Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IІ. Подібність трикутників. Теорема Піфагора

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

Пояснення

Теорема, обернена до теореми Піфагора: якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник прямокутний.

Трикутники зі сторонами 3, 4, 5 або пропорційні числам 3, 4, 5 є прямокутними і називаються єгипетськими трикутниками.

416. Нехай а — катет прямокутного трикутника, а с — його гіпотенуза, тоді с2 = 2а2, але за теоремою Піфагора с2 = а2 + b2 => а = b => трикутник рівнобедрений, і його гострі кути дорівнюють по 45°.

Відповідь: 45°, 45°.

417. Якщо сторони трикутника 6, 8 і 10, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо: 62 + 82 = 102 => трикутник прямокутний, і його найбільший кут 90°.

Відповідь: 90°.

418. Оскільки 32 + 42 = 52, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, кут між сторонами 3 см і 4 см = 90°. Тому даний паралелограм є прямокутником.

419. У ΔАВС: ∠A = 90.

а) ВС — похила до АВ.

б) АС — проекція похилої ВС на пряму АС.

420. l1 і l2 — похилі, проведені до однієї прямої; а1 і а2 — проекції цих похилих на цю пряму.

а) а1 < а2 => l1 < l2.

б) l1 = l2 => a1 = a2.

421. Якщо похилі проведені не з однієї точки, то вони не будуть рівними, маючи рівні проекції на одну пряму.

422. l - пряма, А ∉ l. АВ і АС — похилі, АВ = АС.

Відповідь: 2 см.

423. У ΔABC (∠A = 90°) АВ = 3 см, АС = 4 см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: 5 см.

424. У ΔАВС АВ = 2,5 см, АС = 6 см, ВС = 6,5 см. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, 2,52 + 62 = 6,25 + 36 = 42,25; 6,52 = 42,25. Отже, АВ2 + АС2 = ВС2 => ∠A = 90°.

Відповідь: 90°.

425. За теоремою Піфагора а2 + b2 = с2.

Відповідь: а) с = 25; б) b = 8; в) а = 3.

426. Із т. А проведено перпендикуляр АВ і похилу АС до прямої l.

ВС — проекція похилої на пряму l.

За теоремою Піфагора маємо: АВ2 + ВС2 = АС2.

а) АС2 = АВ2 + ВС2 = 402 + 92 = 1600 + 81 = 1681; АС = 41 см;

б) АВ2 = АС2 - ВС2 = 292 - 202 = 841 - 400 = 441; АВ = 21 см.

Відповідь: а) 41 см; б) 21 см.

427. ABCD — даний прямокутник.

а) За теоремою Піфагора АВ2 + ВС2 = АС2;

АС2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676; АС = 26 см.

б) За теоремою Піфагора

ВС2 = АС2 - АВ2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64; ВС = 8 см.

PABCD = 2(АВ + ВС) = 2 ∙ (6 + 8) = 2 ∙ 14 = 28 (см).

Відповідь: а) 26 см; б) 28 см.

428. ABC — даний трикутник (∠A = 90°), АВ = АС.

За теоремою Піфагора АВ2 + АС2 = ВС2. Оскільки АВ = АС, то 2АВ2 = ВС2.

429. Нехай ABCD — квадрат зі стороною а і діагоналлю d. Тоді за теоремою Піфагора: а2 + а2 = d2.

430. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, якщо сторони трикутника задовольняють умову а2 + b2 = с2, то трикутник є прямокутним.

не прямокутний;

прямокутний;

не прямокутний;

не прямокутний.

431. Оскільки 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, даний трикутник є прямокутним, тому його найбільший кут дорівнює 90°, а його бісектриса з обома катетами утворює кути по 45°.

Відповідь: 45°.

432. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). За умовою BD — бісектриса (∠ABD = ∠CBD). За властивістю бісектриси рівнобедреного трикутника, проведеної до основи, вона є висотою і медіаною. Отже, ∠BDC = 90°. Із ΔBDC за теоремою Піфагора маємо: ВС2 = BD2 + DC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100; ВС = 10 см. РΔАВС =АВ + ВС + АС = 10 + 10 + 16 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

433. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). BD — медіана ΔABC (AD = DC). За умовою АВ = 13 см, РΔABC = 36 см, тому АС = 36 - (13 + 13) = 10 см. За властивістю медіани рівнобедреного трикутника, проведеної до основи, вона є одночасно висотою, тому ∠BDC = 90°. Із ΔBDC за теоремою Піфагора ВС2 = BD2 + DC2; BD = √144 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

434. Нехай АВСD — даний паралелограм. ВС = 17 см, BD = 16 см, АС = 30 см. Нехай О — точка перетину діагоналей ABCD. За властивістю діагоналей паралелограма Оскільки 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, ∠BOC = 90°. Якщо діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, то паралелограм є ромбом.

435. Нехай АВСD — даний ромб, діагоналі якого перетинаються в т. О. За властивістю діагоналей ромба

Із ΔВОС за теоремою Піфагора маємо: ВС2 = BO2 + OC2;

Відповідь: 24 м.

436. а) Якщо а = 6 см, b = 8 см, то

б) якщо с = 8 см, а = 6 см, то

437. Див. рис. до № 436. а) Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді а = 3x, b = 4х, с = 45 см. За теоремою Піфагора

Відповідь: 27 см, 36 см.

б) Нехай a і b — катети, с — гіпотенуза, аc і bс — проекції катетів на гіпотенузу, h — висота, проведена до гіпотенузи.

За метричними співвідношеннями маємо:

Відповідь: 15 см, 20 см, 25 см.

438. Нехай а і b — катети, а с — гіпотенуза прямокутного трикутника, аc і bс — проекції катетів на гіпотенузу.

а) Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді а = 12x, с = 13x, b = 10 см. За теоремою Піфагора:

Відповідь: 24 см, 26 см.

б) ас= 18 см, bс = 32 см. За метричними співвідношеннями маємо аc + bс = с і

Відповідь: 30 см, 40 см, 50 см.

439. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС = АС).

BD - висота ΔABC. За властивістю висоти рівностороннього трикутника AD = DC. ∠ADB = 90°. За теоремою Піфагора маємо: AD2 + BD2 = АВ2;

а) Якщо АВ = 6 см, то

якщо АВ = 2√3 см, то

якщо АВ = а см, то

якщо BD = Зл/З см, то АВ

б) Якщо BD = 1 см, то якщо BD = 3√3 см, то

якщо ВD = h см, то

440. Нехай ABCD — даний ромб. ВН — його висота, АН = 6 см, HD = 4 см.

АВ = АD = AH + HD = 6 + 4 = 10 см.

З ΔАНВ за: теоремою Піфагора маємо: АВ2 = ВН2 + AH2; ВН2 = АВ2 - АН2; ВН2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64; ВН = 8 см.

Відповідь: 8 см.

441. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС) AH ⊥ ВС. АВ = ВС = ВH + HС = 12 + 1 = 13 см.

Із ΔАHВ за теоремою Піфагора: АВ2 = ВН2 + АН2; АН2 =АВ2 - ВН2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25; АН = 5 см.

Із ΔАНС за теоремою Піфагора АС2 = AH2 + НС2; АС2 = 52 + 12 = 25 + 1 = 26; АС = √26 см.

Відповідь: √26 см.

442. Нехай ABC — даний трикутник (АС = 15 см, АВ - 20 см, ВС = 25 см).

Оскільки 152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, ∠A = 90°. Отже, найбільша сторона цього трикутника є гіпотенузою ВС. Маємо медіана а висота за метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику.

Відповідь: 12,5 см, 12 см.

443. Перевіримо, чи задовольняють теорему Піфагора числа 2mn, m2 - n2, m2 + n2.

444. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD).

Проведемо СH ⊥ AD. За властивістю рівнобічної трапеції

Із ΔCHD за теоремою Піфагора CD2 = СН2 + HD2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169; CD = 13 см. Оскільки АВ = CD, маємо РABCD = АВ + ВС + CD + AD = 13 + 8 + 13 + 18 = 52 (см). Оскільки АВ + CD= ВС + AD = 26, то в трапецію можна вписати коло.

Відповідь: 52 см.

445. Нехай одна сосна — АВ, а друга — CD. Тоді ABCD прямокутна трапеція з основами 21 м і 28 м і висотою 24 м. Проведемо СН ⊥ АВ. ВН = АВ — CD = 28 — 21 = 7 м.

Із ΔВНС за теоремою Піфагора: ВС2 = ВН2 + HС2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625; ВС = 25 м.

Відповідь: 25 м.

446. Із т. А до прямої l проведемо перпендикуляр АH і похилі АВ і АС.

За теоремою Піфагора АВ2 = АH2 + HВ2;

а) Якщо похилі АВ і АС1 розташовані по один бік від АH, то BC1 = НС1 - НВ = 15 - 6 = 9 см.

б) Якщо похилі АВ і АС2 розташовані по різні боки від АH, то ВС2 = HВ + HС2 = 6 + 15 = 21 см.

Відповідь: 9 см або 21 см.

447. Нехай ABC — даний трикутник, АС — його найбільша сторона, BD ⊥ АС.

З ΔADB за теоремою Піфагора: АВ2 = ВD2 + АD2 і BD2 = АВ2 - АD2.

З ΔBDC за теоремою Піфагора: ВС2 = ВD2 + DС2 і ВD2 = ВС2 - DС2.

Звідси маємо: АВ2 - АD2 = ВС2 - DС2.

а) АВ = 15, ВС = 41, АС = 52, АD — х, тоді DС = (52 - х).

Відповідь: 9.

Відповідь: 8.

448. Нехай АH — перпендикуляр до l, а АВ і АС — похилі. Причому АС = х см, АВ = (х + 8) см, НС = 8 см, ВН = 20 см. АВ > АС => ВН > НС.

За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = ВН2 + АH2; АС2 = HС2 + АH2.

Знайдемо різницю АВ2 - АС2. Маємо: АВ2 - АС2 = ВН2 - HС2.

Відповідь: 15 см.

449. Нехай АВ — діаметр кола з центром О, а С — точка, що належить цьому колу. За умовою АС = 20 см, ВС = 15 CM. СН ⊥ АВ. СН — відстань від т. С до АВ.

Розглянемо ΔАСВ: ∠ACB = 90° (спирається на діаметр) => ΔАСВ — прямокутний. Тоді за теоремою Піфагора: АВ2 = АС2 + ВС2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625; АВ = 25 см.

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику

Відповідь: 12 см.

450. Нехай А, В і С — точки на колі з центром О.

Оскільки 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681 = 412, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, ∠B = 90° => ΔABC — прямокутний з гіпотенузою АС і

Відповідь: 20,5 см.

451. Нехай два кола (О1, 4) і (O2; 9) дотикаються зовні. l — спільна дотична до цих кіл, А і В — точки дотику.

За властивістю дотичної маємо О2В ⊥ l, О1А ⊥ l => О1А || O2В і O1АВO2 — трапеція. Проведемо АН || O1O2. За означенням O1АНO2 — паралелограм => O1A = O2Н = 9 - 4 = 5 (см) і AH = O1O2 = 4 + 9 = 13 (см).

З ΔАВН за теоремою Піфагора маємо: АН2 = АВ2 + ВН2; АВ2 = АН2 - ВН2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144; АВ = 12 (см).

Відповідь: 12 см.

452. Нехай два кола з центрами О1 i O2 дотикаються зовні в т. А. В і С точки дотику цих кіл з їх спільною зовнішньою дотичною. АВ = 5 см, АС = 12 см. O1В = O2А = R1; O2С = О2А = R2. Отже, ΔBO1A і ΔСО2A — рівнобедрені => ∠O1BA = ∠O1AB = α, ∠O2AC = ∠O2CA = β. За властивістю дотичної O2С ⊥ ВС, O1B ⊥ ВС => ∠ABC = ∠ACB = 180° - (α + β).

Але ∠BAC = 180° - (∠O1AB + ∠O2AC) = 180° - (α + β). За теоремою про суму кутів трикутника маємо: 180° - (α + β) + 180° - (α + β) = 180°; 2(α + β) = 180°; α + β = 90° => ∠BAC = 180° - 90° = 90°. Тоді за теоремою Піфагора маємо: ВС2 = АВ2 + АС2; ВС2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169; ВС = 13 см.

Відповідь: 13 см.

453. Нехай ABCD — трапеція, АС ⊥ BD.

Побудуємо ВМ || АС, М ∈ AD, тоді МВСА — паралелограм за побудовою і AM = ВС, MB = АС = 1 м, BD = √3 м. ∠MBD = 90°. Тоді з ΔMBD за теоремою Піфагора Отже, ВС + AD = 2 м, а середня лінія трапеції

Відповідь: 1 м.

454. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°).

AM = 25 см — медіана, АН = 24 см — висота. Із ΔАHМ за теоремою Піфагора

За властивістю медіани, що проведена до гіпотенузи AM = МС = ВМ = 25 см. НС = МС - МН = 25 - 7 = 18 см.

Із ΔАНС за теоремою Піфагора АС2 = AH2 + НС2 = 242 + 182 = 576 + 324 = 900; АС = 30 см.

Із ΔВАС за теоремою Піфагора АВ2 + АС2 = ВС2; АВ2 = ВС2 - АС2 = 502 - 302 = 2500 - 900 = 1600; АВ = 40 см.

Отже,

Відповідь: 10 см.

455. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD). Позначимо ВС = a, AD = b, АВ = CD = с. Проведемо СН = h, СН ⊥ АD. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то

Із ΔCHD за теоремою Піфагора маємо:

456. Нехай ABCD — чотирикутник, у якого AC ⊥ BD, O — точка перетину діагоналей.

За теоремою Піфагора маємо;

ВС2 + AD2 = ВО2 + ОС2 + AO2 + OD2,

АВ2 + CD2= ВО2 + AO2+ CO2+ OD2 => ВС2 + AD2= АВ2 + CD2.

Обернене твердження: Якщо в чотирикутнику суми квадратів довжин його протилежних сторін рівні, то діагоналі цього чотирикутника перпендикулярні.

457. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°).

К ∈ АВ, KM ⊥ ВС, АK = KМ. Розглянемо ΔKАС і ΔKМС.

1. ∠KАС = ∠KМС = 90° за умовою.

2. KМ = АK — за умовою.

3. KС — спільна => ΔKАС = ΔKМС за катетом і гіпотенузою => ∠ACK = ∠МСK як відповідні кути рівних трикутників => СK — бісектриса ∠АСВ.

458. Нехай ABC — даний гострокутний трикутник (АВ > ВС). BD ⊥ АС. Оскільки більша з похилих має більшу проекцію, то з АВ > АС => AD > CD. Якщо BD — бісектриса, то все одно AD > CD.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити