Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

6. Квадрат

Пояснення

Квадратом називають прямокутник, сторони якого рівні.

Властивості квадрата:

• протилежні сторони паралельні;

• діагоналі рівні;

• діагоналі точкою перетину діляться навпіл;

• діагоналі взаємно перпендикулярні;

• діагоналі є бісектрисами кутів;

• усі кути квадрата прямі.

165. Заданий ромб є паралелограмом, а якщо один кут паралелограма прямий, то цей паралелограм — прямокутник. У ромба всі сторони рівні. Тоді заданий ромб — прямокутник із рівними сторонами, отже, квадрат. Що й треба було довести.

166. Нехай у прямокутника ABCD АВ = ВС. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то АВ = CD, ВС = AD, звідки АВ = CD = ВС = AD. Тоді за означенням ABCD — квадрат. Що й треба було довести.

167. Діагоналі квадрата рівні, тому АС = BD = 5 см. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні, тому ∠AOB = 90°, і є бісектрисами кутів, тому ∠BAO = ∠ABO = 1/2 ∙ 90° = 45°.

Відповідь: 5 см; 45°, 90°, 45°.

168. ∠KAD = ∠AKB = 74° як внутрішні різносторонні кути при AD || ВС та їх січній AK. ∠KAD = ∠CAK + ∠CAD, звідки ∠CAK = ∠KAD - ∠CAD. АС — бісектриса ∠BAD, тому ∠CAD = 1/2∠BAD, ∠CAD = 90° : 2 = 45°. Тоді ∠CAK = 74° - 45° = 29°.

Відповідь: 29°.

169. Скористайтеся рисунком 52 підручника. Розглянемо ΔАВК: ∠ABK = 90°, ВК = 1/2АК за умовою, тоді катет ВК лежить проти кута в 30°, отже, ∠BAK = 30°. ∠BAD = ∠BAK + ∠KAD, звідки ∠KAD= ∠BAD - ∠BAK, ∠KAD = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 60°. •

170. 1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) ні; 7) ні; 8) ні; 9) ні; 10) так; 11) так; 12) так.

171. Нехай через вершини квадрата ABCD проведено прямі, паралельні діагоналям, які перетинаються в точках М, N, Р і К так, що В ∈ MN, С ∈ NP, D ∈ КР, А ∈ МК. MN || АС, КР || АС, тоді MN || КР; МК || BD, NP || BD, тоді МК || NP, отже, MNPK — паралелограм. Діагоналі квадрата ABCD BD ⊥ АС, тоді MN ⊥ NP, отже, паралелограм MNPK — прямокутник, BNPD — також прямокутник, у якого NP = BD. Оскільки BD = АС, то АС = NP. HMNC — прямокутник, у якого MN = АС. Маємо: MN = NP. Тоді прямокутник MNPK — квадрат. Що й треба було довести.

172. Нехай у ΔABC ∠C = 90°, СК — бісектриса, KN || АС, N ∈ СВ, а МК || ВС, М ∈ АС. KN || МС, МК || CN, тоді CMKN — паралелограм. Оскільки АС ⊥ ВС, то МС ⊥ CN, тоді CMKN — прямокутник. СК — діагональ прямокутника, що є бісектрисою, тоді CMKN — квадрат. Що й треба було довести.

173. Розглянемо ΔМВК, ΔKCN, ΔNDP, ΔMАР. ∠B = ∠C = ∠D = ∠A, MB = КС = ND = АР = ВК = CN = PD = МА, тоді ΔМВК = ΔKCN = ΔNDP = ΔМАР за двома катетами, звідки МК = KN = NP = МР. За доведеним у задачі 138 чотирикутник, сторони якого рівні, є ромбом. Отже, MKNP — ромб. ΔМАР і ΔМВК — рівнобедрені, оскільки їх катети — половини сторін квадрата, тоді ∠AMP = 45°, ∠BMK = 45°. ∠BMA — розгорнутий і ∠BMA = ∠BMK + ∠KMP + ∠АМР, звідки ∠KMP = 180° - (∠BMK + ∠AMP) = 180° - 90° = 90°. Тоді у ромба MKNP ∠KMP — прямий, отже, MKNP — квадрат. Що й треба було довести.

174. За умовою АС = ВС = 14 CM, ∠C = 90°, тоді ΔАВС — рівнобедрений і ∠B = 45°. За умовою CDEF — квадрат, тоді EF ⊥ CF, EF = CF. Розглянемо ΔFEB: ∠EFB = 90°, ∠B = 45°, отже, ΔEFB — рівнобедрений з основою ЕВ, тоді EF = FB, а оскільки EF = CF, то CF = FB, отже, тоді

Відповідь: 28 см.

175. У квадраті точку М взято так, що АВ = ВМ = АМ, тоді ∠BAM = ∠ABM = ∠BMA. Розглянемо ΔBMC і ΔAMD: ВМ = АМ, ВС = AD як сторони квадрата, ∠CBM = 90° - ∠ABM, ∠DAM = 90° - ∠BAM, отже, ∠CBM = ∠DAM. Тоді ΔBMC = ΔAMD за двома сторонами і кутом між ними, звідки МС = MD. Отже, ΔCMD — рівнобедрений, що й треба було довести.

176. Нехай у паралелограма ABCD АС = BD і АС ⊥ BD, тоді цей паралелограм є прямокутником і ромбом, тобто прямокутником з рівними сторонами, тоді ABCD — квадрат. Що й треба було довести.

177. У квадрата ABCD АВ + ВС + CD = 3ВС, у DEFM DE + EF + FM = 3EF, у MNKL MN + NK + KL = 3NK, у LPOS LP + РО + OS = 3РО, у SQTV SQ + QT + TV = 3QT. 3ВС + 3EF + 3NK + 3РО + 3QT = 3(ВС + EF + NK + РО + QT) = 3(AD + DM + ML + LS + SV) = 3AV. За умовою AV = 16 CM, тоді шукана сума сторін 3AV = 16 ∙ 3 = 48 (см).

Відповідь: 48 см.

178. Побудуйте прямий кут А і на його сторонах відкладіть відрізки АВ і AD заданої величини (стороні квадрата). Із точок В і D проведіть кола радіусом, що дорівнює АВ. Точку перетину кіл позначте С. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий квадрат.

179. Нехай ABCD — прямокутник, у якого АВ ≠ ВС і бісектриси кутів ∠A і ∠B перетинаються в точці К, кутів ∠A і ∠D — в точці L, кутів ∠C і ∠D — в точці М, кутів ∠B і ∠C — в точці N. І нехай ALперетинає ВС в точці О, a BN сторону AD в точці Р. У ΔАВО ∠ABO = 90°, ∠BAO = 45°, тоді ∠BOA = 45°. Оскільки CN — бісектриса, то ∠BCN = 45°, тоді AL || CN, оскільки відповідні кути ∠BOA і ∠BCN рівні.

У ΔАВР ∠BAP = 90°, ∠ABP = 45°, тоді ∠APB = 45°. Оскільки DL — бісектриса, то ∠LDA = 45°, отже, BN || DL, оскільки рівні відповідні кути ∠BPA і ∠LDA. Тоді KLMN — паралелограм. У ΔАВК ∠ABK = ∠BAK = 45°, тоді ∠BKA = 180° - 2 ∙ 45° = 90°, звідки ∠LKN = 90° як вертикальний йому. Тоді KLMN — прямокутник. У ΔBNC ∠CBN = ∠BNC = 45°, тоді BN = NC. ΔАВК = ΔDCM за стороною і прилеглими до неї кутами (АВ = CD, ∠ABK = ∠DCM = ∠BAK = ∠CDM = 45° і BK = CM). Звідки KN = BN - BK = CN - CM = MN. У прямокутника KLMN KN = MN, отже, KLMN — квадрат. Що й треба було довести.

180. Розглянемо ΔАВМ і ΔADK: ∠B = ∠D = 90°, АВ = AD, AM = АК за умовою, тоді ΔАВМ = ΔADK за гіпотенузою і катетом, звідки ВМ = DK. МС = ВС - ВМ, КС = DC - DK, а оскільки ВС = DC, ВМ = DK, то МС = КС і ΔМСК — рівнобедрений прямокутний з основою МК, тоді ∠CMK = ∠CKM = 45°. Проведемо діагональ квадрата BD, вона є бісектрисою ∠B, тоді ∠CBD = 45°, a ∠CMK = ∠CBD. Ці кути відповідні при прямих BD і МК та їх січній ВС. Отже, ВМ || BD за ознакою паралельності прямих. Що й треба було довести.

181. Позначте задані точки М і К. Побудуйте відрізок МК і побудуйте серединний перпендикуляр до нього, який поділіть МК навпіл точкою О. На серединному перпендикулярі відкладіть відрізок ОВ так, що ОВ = ОМ. Побудуйте промені ВМ і ВК. На промені ВМ відкладіть відрізок МА так, що МА = MB, а на промені ВК відкладіть відрізок КС так, що КС = КВ. Побудуйте кола з центрами А і С і радіусом ВА. Точку перетину кіл позначте D. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий квадрат.

182. Нехай в квадраті ABCD взято точку О і через неї проведено пряму KL, де K ∈ ВС, L ∈ AD і MN, де М ∈ АВ, N ∈ CD, при цьому KL ⊥ MN. Проведемо КН ⊥ AD, Н ∈ AD та МР ⊥ CD, Р ∈ CD, тоді КН || АВ, КН = АВ та МР || AD, МР = AD. Нехай KL перетинає МР в точці Е. Позначимо ∠ELA = α, тоді у ΔKHL ∠HKL = 90° - α. Оскільки МР || AD, то ∠OEM = ∠ELA = α. Тоді у ΔМОЕ ∠OME = 90° - α, а отже, у ΔMPN ∠NMP = 90° - α. Розглянемо ΔKHL і ΔMPN: ∠KHL = ∠MPN = 90°, КН = МР, що дорівнюють стороні квадрата, ∠NMP = ∠LKH, тоді ΔKHL = ΔMPN, звідки KL = MN. Що й треба булодовести.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити