Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

3. Ознаки паралелограма

Пояснення

Якщо в чотирикутнику кожні дві протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Якщо в чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.

Якщо в чотирикутнику кожні два протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Якщо в чотирикутнику сума кутів, прилеглих до будь-якої сторони, 180°, то цей чотирикутник — паралелограм.

90. Нехай у чотирикутника ABCD ∠А + ∠В = 180°, ∠В + ∠С = 180°, ∠С + ∠D = 180°, ∠A + ∠С = 180°. ∠А і ∠В — внутрішні односторонні кути при прямих AD і ВС та їх січній АВ, тоді за ознакою паралельності прямих AD || ВС. ∠A і ∠D — внутрішні односторонні при прямих АВ і CD та їх січній AD. Тоді за ознакою паралельності прямих АВ || CD. Отже, у чотирикутника ABCD протилежні сторони паралельні, тоді за означенням паралелограма ABCD — паралелограм. Що й треба було довести.

91. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС || AD, ВС = AD. Оскільки AMKD — паралелограм, то МК || AD, МК = AD. Тоді ВС || МК, ВС = МК, тоді за ознакою паралелограма ВМКС — паралелограм. Що й треба було довести.

92. У ΔABD AO — медіана, тоді BO = OD. У ΔABC ВО — медіана, тоді АО = ОС. BD і АС — діагоналі чотирикутника ABCD, і вони перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл, тоді ABCD — паралелограм за ознакою паралелограма.

93. У ΔВКС і ΔDMA AM = КС за умовою, AD = ВС за властивістю паралелограма, ∠DAM = ∠ВСК як внутрішні різносторонні при AD || ВС та їх січній АС, тоді ΔВКС = ΔDMA, звідки MD = ВК. У ΔАВМ і ΔCDK AM = СК за умовою, АВ = CD за властивістю паралелограма, ∠ВАМ = ∠DCK як внутрішні односторонні кути при АВ || CD та їх січній АС. Тоді ΔАВМ = ΔCDK, звідки ВМ = KD. У чотирикутника MBKD протилежні сторони рівні, отже, MBKD — паралелограм. Що й треба було довести.

94. Оскільки О — центр кола з діаметром АВ, то AO = ОВ. Оскільки О — центр кола з діаметром CD, то CO = OD. АВ і CD — діагоналі чотирикутника ACBD і вони перетинаються в точці О та діляться нею навпіл. Отже, ACBD — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

95. Е — середина ВС, тоді ЕС = 1/2ВС; F — середина AD, тоді AF = 1/2AD. Оскільки ВС = AD, то EC = AF. ЕС і AF лежать на паралельних прямих ВС і AD. Маємо: EC || AF, EC = AF, тоді AECF — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

96. У паралелограма ABCD АВ || CD, АВ = CD. За побудовою AM = СК, тоді MB = АВ - AM, KD = CD - СК і MB = KD. MB || KD, MB = KD, тоді MBKD — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

97. Оскільки АВ = CD і AM = СЕ, то MB = ED; оскільки ВС = AD і ВК = FD, то КС = AF. У ΔМВК і ΔEDF ВК = FD, MB = ED, ∠В = ∠D як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді ΔМВК = ΔEDF за двома сторонами і кутом між ними, звідки МК = EF. У ΔAMF і ΔЕСК AM - СЕ, AF = КС, ∠А = ∠С як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді ΔMAF = ΔЕСК за двома сторонами і кутом між ними, звідки MF = КЕ. У чотирикутника MKEF протилежні сторони попарно рівні, тоді MKEF — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

98. Оскільки AM — медіана ΔАВС, то ВМ = МС. За побудовою точки А, М і К лежать на одній прямій і AM = МК. У чотирикутника АВКС АК і ВС — діагоналі, які перетинаються в точці М і діляться нею навпіл. Тоді АВКС — паралелограм за ознакою.

Відповідь: паралелограм.

99. Скористайтесь рис. 35 підручника. За умовою АВ || CD, тоді ∠C і ∠B — внутрішні односторонні при АВ і CD та їх січній ВС і ∠C + ∠B = 180°, звідки ∠B = 180° - ∠C; ∠A і ∠D — внутрішні односторонні при АВ і CD та їх січній AD, тоді ∠A + ∠D = 180°, звідки ∠D = 180° - ∠A. За умовою ∠A = ∠C, тоді ∠B = ∠D. Отже, у чотирикутника ABCD протилежні кути попарно рівні, що за доведеним у п. 3 дозволяє зробити висновок, що ABCD — паралелограм. Що й треба було довести.

100. У паралелограма ABCD ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній AM; ∠BAM = ∠MAD, оскільки AM — бісектриса ∠A, тоді ∠BAM = ∠BMA і ΔABM— рівнобедрений, де АВ = ВМ. Аналогічно міркуючи, маємо: ∠DKC = ∠BCK, ∠BCK = ∠DCK, отже, ∠DKC = ∠DCK, AKCD — рівнобедрений, звідки KD = CD. У ΔАВМ і ΔCDK ∠B = ∠D, АВ = ВМ = CD = KD, тоді ΔABM = ΔCDK за двома сторонами і кутом між ними, звідки AM = КС. ∠CKD = ∠MAD і вони відповідні при прямих AM і КС та їх січній AD, тоді AM || КС. У чотирикутника АМСК AM || КС, AM = КС, тоді АМСК — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

101. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС = AD, ∠CBP = ∠ADE як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній BD. У ΔВСР і ΔADE ВС = AD, ∠CBP = ∠ADE і ∠BCP = ∠DAE за побудовою, тоді ΔВСР = ΔАDЕ, звідки BP = DE, PC = АЕ. У ΔАВР і ΔCDE АВ = CD, BP = ED, ∠ABP = ∠CDE як внутрішні різносторонні при АВ || CD та їх січній BD, тоді ΔАВР = ΔCDE за двома сторонами і кутом між ними, звідки АР = СE. У чотирикутника АРСЕ АР = СЕ, PC = АЕ, тоді АРСЕ — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

102. У паралелограма ABCD ∠B = ∠D, BC = AD. У ΔВЕС ∠BCE = 180° - (∠B + ∠BEC), у ΔDFA ∠DAF = 180° - (∠D + ∠DFA). Оскільки ∠BEC = ∠DFA за умовою, то ∠DAF = ∠DFA. Отже, у ΔВЕС і ΔDFAВС = AD, ∠B = ∠D, ∠BCE = ∠DAF, тоді ΔВЕС = ΔDFA за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки EC = AF, BE = DF. Оскільки АВ = CD, то АЕ = АВ - BE = DC - DF = CF. У чотирикутника AECF EC= АЕ, АЕ = СЕ, тоді АЕСЕ — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

103. ВМ ⊥ АС, DK ⊥ АС у паралелограма ABCD. У ΔАВМ і ΔCDK АВ = CD, ∠BAM = ∠DCK як внутрішні різносторонні кути при АВ || CD та їх січній АС, ∠AMB = ∠DKC = 90°, тоді ∠ABM = ∠DCK, а ΔABM = ΔCDK за стороною і прилеглими до неї кутами. Тоді ВМ = KD.

У ΔВМК і ΔDKM ВМ = KD, МК — спільна, ∠BMK = ∠DKM = 90°. Отже, ΔВМК = ΔDKM, звідки ВК = DM. У чотирикутника BKDM KD = ВМ, ВК = MD, тоді BKDM — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

104. Оскільки ∠A = ∠C у паралелограма ABCD, АЕ ділить ∠A навпіл, СЕ — ∠C навпіл, то ΔВАЕ = ∠DCF. У ΔАВЕ і ΔDCF AB = CD, ∠BAE = ∠DCF, ∠ABE = ∠CDF як внутрішні різносторонні при АВ || CDта їх січній BD, тоді ΔАВЕ = ΔВСЕ, звідки АЕ = СЕ, BE = DF. У ΔВЕС і ΔDFA ВС = AD, BE = DF, ∠CBE = ∠ADF як внутрішні різносторонні при АВ || CD та їх січній BD. Тоді ΔВЕС = ΔDFA, звідки ЕС = АЕ. У чотирикутника АЕСЕ АЕ = ЕС, £E = АЕ, тоді АЕСЕ — паралелограм за означенням. Що й треба було довести.

105. У паралелограмa MNKP О — середина діагоналі NP, тоді NO = OP, А ∈ MN, В ∈ РК. У ΔANO і ΔВРО NO = OP, ∠ANO = ∠ВРО як внутрішні різносторонні при MN || КР та їх січній NP, ∠NOA = ∠РОВ як вертикальні. Тоді ΔANO = ΔВРО за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки AO = ОВ. У чотирикутника ANBP діагоналі АВ і NP перетинаються в точці О і діляться нею навпіл, отже, ANBP — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

106. Нехай т. О — точка перетину діагоналей паралелограма CDEF, тоді DO = OF, CO = ОЕ. Точки А, О і В лежать на одній прямій, А ∈ CD, В ∈ EF; точки М, О і К лежать на одній прямій, М ∈ DE, К ∈ CF. У ΔСАО і ΔЕВО СО = ОЕ, ∠ACO = ∠BFO як внутрішні різносторонні при CD || EF та їх січній СЕ, ∠AOC = ∠BOE як вертикальні, тоді ΔСАО = ΔЕВО за стороною і прилеглими до неї кутами, звідки AO = ОВ.

У ΔDOM і ΔFOK DO = OF, ∠MDO = ∠KFO як внутрішні різносторонні при DE || CF тa їх січній DF, ∠DOM = ∠FOK як вертикальні, тоді ΔDOM = ΔFOK, звідки MO = ОК. У чотирикутника АМВК діагоналі АВ і МК перетинаються в точці О та діляться нею навпіл, отже, АМВК — паралелограм за ознакою. Що й треба було довести.

107. У паралелограма ABCD М — середина АВ, К — середина CD, тоді AM = MB = CK = KD; N — середина BC, Р — середина AD, тоді BN = NC = АР = PD. Нехай пряма AN перетинає MD в точці О, а ВК — в точці S, пряма СР перетинає MD в точці F, а пряму ВК — в точці Е. Доведемо, що OSEF — паралелограм.

У ΔABN і ΔCDP АВ = CD, BN = PD, ∠ABN = ∠CDP як протилежні кути паралелограма ABCD, тоді ΔABN = ΔCDP за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠BNA = ∠DPA. ∠BNA = ∠NAD як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній AN, тоді ∠NAD = ∠DPC, а ці кути відповідні при прямих AN і PC та їх січній AD, тоді AN || СР за ознакою паралельності прямих. ΔAMD = ΔСКВ (ВС = AD, AM = СК, ∠MAD = ∠BCK), звідки ∠AMD = ∠CKB, але ∠CKB = ∠KBA як внутрішні різносторонні кути при АВ || CD та їх січній ВК, тоді ∠KBA = ∠DMA, а ці кути — відповідні при прямих ВК і MD та їх січній ВА. Отже, ВК || MD. У чотирикутника OSEF протилежні сторони лежать на паралельних прямих, тоді OSEF — паралелограм за означенням. Що й треба було довести.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.