Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 1. Чотирикутник

7. Середня лінія трикутника

Пояснення

Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, називають середньою лінією трикутника.

Середня лінія трикутника паралельна протилежній стороні і дорівнює її половині.

189. Так, оскільки М і К — середини сторін трикутника.

190. Ні, оскільки точка F не є серединою сторони КР.

191. Так. Оскільки DE — середня лінія, то точка D — середина АВ, Е — середина ВС. Оскільки DF — середня лінія, то F — середина АС. Тоді FE — відрізок, що з’єднує середини сторін ВС і АС, тому FE — середня лінія.

192. Середня лінія дорівнює половині протилежної сторони трикутника, тоді середні лінії дорівнюють:

Відповідь: 3 см, 4 см, 6 см.

Відповідь: 34 см.

194. Нехай у ΔABC сторони а, b і с, а сторони ΔMNK є середніми лініями ΔABC. Оскільки середня лінія трикутника дорівнює половині протилежної сторони, то Що й треба було довести.

195. Оскільки рівні середні лінії трикутника, то рівні й протилежні їм сторони. Отже, у трикутника всі стороні рівні, і він рівносторонній.

Відповідь: рівносторонній.

196. Нехай у ΔABC К — середина АВ, L — середина ВС, М — середина АС, тоді АК = KB, BL = LC, AM = МС як половини сторін, ML = АК, KL = AM, KM = LC за властивістю середньої лінії трикутника. Розглянемо ΔKBL, ΔАКМ, ΔLMK, ΔMLC: КВ = АК = LM = ML, KL = AM = МС, а для ΔKBL і ΔLMK вона спільна, BL = KM = LC, а для ΔLMK і ΔAKM вона спільна. Тоді ΔKBL = ΔАКМ = ΔLMK= ΔMLC за трьома сторонами. Що й треба було довести.

197. Оскільки Е та F — середини сторін ΔABC, то EF — його середня лінія і EF = 1/2АС, звідки АС = 2EF. За умовою АС = EF + 7, звідки EF = АС - 7. Тоді АС = 2(АС - 7), а АС = 2АС - 14, АС = 14 см.

Відповідь: 14 см.

198. Нехай медіана ВМ і середня лінія DE перетинаються в точці О. Е — середина ВС, М — середина АС. Проведемо ME — середню лінію, ME || АВ, тоді ∠BDO = ∠MEO і ME = 1/2АВ. Розглянемо ΔDOB і ΔFOM: ∠BOD = ∠MOE як вертикальні, ∠BDO = ∠MEO, оскільки DB || ME, ME = 1/2АВ = BD. Тоді ΔDОВ = ΔFOM за стороною і прилеглими до неї кутами, оскільки ∠DBO = ∠EMO також. Звідки DO = ОЕ, ВО = ОМ, тобто середня лінія і медіана точкою перетину діляться навпіл. Що й треба було довести.

199. Нехай у ΔАВС Е — середина АВ, F — середина АС, а висота AM перетинає EF в точці О. EF — середня лінія ΔАВС, тоді EF || ВС. За умовою AM ⊥ ВС, тоді AM ⊥ EF (якщо пряма перпендикулярна до однієї із паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої). Що й треба було довести.

200. Якщо дві середні лінії трикутника перпендикулярні одна до одної, то протилежні їм сторони також взаємно перпендикулярні, оскільки паралельні відповідним сторонам. Тоді заданий трикутник — прямокутний. Оскільки ці середні лінії рівні, то рівні і відповідні їм сторони. Тоді заданий трикутник — прямокутний і рівнобедрений. А кути такого трикутника 90°, 45°, 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

201. Нехай у заданого трикутника основа а, а бічні сторони b. Тоді його периметр Р = 2b + а. Основа удвічі більша за відповідну їй середню лінію, тому а = 6 ∙ 2 = 12 (см). Тоді 46 = 2b + 12, 2b= 34, b = 17 см.

Відповідь: 12 см, 17 см, 17 см.

202. Нехай у чотирикутника ABCD BD + АС = 28 см, К — середина ВС, М — середина CD, N — середина AD, L — середина АВ. У ΔBCA KL — середня лінія і KL = 1/2АС; у ΔBCD КМ - середня лінія і KM = 1/2BD; у ΔCDA MN — середня лінія і MN = 1/2АС; у ΔBAD LN — середня лінія і LN = 1/2BD.

Тоді PKMNL = 28 CM.

Відповідь: 28 CM.

203. Нехай у ромба ABCD AC = 8 CM, BD = 14 CM, K — середина ВС, M — середина CD, N — середина AD, L — середина АВ. Тоді середні лінії KL і MN трикутників ВСА і CDA паралельні і рівні, оскільки KL || АС, MN || АС, KL = 1/2AC, MN = 1/2АС. Тоді за ознакою паралелограма KMNL — паралелограм. Середня лінія ABCD КМ || BD. Оскільки BD ⊥ АС у ромба ABCD, то паралельні їм КМ і KL теж перпендикулярні. У паралелограма KMNL ∠LKM = 90°, тоді KMNL - прямокутник. KL = 8 см : 2 = 4 см, КМ = 1/2BD, КМ = 14 см : 2 = 7 см.

Відповідь: прямокутник; 4 см і 7 см.

204. Міркування аналогічні до міркувань у задачі 203. Сторони утвореного чотирикутника попарно паралельні і дорівнюють половинам діагоналей прямокутника. Тоді утворений чотирикутник — паралелограм, сторони якого рівні, оскільки рівні діагоналі прямокутника. Утворений чотирикутник є ромбом, кожна сторона якого 12 см : 2 = 6 см.

Відповідь: ромб; 6 см.

205. Нехай у ΔABC М — середина АВ, N — середина ВС. Опустимо із точок А, В і С перпендикуляри на пряму MN: AA1 ⊥ MN, ВВ1⊥ MN, СС1⊥ MN. Розглянемо ΔAA1M і ΔBB1M: ∠AA1M = ∠BB1M = 90°, ∠AMA1 = ∠BMB1 як вертикальні, AM = MB. Тоді ΔАА1М = ΔВВ1М за гіпотенузою і гострим кутом, звідки AA1 = BB1. Розглянемо ΔВВ1N і ΔCC1N: ∠BB1N = ∠CC1N = 90°, ∠BNB1 = ∠CNC1 як вертикальні, BN = CN. Тоді ΔBB1N = ΔCC1N за гіпотенузою і гострим кутом, звідки ВВ1 = СС1. Отже, маємо: АА1 = ВВ1 = СС1, тобто вершини ΔABC рівновіддалені від прямої, що містить середню лінію MN. Що й треба було довести.

206. За умовою AM = 3ВМ, тоді розіб’ємо AM на З рівні частини точками О і L так, що L лежить між О і М. Тоді LM = ВМ, a AL = LB, отже, L — середина АВ. За умовою СК = 3ВК, тоді розіб’ємо ВС на 3 рівні частини точками N і Р так, що N лежить між К i Р. Тоді KN = ВК, NB = NC, N — середина ВС. Тоді LN — середня лінія ΔABC, за її властивістю LN || АС і LN = 1/2АС, LN = 16 см : 2 = 8 см. М — середина LB, К — середина BN, МК — середня лінія ΔLBN, тоді МК || LN і MK = 1/2LN, MK = 8 см : 2 = 4 см. Маємо: МК || LN, LN || АС, тоді МК || АС. Що й треба було довести.

Відповідь: 4 см.

207. У ΔABC ∠DAB і ∠ЕСВ — зовнішні, AM і СК — бісектриси цих кутів, ВМ ⊥ AM, ВК ⊥ СК. Нехай промінь ВМ перетинає DE в точці О, а промінь ВК — в точці Р. У ΔОАВ AM — бісектриса і висота, тому ΔОАВ — рівнобедрений і АО = АВ. У ΔВСР СК — бісектриса і висота, тому ΔВСР — рівнобедрений і СР = ВС. Тоді РΔABС = АВ + ВС + АС = AO + АС + CP = ОР, що за умовою дорівнює 18 см. Оскільки AM — висота рівнобедреного ΔОАВ, проведена до основи, то AM і медіана, М — середина ОВ. Аналогічно СК — медіана, тому К — середина ВР. Тоді МК — середня лінія ΔОВР, МК = 1/2ОР, MK = 18 см : 2 = 9 см.

Відповідь: 9 см.

208. Позначте на площині точки К, L і М, що не лежать на одній прямій (середини сторін шуканого трикутника). З’єднайте послідовно ці точки. Сторони ΔKLM — середні лінії шуканого ΔABC. Через точку М проведіть пряму, паралельну до KL, а через точку К — пряму, паралельну до ML. Точку їх перетину позначте А. Через точку L проведіть пряму, паралельну до КМ. Точки її перетину з АК і AM позначте В і С. З’єднайте послідовно точки А, В і С. ΔABC — шуканий.

209. Позначте точки К, L і М, що не лежать на одній прямій та є серединами трьох сторін паралелограма. З’єднайте відрізком точки L і М. Проведіть через точку К пряму І, паралельну до LM. Побудуйте середину відрізка LM — точку О. Через точки КіО проведіть пряму. Через точку L проведіть пряму, паралельну до КО, її точку перетину з прямою І позначте В. Через точку М проведіть пряму, паралельну до КО, а її точку перетину з прямою І позначте А. Проведіть пряму ВО, її точку перетину з AM позначте D. Проведіть пряму АО, її точку перетину з BL позначте С. З’єднайте послідовно точки А, В, С і D. Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.

211. Нехай у чотирикутника ABCD АВ = CD, О — середина діагоналі АС, Е — середина діагоналі BD. Пряма ОЕ перетинає АВ в точці М, а пряму CD — в точці N. Позначимо середину сторони ВС точкою К. У ΔАВС ОК — середня лінія, ОК || АВ, ОК = 1/2АВ. У ΔBCD КЕ - середня лінія, КЕ || CD, КЕ = 1/2CD. Оскільки АВ = CD, то КО = КЕ і ΔОКЕ — рівнобедрений з основою ОЕ, тоді ∠KOE = ∠KEO. Оскільки КО || ВА, то ∠BMO = ∠KOE як відповідні при КО || ВА та їх січній MN. Оскільки КЕ || CD, то ∠KEO = ∠CNM як відповідні при КЕ || CN та їх січній MN. Тоді ∠BMN = ∠CNM. Що й треба було довести.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.