Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

5. Ромб

Пояснення

Ромбом називають паралелограм, усі сторони якого рівні.

Властивості ромба:

• протилежні кути ромба рівні;

• діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл;

• діагоналі ромба взаємно перпендикулярні;

• діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба:

• якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб;

• якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його протилежний кутів, то цей паралелограм — ромб.

Теорема 5.2. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей паралелограм — ромб.

Доведення. Нехай у паралелограма ABCD діагоналі перетинаються в точці О. Оскільки ABCD — паралелограм, то АО = ОС, BO = OD. За умовою АС ⊥ BD, тоді у ΔАВС ВО — медіана і висота, отже, ΔАВС — рівнобедрений з основою АС, АВ = ВС. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то у паралелограма ABCD всі сторони рівні, отже, ABCD — ромб. Що й треба було довести.

Теорема 5.3. Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кута, то цей паралелограм — ромб.

Доведення. Нехай у паралелограма ABCD діагональ АС ділить АС навпіл, тоді ∠BCA = ∠DCA. Оскільки протилежні сторони паралелограма паралельні, то ∠DCA = ∠BAC, отже, у ΔАВС ∠BAC = ∠ВСА, ΔАВС — рівнобедрений з основою АС і АВ = ВС. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то у паралелограма ABCD всі сторони рівні, отже, ABCD — ромб. Що й треба було довести.

137. Нехай у паралелограма ABCD АВ = ВС. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні, отже, АВ = CD, ВС = AD, тоді АВ = ВС = AD = CD. За означенням ромба паралелограм ABCD — ромб. Що й треба було довести.

138. Нехай у чотирикутника ABCD АВ = ВС = CD = AD. Проведемо його діагональ АС. ΔАВС = ΔADC за трьома сторонами: АС — спільна, АВ = AD, ВС = DC. Тоді ∠BAC = ∠DAC, ∠ВСА = ∠DCA, а оскільки ΔАВС і ΔАОС — рівнобедрені з основою АС, то ∠BAC = ∠DCA, ∠ВСА = ∠DAC. ∠ВСА і ∠DAC — внутрішні різносторонні при ВС і AD та їх січній АС, тоді ВС || AD. ∠BAC і ∠DCA — внутрішні різносторонні при АВ і CD та їх січній АС, тоді АВ || CD. Тоді чотирикутник ABCD — паралелограм, а оскільки його сторони рівні, то ABCD — ромб. Що й треба було довести.

139. За умовою ∠DAC = 42°, діагональ АС — бісектриса ∠А, тоді ∠A = 2∠DAC, ∠А = 42° ∙ 2 = 84°, тоді ∠С = 84°. У ромба ∠А + ∠D = 180°, тоді ∠D = 180° - ∠А, ∠D = 180° - 84° = 96°, ∠В = 96°.

Відповідь: 84°, 96°, 84°, 96°.

140. У ромба ABCD ∠А = ∠С = 140°; діагональ АС — бісектриса ∠А, тоді ∠ВАО = 1/2∠А, ∠ВАО = 140° : 2 = 70°. У ромба ABCD АС ⊥ BD, тоді ∠АОВ = 90°. У прямокутного ΔАОВ ∠ВАО + ∠АВО = 90°, звідки ∠АВО = 90° - 70° = 20°.

Відповідь: 20°, 70°, 90°.

141. Нехай у ромба ABCD АС = АВ, тоді АС = АВ = ВС і ΔАВС — рівносторонній, отже, ∠В = 60°, ∠D = ∠В = 60°; ∠А і ∠В — прилеглі до однієї сторони, тоді ∠А + ∠В = 180°, звідки ∠А = 180° - ∠В, ∠А = 180° - 60° = 120°, ∠С = ∠А = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.

142. Нехай у ромба ABCD ВН — висота, тоді ∠ВНА = 90°. РАВСD = 4АВ, звідки АВ = 1/4РАВСD, АВ = 24 : 4 = 6 (см). За умовою ВН = 3 см. У ΔАВН ∠ВНА = 90°, а ВН = 1/2АВ, тоді ∠А = 30°, отже, ∠С = ∠А = 30°. ∠В і ∠А — прилеглі до однієї сторони, тоді ∠В + ∠А = 180°, звідки ∠В = 180° - 30° = 150°, ∠D = ∠В = 150°.

Відповідь: 30°, 150°, 30°, 150°.

143. За умовою у ромба ABCD ∠А = 60°. Розглянемо ΔBAD: АВ = AD, тоді ΔABD — рівнобедрений з кутом при вершині 60°, тоді інші кути теж по 60° і ΔBAD — рівносторонній. Маємо: BD = АВ = ВС = 9 см. РАВСD = 4АВ, РABCD = 9 ∙ 4 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

144. За рисунком 49 підручника. За умовою ∠D = 8∠CAD. У ромба ABCD діагональ АС — бісектриса ∠BAD, тоді ∠BAD = 2∠CAD. ∠BAD і ∠D — прилеглі до однієї сторони ромба, тоді ∠BAD + ∠D = 180°; маємо 2∠CAD + 8∠CAD = 180°, 10∠CAD = 180°, ∠CAD = 18°, тоді ∠BAD = 18° ∙ 2 = 36°.

Відповідь: 36°.

145. Скористаємося рисунком до задачі 140. Нехай у ромба ABCD точка перетину діагоналей О, ∠OBC : ∠OCB = 2 : 7. У ромба ABCD BD ⊥ АС, тоді ∠BOC = 90°, отже, ∠OBC + ∠OCB = 90°. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді ∠OBC — 2х°, ∠OCB — 7х°. Маємо: 2х + 7х = 90, звідки х = 10. Тоді ∠OBC = 10 ∙ 2 = 20°, ∠OCB = 10 ∙ 7 = 70°. Діагоналі ромба — бісектриси його кутів, тоді ∠B = 2∠OBC, ∠B = 20° ∙ 2 = 40°, ∠D = ∠B = 40°. ∠C = 2∠OCB, ∠C = 70° ∙ 2 = 140°, ∠A = ∠C = 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.

146. Проведемо у ромба ABCD діагональ BD і відрізки MD і KD, де М — середина АВ, К — середина ВС. Розглянемо ΔMBD і ΔKBD: BD — спільна, MB = КВ як половини рівних сторін ромба, ∠MBD= ∠KBD, оскільки BD — бісектриса ∠B, тоді ΔMBD = ΔKBD за двома сторонами і кутом між ними, звідки MD = KD. Що й треба було довести.

147. Проведемо у ромба ABCD діагональ АС та відрізки АЕ і AF, де Е — середина ВС, F — середина CD. Розглянемо ΔАЕС і ΔAFC: АС — спільна, EC = FC як половини рівних сторін ромба, ∠ECA = ∠FCA, оскільки СА — бісектриса ∠C. Тоді ΔАЕС = ΔAFC за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠EAC = ∠FAC. Що й треба було довести.

148. Нехай у ромба ABCD із вершини тупого кута С опущені висоти СН ⊥ AD і CN ⊥ АВ. Розглянемо ΔBCN і ΔDCH: ∠B = ∠D за властивістю кутів ромба, ∠BNC = ∠CHD = 90°, ВС = CD, тоді ΔBCN = ΔDCH за гіпотенузою і гострим кутом. Звідки NC = НС. Що й треба було довести.

Пояснення

Висоти ромба рівні.

149. Нехай у ромба ABCD СН ⊥ AD, AH = HD. Розглянемо ΔACD: висота СН є і медіаною, тоді ΔACD — рівнобедрений з основою AD, тобто АС = CD. За умовою АС = 4 см, тоді CD = 4 см. PABCD = 4CD, PABCD = 4 ∙ 4 = 16 (см). У ΔACD АС = CD, але CD = AD як сторони ромба, тоді ΔACD — рівносторонній, ∠D = 60°, ∠DCA = 60°, СА — бісектриса ∠C, тоді ∠BCD = 2∠DCA, ∠BCD = 60° ∙ 2 = 120°. Протилежні кути ∠B = ∠D = 60°, ∠BAD = ∠BCD = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°; 16 см.

150. Скористаємося рисунком до задачі 148. Нехай у ромба ABCD із вершини С проведено висоти CN ⊥ АВ, СН ⊥ AD і діагональ СА. Розглянемо ΔANC і ΔАНС: АС — спільна, ∠NAC = ∠HAC, оскільки АС — бісектриса ∠A, ∠ANC = ∠AHC = 90°, тоді ΔANC = ΔАНС, звідки ∠NCA = ∠HCA. Тобто діагональ ромба ділить кут між висотами, проведеними із тієї ж самої вершини, що й діагональ, навпіл. Що й треба було довести.

151. У ромба Е ∈ АВ, F ∈ AD, АВ = AD, АЕ = AF, тоді BE = АВ - АЕ = AD - AF = FD. Розглянемо ΔЕВС і ΔFDC: ЕВ = FD, ВС = CD, ∠B = ∠D, тоді ΔЕВС = ΔFDC, звідки EC = FC. Тоді ΔЕСF — рівнобедрений з основою EF, отже, ∠CEF = ∠CFE. Що й треба було довести.

152. У ΔABC AM — бісектриса ∠A. МК || АС, К ∈ АВ, MD || ДЕ, D ∈ АС. У чотирикутника AKMD сторони лежать на паралельних прямих, тому AKMD — паралелограм, AM — його діагональ, яка є бісектрисою кута ромба, тоді за ознакою ромба AKMD — ромб. KD — друга діагональ ромба, KD ⊥ AM за властивістю діагоналей ромба. Що й треба було довести.

153. AF — бісектриса ∠A, тоді ∠BAE = ∠EAF, ∠EAF = ∠BFA як внутрішні різносторонні при BF || АЕ та їх січній AF, тоді ∠BAF = ∠BFA, ΔABF — рівнобедрений і АВ = BF. BE — бісектриса ∠B, тоді ∠FBE = ∠ABE, ∠AEB = ∠FBE як внутрішні різносторонні при BF || АЕ та їх січній BE, тоді ∠AEB = ∠ABE, ΔАВЕ — рівнобедрений і АВ = АЕ. Відрізки BF || АЕ, BF = АЕ, тоді АВFЕ — паралелограм. Оскільки у нього сусідні сторони АВ = BF, то АВFЕ — ромб за означенням.

Відповідь: ромб.

154. Нехай у ΔАВС BD — бісектриса ∠B, D ∈ АС, т. О — середина BD, BO = OD. КР ⊥ BD, К ∈ АВ, Р ∈ ВС. У ΔКВР ВО — бісектриса і висота, тоді ΔКВР — рівнобедрений, KB = ВР. У ΔBPD ОР — висота і медіана, тоді ΔBPD — рівнобедрений і BP = PD. У ΔDKB КО — медіана і висота, тоді ΔDKB — рівнобедрений і DK = КВ. Маємо: DK = KB = BP = DP. За доведеним у задачі 138 чотирикутник, усі сторони якого рівні, є ромбом. Отже, BKDP — ромб.

Відповідь: ромб.

155. 1) Побудуйте заданий кут з вершиною в точці А. Побудуйте коло з центром А і радіусом, що дорівнює стороні ромба. Позначте точки перетину кола зі сторонами кута В і D. Побудуйте кола з центрами В і D і радіусом АВ. Точку їх перетину позначте С. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

2) Побудуйте відрізок АС, що дорівнює одній діагоналі ромба. Поділіть його навпіл точкою О. Через точку О проведіть пряму l, перпендикулярну до АС. Побудуйте коло з центром О і радіусом, що дорівнює половині другій діагоналі ромба. Точки його перетину з прямою l позначте В і D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

3) Побудуйте кут з вершиною А заданої величини. Через точку А проведіть пряму l, перпендикулярну до однієї із сторін кута. На прямій l від точки А відкладіть відрізок АН, що дорівнює висоті ромба, у внутрішню область кута А. Через точку М проведіть пряму m, перпендикулярну прямій l. Точку перетину прямої m і сторони кута позначте В. На стороні кута А, паралельній m, відкладіть відрізок AD, що дорівнює АВ. На прямій m від точки В відкладіть відрізок ВС, що дорівнює АВ, так, щоб точки С і D лежали по один бік від прямої АВ. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

156. 1) Побудуйте відрізок АС, що дорівнює діагоналі ромба. Побудуйте коло з центром А і радіусом, що дорівнює стороні ромба, і коло з центом С того ж радіуса. Точки перетину кіл позначте В і D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

2) Побудуйте пряму l і позначте на ній точку К. Через точку К проведіть пряму m ⊥ l. На прямій m відкладіть відрізок КС, що дорівнює висоті ромба. Через точку С проведіть пряму n, перпендикулярну до m. Побудуйте коло з центром С і радіусом, що дорівнює діагоналі ромба. Точку його перетину з прямою l позначте А. Поділіть відрізок АС навпіл точкою О. Через точку О проведіть пряму, перпендикулярну до АС. Точку її перетину з n позначте В, з прямою l — D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

157. У прямокутника ABCD AD = 9 CM, BDA = 30°, М ∈ ВС, К ∈ AD, AM = МС = СК = АК. ΔACD = ΔDBA (за трьома сторонами, BA = CD, АС = BD, AD — спільна). Тоді ∠CAD = ∠BDA = 30°. Оскільки АМСК — ромб, то АС — бісектриса, то ∠MAK = 2∠CAK, ∠MAK = 30° ∙ 2 = 60°. ∠BAM = ∠BAD - ∠MAD, ∠BAM = 90° - 60° = 30°.

У ΔАВМ ∠ABM = 90°, ∠BAM = 30°, тоді ВМ = 1/2АМ як катет, що лежить проти кута в 30°. Оскільки AM = МС, то ВМ = 1/2МС. ВС = AD = 9 см, ВС = МС + 0,5МС, 1,5МС = 9 см, МС = 9 см : 1,5, ВС = 6 см — сторона ромба АМСК.

Відповідь: 6 см.

158. Побудуйте заданий кут з вершиною А. Побудуйте його бісектрису, на якій відкладіть відрізок АС, що дорівнює діагоналі ромба. Через точку С проведіть прямі, паралельні сторонам кута. Точки перетину прямих зі сторонами кута, позначте В і D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

159. Побудуйте ∠KAM заданої величини. Побудуйте промінь АЕ, доповняльний до променя AM. Побудуйте бісектрису ∠EAK, відкладіть на ній відрізок АС, що дорівнює заданій діагоналі. Побудуйте серединний перпендикуляр відрізка АС. Точки його перетину з променем АЕ і променем АК позначте за В та D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.