4 = 13 (CM). Опустимо висоту BH, тоді Із ΔАВН

Відповідь: 156 см2.

798. Нехай у трапеції ABCD AB ⊥ AD, О — центр кола, вписаного в трапецію. Точки дотику: М — з ВС, N — з CD, К — з AD. ON = ОМ = ОК = 12 см. Нехай ND = 16 см. За властивістю дотичних KD= ND = 16 см; АК = ON = 12 см; АВ = 2ОМ = 24 см = СH; AD = 28 см. Позначимо довжину CN за х см, тоді CD = (16 + х) см, ВС = (12 + х) см. Опустимо висоту СH, тоді HD = AD - AH = AD - ВС = 28 - (12 + х) = (16 - х) см. У ΔCHD ∠CHD = 90°, тоді

Відповідь: 588 см2.

799. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD = ВС, ВН — висота, О — точка перетину АС з ВН, ВО = 15 см, НО = 12 см. Оскільки АВ = ВС, то у ΔАВС ∠BAC = ∠BCA, a ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній АС, тоді ∠BAC = ∠CAD, отже, АС — бісектриса ∠A. У ΔАВH ∠AHB = 90°, АО — бісектриса, тоді Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0. Тоді АВ — 5х см, АН — 4х см; ВН = ВО + НО, ВН = 15 + 12 = 27 (см). За теоремою Піфагора АВ2 = AH2 + ВН2, 25х2 = 16х2 + 729, 9х2 = 729, х2 = 81, х = 9. Тоді АВ = 9 ∙ 5 = 45 (см) = ВС, АН = 9 ∙ 4 = 36 (см). За властивістю висоти рівнобедреної трапеції тоді AD = ВС + 2AH, AD = 45 + 36 ∙ 2 = 117 (см).

Відповідь: 2187 см2.

800. Нехай у трапеції ABCD АВ ⊥ AD, CD = ВС, СН — висота, О — точка перетину BD і СH, СО = 15 см, ОН = 9 см. Оскільки ВС = CD, то у ΔBCD ∠CBD = ∠CDB; ∠ADB = ∠CBD як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній BD, тоді ∠CBD = ∠ADB, отже, DB — бісектриса. У ΔCHD ∠CHD = 90°, СH = СО + ОН, СН = 15 + 9 = 24 (см), DO — бісектриса, тоді Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді CD — 5х см, HD — 3х см. За теоремою Піфагора CD2 = СН2 + HD2, 25х2 = 576 + 9х2, 16х2 = 576, х2 = 36, х = 6. Отже, CD = 6 ∙ 5 = 30 (см) = ВС, HD = 6 ∙ 3 = 18 (см). AD = AH + HD = ВС + HD, AD = 30 + 18 = 48 (см).

Відповідь: 936 см2.

801. Нехай у трапеції ABCD ВС || AD, М — середина АВ, SABCD = S. Проведемо через точку М перпендикуляр до основ трапеції, точка його перетину з AD — Н, з продовженням ВС — N, МН = MN, NH — висота трапеції. У ΔAMD МН — висота, тоді у ΔMBC МN — висота, тоді Оскільки то а їх сума

Відповідь: S/2.

Завдання № 4 «Перевірте себе» в тестовій формі

а сторона більша за висоту, тому друга сторона 6 см.

5. А. Оскільки ВМ : МС = 1 : 3, то ВМ = 1/4ВС. SABCD = BC ∙ h = S, h — висота паралелограма, вона ж дорівнює і висоті ΔАВМ,

6. Г. Сторона а квадрата є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами 1 клітинка та 3 клітинки, тоді а2 = 1 + 9 = 10. Якщо площа кожної клітинки 4 см2, то площа квадрата 4 ∙ 10 = 40 (см2).

7. Г. Нехай у коло з центром О вписано квадрат KLMN, тоді КМ — його діаметр і діагональ квадрата, КМ = 2r = 2 см. Оскільки квадрат є ромбом, то його площа У це ж коло вписано рівносторонній трикутник ABC, О — центр кола — точка перетину його медіан (висот), тоді його медіану ВН точка О ділить у відношенні ВО : ОН = 2 : 1, BO = 2/3BH, тоді ВН і висота, а висота рівносторонньогo трикутника тоді оскільки трикутник рівносторонній, Відношення

8. Б. Позначимо довжину радіуса кола за х см, тоді ВO2 = x см, АO2 = 3х см. У ΔАВО2 ∠AO2B = 90°, тоді за теоремою Піфагора

отже,

9. Г. Точки X лежать на прямих a і b, паралельних АВ, тоді у всіх трикутників АХВ однакові основи і висоти, отже, рівні площі.

10. В. Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, АС ⊥ BD, О — точка перетину діагоналей, МК — середня лінія, Е — точка перетину МК і АС, F — точка перетину МК і BD. За умовою ME = EF = FK, AD = 12 см. У ΔACD ЕК — середня лінія, ЕК = 1/2AD, ЕК = 6 см, ЕК = 2/3МК, тоді У ΔАВС ME — середня лінія, тоді ВС = 2ME, ВС = 6 см. Проведемо через точку О висоту NH, Н ∈ AD, N ∈ВС. У ΔAOD ∠AOD = 90°, AO = OD, тоді ОН — медіана, проведена до гіпотенузи, тому ОН = 1/2AD, ОН = 6 см. У ΔВОC ∠BOC = 90°, ON — висота і медіана, тому ON = 1/2ВС, ON = 3 см. NH = ON + ОН, NH = 3 + 6 = 9 (CM).






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.