Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IIІ. Многокутники. Площі многокутників

§ 15. Многокутник і його елементи

506. Нехай A1, А2, ..., А7 — вершини семикутника, тоді вершину А1 діагоналлю можна сполучити з вершинами А3, А4, А5, А6. Отже, з однієї вершини семикутника виходить 4 діагоналі.

507. а) Якщо діагональ ділить многокутник на два трикутники, то дві їх вершини є спільними, а кількість вершин многокутника дорівнює 3 + 3 - 2 = 4.

б) Кількість вершин многокутника дорівнює 4 + 4 - 2 = 6.

в) Кількість вершин многокутника дорівнює 3 + 5 - 2 = 6.

Відповідь: а) ні; б) так; в) так.

508. Кількість вершин частини, що лишилася, дорівнює 5 - 4 + 2 = 3.

Відповідь: трикутник.

509. Сума кутів опуклого п’ятикутника дорівнює 180° ∙ (5 - 2) = 180° ∙ 3 = 540°.

а) Якщо 4 кути гострі (< 90°), то їх сума < 360° і п’ятий кут > 180° (не може).

б) Якщо 4 кути прямі (90°), то їх сума дорівнює 360° і на п’ятий кут залишається 180° (не може).

в) Якщо 4 кути тупі (> 90°), то їх сума > 360° і на п’ятий кут залишається < 180° (може).

510. Оскільки сума кутів опуклого чотирикутника — 360°, а опуклого п’ятикутника — 540°, то такого бути не може, бо інакше п’ятий кут дорівнює 180°.

511. А1А2А3А4А5 — п’ятикутник.

а) 3 однієї вершини виходить 2 діагоналі.

б) При попарному перетину діагоналей утворився п’ятикутник.

в) ∠A1+ ∠А2 + ∠A3+ ∠A4+ ∠A5= 540°.

512. А1А2А3А4А5А6 — шестикутник.

а) Діагоналі А1А4, А2A5 і А3A6 ділять шестикутник на два чотирикутники.

б) Діагоналі А1А3, А2A4, A3A5, А4А6, A1A5, A2A6 ділять шестикутник на трикутник і п’ятикутник.

А = В + 2, де В — кількість кутів опуклого многокутника, А — сумарна кількість кутів, на які він ділиться діагоналлю.

Відповідь: а) 720°, б) 1800°.

Відповідь: а) 5; б) 7; в) 9.

Відповідь: 135°.

Відповідь: 120°.

520. Нехай многокутник має n кутів, тоді сума трьох з них 3 ∙ 80°, а сума решти (n - 3) ∙ 160°, тобто сума всіх кутів 3 ∙ 80° + (n - 3) ∙ 160°, а за формулою 180° ∙ (n - 2). Складемо рівняння: 3 ∙ 80° + (n - 3) ∙ 160° = 180(n - 2); 240° + 160n - 480° = 180nа - 360°; 20n = 120; n = 6.

Відповідь: 6.

Відповідь: а) 3; б) 5; в) 6.

522. Нехай в многокутнику n кутів, тоді 90° ∙ n = 180°(n - 2); 90°n = 180°n - 360°; 90°n = 360°; n = 4.

Чотирикутник, у якого всі кути 90°, — прямокутник.

523. Із кожної вершини многокутника можна провести n - 3 діагоналей, тоді всього їх буде n(n - 3), але при такому підрахунку кожна діагональ враховується двічі, тому

Відповідь:

524. Сума зовнішніх і внутрішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 180° ∙ n, тому сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, 180°n - 180°(n - 2) = 360°. Припустимо, що опуклий многокутник має чотири гострих кути, тоді відповідні їм зовнішні — тупі, і їх сума більша за 360°, а де протиріччя. Отже, опуклий многокутник не може мати більше від трьох гострих кутів.

525. Нехай А1А2А3А4А5 — даний п’ятикутник.

Оскільки п’ятикутник рівносторонній і ∠A1 = ∠A2 = 90°, то А1А2А3А5 — квадрат, а А3А5А4 — рівносторонній трикутник, тому

Відповідь: 150°, 150°, 60°.

526. Нехай A1А2...Аn — даний многокутник.

За нерівністю трикутника Аналогічно Отже, довжина будь-якої сторони многокутника менша за суму довжин решти сторін.

527. Нехай A1А2...AkАn — даний многокутник, периметр якого = 20 см. Припустимо, що А1Аk = 10 см, тоді і за результатами задачі 526, а це означає, що а це суперечить умові.

528. Нехай ABCD — даний паралелограм, М — середина АВ, EF ⊥ ВС.

Оскільки EF ⊥ ВС, в ВС || AD, то EF ⊥ AD.

Розглянемо ΔМЕВ і ΔMFA.

1. ∠MEB = ∠MFA = 90°.

2. AM = MB за умовою.

3. ∠EMB = ∠EMA — вертикальні => ΔМЕB = ΔMFA за гіпотенузою і гострим кутом.

529. Нехай ABCD — даний паралелограм, BH1, ВН2, DH3, DH4 — його висоти.

Оскільки катет завжди коротший за гіпотенузу, то ВН1 < АВ, ВН2 < ВС, DH3 < DC, DH4 < AD. Додавши почленно ці нерівності, маємо: ВН1 + ВН2 + DH3 + DH4 < АВ + ВС + CD + AD = Р.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити