Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

4. Прямокутник

Пояснення

Паралелограм, кути якого прямі, називають прямокутником.

Властивості прямокутника:

• протилежні сторони попарно паралельні;

• протилежні сторони попарно рівні;

• діагоналі точкою перетину діляться навпіл;

• діагоналі рівні.

Ознаки прямокутника:

• якщо у паралелограма один кут прямий, то цей паралелограм — прямокутник;

• якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм — прямокутник.

112. Нехай ABCD — заданий чотирикутник і ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. ∠A і ∠B — внутрішні односторонні при прямих AD і ВС та їх січній АВ і ∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°, тоді AD || ВС. ∠A і ∠D — внутрішні односторонні при прямих АВ і CD та їх січній AD і ∠A + ∠D = 90° + 90° = 180°, тоді АВ || CD. Сторони чотирикутника ABCD лежать на паралельних прямих, отже, ABCD — паралелограм, а оскільки всі його кути прямі, то ABCD — прямокутник за означенням. Що й треба було довести.

113. У прямокутника ABCD BD = АС і точка О ділить діагоналі навпіл, тому BO = OD = АО = ОС. Отже, у ΔАОВ BO = АО, у ΔAOD AO = OD, тоді ці трикутники рівнобедрені. Що й треба було довести.

114. За доведеним у задачі 113 ΔАОВ — рівнобедрений, тоді ∠OBA = ∠BAO. Тоді ∠ABO = ∠BAO = 64°. ∠AOD — зовнішній для ΔАОВ, тоді ∠AOD = ∠ABO + ∠BAO, звідки ∠AOD = 64° + 64° = 128°. ∠COD — суміжний із ∠AOD, тоді ∠COD = 180° - ∠AOD, ∠COD = 180° - 128° = 52°.

Відповідь: ∠COD = 52°, ∠AOD = 128°.

115. I спосіб. У прямокутника ABCD діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл, тоді BO = АО = 1/2BD, ВО = АО = 10 : 2 = 5 (см). У ΔABD (∠BAD = 90°) ∠ADB = 30°, тоді АВ = 1/2BD як катет, що лежить проти кута в 30°, АВ = 10 : 2 = 5 (см). РΔAOB = АВ + ВО + АО, РΔAOB = 5 + 5 + 5 = 15 (см).

II спосіб. У ΔАВD (∠BAD = 90°) ∠ADB = 30°, тоді ∠ABD = 90° - ∠ADB, ∠ABD = 60°. За доведеним в задачі 113 ΔАОВ — рівнобедрений, а оскільки один його кут дорівнює 60°, то ΔАОВ — рівносторонній, РΔAOB = 3ВО. ВО = 1/2BD, ВО = 10 : 2 = 5 (см). РΔAOB = 5 ∙ 3 = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

116. Скористайтесь рис. 46 підручника. Нехай у прямокутника ABCD ∠AOB = 60°, АВ = 8 см. ΔАОВ — рівнобедрений, АО = ВО, тоді ΔАОВ — рівносторонній, АВ = АО = ВО = 8 см. ВD = 2ВО, тоді BD = 8 ∙ 2 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

117. У прямокутника ABCD на діагоналі АС точки М і К розміщено так, що AM = СК і М лежить між А і К. У ΔАВМ і ΔCDK AB = CD, AM = КС, ∠BAM = ∠DCK як внутрішні різносторонні кути при АВ || CD та їх січній АС. Тоді ΔАВМ = ΔCDK, звідки ВМ = KD. У ΔAMD і ΔСКВ AD = ВС, AM = СК, ∠MAD = ∠KCB як внутрішні різносторонні кути при AD || ВС та їх січній АС, тоді ΔAMD = ΔCKB, звідки MD= ВК. У чотирикутника BKDM протилежні сторони попарно рівні, отже, BKDM — паралелограм. Його кут ∠MBK = ∠ABC - (∠AMB + ∠KBC). За умовою ∠ABC = 90°, отже, ∠MBK = 90°. BKDM — паралелограм, що не є прямокутником. Що й треба було довести.

118. У прямокутника ABCD на діагоналі BD відкладемо відрізки BE = DF так, що В лежить між Е і D, D лежить між В і F. У ΔАВF і ΔCDE АВ = CD, BF = BD + DF = BD + BE = DE, ∠CDB = ∠ABD як внутрішні різносторонні при АВ || CD та їх січній BD, тоді ΔABF = ΔCDE, звідки AF = СЕ.

У ΔAED і ΔBCF AD = ВС, ED = ЕВ + BD = BD + DF = BF, ∠ADB як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній BD. Тоді ΔAED = ΔBCF, звідки AE = CF. У чотирикутника AECF AE = CF, EC = AF, тоді AECF — паралелограм за ознакою. Його кут ∠ECF = ∠FCB + ∠BCD + ∠DCF. Оскільки ∠BCD = 90°, то ∠ECF = 90°. Тоді AECF — паралелограм, що не є прямокутником. Що й треба було довести.

119. У прямокутника ABCD ВМ = CM, М ∈ ВС, ∠AMD = 90°. ΔABM = ΔDCM, оскільки ВМ = CM, АВ = CD і трикутники прямокутні, тоді ∠BMA = ∠CMD. ∠BMC = ∠BMA + ∠AMD + ∠CMD = 180°, тоді ∠BMA + ∠CMD = 180° - 90° = 90°, звідки ∠BMA = ∠CMD = 45°. Тоді ∠BAM = 90° - ∠BMA, ∠BAM = 90° - 45° = 45° і ΔABM — рівнобедрений. Отже, АВ = ВМ, тоді ВС = 2ВМ = 2АВ. = 2(АВ + ВС) = 2(АВ + 2АB) = 6АВ.

За умовою РАВСD = 36 см, тоді 6АВ = 36, АВ = 6 см, а ВС = 6 ∙ 2 = 12 см.

Відповідь: 6 см, 12 см.

120. У прямокутника ABCD AM і DM — бісектриси ∠A і ∠D відповідно, М ∈ ВС. ∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній AM. Оскільки AM — бісектриса, то ∠MAD = ∠MAB, тоді ∠MAB = ∠BMA і ΔАВМ — рівнобедрений з основою AM, отож, АВ = ВМ.

∠MDA = ∠CMD як внутрішні різносторонні при ВС || AD та їх січній MD. Оскільки DM — бісектриса, то ∠MDC = ∠MDA, тоді ∠MDC = ∠CMD і ΔMCD — рівнобедрений з основою MD, отже, МС = CD. Оскільки АВ = CD, ВС = ВМ + МС, то ВС = 2ВМ = 2АВ. РABCD = 2(АВ + 2АВ) = 6АВ. За умовою РABCD = 30 см, отже, 6АВ = 39, АВ = 5 см, а ВС = 5 ∙ 2 = 10 (см).

Відповідь: 5 см, 10 см.

121. Нехай у ΔKMN ∠K = 90°, KM = KN, ABCD — прямокутник і С ∈ КМ, В ∈ KN, А ∈ NM, D ∈ NM, CD ⊥ MN, BA ⊥ MN, CD = BA, DA = СВ.

У ΔKMN ∠KMN = ∠KNM = 45°, тоді у ΔCDM ∠MCD = ∠CMD = 45° і ΔCDM — рівнобедрений, CD = MD. У ΔВАN ∠ABN = ∠BNA = 45°, тоді BA = AN. MN = MD + DA + AN = CD + DA + BA = 55 CM. Нехай коефіцієнт пропорційності сторін АВ і ВС — х, х > 0, тоді АВ — 3х см, DA — 5х см. Маємо MN = 3х + 5х + 3х = 11х, що за умовою дорівнює 55 см; 11х = 55, х = 5. Тоді АВ = 5 ∙ 3 = 15 (см), DA = 5 ∙ 5 = 25 (см). Сторони прямокутника ABCD 15 см і 25 см.

Відповідь: 15 см, 25 см.

122. У ΔАВС ∠C = 90°, АС = ВС = 6 см, тоді ∠A = ∠B = 45°. CMKN — прямокутник, тоді KM ⊥ АС, отже, КМ || ВС і ∠AKM = ∠ABC як відповідні при МК || ВС та їх січній АВ ⇒ ∠MKA = ∠MAK = 45°, ΔАМК — рівнобедрений і AM = МК, АС = МС + AM = МС + МК = 6 см.

РCMKN = 2(МС + МК), РCMKN = 2 ∙ 6 = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

123. Нехай у паралелограма ABCD діагоналі АС і BD перетинаються в точці О і ∠OBA = ∠BAO. Тоді ΔАОВ — рівнобедрений з основою АВ і BO = АО. Оскільки у паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то BD = 2ВО, АС = 2АО, отже, BD = AC. Тоді ABCD — прямокутник за ознакою. Що й треба було довести.

124. У ΔАВС ∠С = 90°, О — середина АВ, СО — медіана. На продовженні медіани відкладемо відрізок ОК = СО. Тоді точка О ділить діагоналі чотирикутника САКВ навпіл, отже, САКВ — паралелограм. У цього паралелограма ∠АСВ = 90°, тоді САКВ — прямокутник. У прямокутника діагоналі рівні, тоді AB = СК, 1/2АВ = 1/2СК, отже, медіана СО = 1/2АВ — гіпотенузи ΔАСВ. Що й треба було довести.

Пояснення

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

125. 1) Побудуйте прямий кут А. На його сторонах відкладіть відрізки АВ і AD, що дорівнюють заданим сторонам. Через точку проведіть пряму, перпендикулярну до АВ, через точку — пряму, перпендикулярну до AD. Позначте точку перетину перпендикулярів за С. ABCD — шуканий прямокутник.

2) Побудуйте кут А, що дорівнює заданому куту між діагоналлю та стороною. На одній із його сторін відкладіть відрізок АС, що дорівнює заданій діагоналі. Проведіть через точку С пряму, перпендикулярну до другої сторони кута, D — точка перетину його зі стороною, та до цієї ж сторони перпендикуляр l через точку А. Через точку С проведіть пряму, паралельну до AD. Точку її перетину з прямою l позначте за В. ABCD — шуканий прямокутник.

126. 1) Побудуйте відрізок AD, що дорівнює стороні прямокутника. Через точку А проведіть пряму l ⊥ AD, через точку D — пряму m ⊥ AD. Побудуйте коло з центром А і радіусом, що дорівнює діагоналі прямокутника. Точку перетину кола з прямою т позначте С. Побудуйте коло з центром D і радіусом АС та позначте точку перетину кола з прямою l (точку, що лежить по один бік з точкою С відносно AD) за точку В. З’єднайте послідовно точки А, В, С i D. ABCD — шуканий прямокутник.

2) Побудуйте відрізок АС, що дорівнює діагоналі прямокутника. Поділіть АС навпіл точкою А. Через точку О проведіть пряму l під кутом до АС, що дорівнює заданому куту між діагоналями. На прямій l по обидва боки від точки О відкладіть відрізки ОВ та OD, що дорівнюють ОА. ABCD — шуканий прямокутник.

127. У прямокутнику ABCD точка О — середина діагоналі АС, MO ⊥ АС, М ∈ ВС. Проведемо відрізок AM, ΔАМС — рівнобедрений, оскільки МО — медіана і висота, тоді AM = МС. За умовою ВМ : МС = 1 : 2, тоді ВМ : AM = 2 : 1. У прямокутному ΔАВМ катет ВМ удвічі менший від гіпотенузи, тоді ∠ВАМ = 30°. У рівнобедреного ΔАМС ∠МАС = ∠МСА. ∠ВСА = ∠DAC як внутрішні різносторонні кути при ВС || AD та їх січній АС, тоді ∠CAD = ∠МАС, тобто АС — бісектриса ∠MAD. ∠MAD = ∠BAD - ∠ВАМ, ∠MAD = 90° - 30° = 60°. Тоді ∠CAD = 60° : 2 = 30°. ∠ВАС = 90° - 30° = 60°. Отже, діагональ ділить кут прямокутника на кути 30° і 60°.

Відповідь: 30° і 60°.

128. У прямокутника ABCD О — точка перетину діагоналей АС і BD, тоді ОС = 1/2АС, ОС = 18 : 2 = 9 (см). Нехай х — коефіцієнт пропорційності кутів ∠ВСА і ∠DCA, х > 0, тоді їх величини: ∠ВСА — х°, ∠DCA — 5х°. ∠BCD = ∠ВСА + ∠DCA, звідки х + 5х - 90, 6х = 90, х = 15. Маємо: ∠ВСА = 15°. ΔВОС — рівнобедрений з основою ВС, тоді ∠ОВС = ∠ОСВ = 15°. CH ⊥ BD, СН — відстань від точки С до BD. ∠COD — зовнішній для ΔВОС, тоді ∠СОН = ∠ОВС + ∠ОСВ, ∠СОН = 15° + 15° = 30°. У ΔСОН ∠СНО = 90°, ∠СОН = 30°, тоді СН = 1/2ОС, СН = 8 : 2 = 4,5 (см).

Відповідь: 4,5 см.

129. У паралелограма ABCD АВ ≠ AD, АК, ВМ, DL і CN — бісектриси кутів А, В, D i C відповідно. АК перетинається з ВМ в точці О, з DL — в точці Р, CN перетинається з ВМ у точці Е, з DL — в точці S, ∠А = ∠С, ∠KAD = ∠KCN = ∠CND, a ∠KAD і ∠CND — відповідні при АK і NC та їх січній AD, тоді АК || NC. ∠B = ∠D, ∠LDA = ∠МВС = ∠ВМА, тоді ∠ВМА = ∠LDA і ці кути відповідні при прямих ВМ і LDі їх січній AD, тоді ВМ || LD, отже, OPSE — паралелограм. За властивістю кутів паралелограма ∠В + ∠С = 180°, тоді 1/2(∠В + ∠С) = 90°, отже, ∠СВЕ + ∠ВСЕ = 90°. У ΔВEС ∠ВЕС = 180° - (∠СВЕ + ∠ВСЕ) = 180° - 90° = 90°. У паралелограма OPSE ∠ОЕС = 90°, тоді OPSE — прямокутник, що й треба було довести.

130. Побудуйте прямий кут А і на одній його стороні відкладіть відрізок АВ, довжина якого дорівнює заданій стороні. Через точку В проведіть пряму l, перпендикулярну до АВ. Заданий кут поділіть навпіл. Від другої сторони кута А відкладіть кут, рівний половині заданого кута між діагоналями, в ту ж півплощину, якій належить точка В. Сторона цього кута перетинає пряму l в точці С. Через точку С проведіть пряму, перпендикулярну до ВС. Вона перетинає паралельну їй пряму в точці D. ABCD — шуканий прямокутник. Доведення. Нехай діагоналі АС і BD перетинаються в точці О. ∠АОВ — зовнішній для ΔВОС. Тоді ∠АОВ = ∠СВО + ∠ВСО = 2∠ВСО = 2∠CAD.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити