Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IIІ. Многокутники. Площі многокутників

§ 16. Площа многокутника

530. Ні, не означає. Наприклад, площі трикутника і паралелограма можуть бути рівними.

531. Якщо два прямокутники мають рівні периметри, це не означає, що їх площі рівні.

532. Пряма, проведена через середини двох протилежних сторін паралелограма, ділить його на два однакових паралелограми, отже, 1 : 1.

533. а) Правильно, оскільки d1 = а1√2; d2 = а2√2, якщо d1 = d2, то a1 = а2.

б) Неправильно, наприклад, S1 = S2 = 20, але а1 = 2, b1 = 10, а а2 = 4, b2 = 5.

в) Правильно, оскільки S1 = a12; S2 = а22. Якщо S1= S2, то a12= a22 => а1 = а2.

534. Нехай а — сторона квадрата, а а і b — сторони прямокутника (а < b), тоді Тому площа прямокутника більша за сторону квадрата.

535. ABCD — паралелограм, ВН — висота.

а) AD = 5 см, ВН = 3 CM, S = AD ∙ ВН = 5 ∙ 3 = 15 см2.

б) Якщо ABCD розрізати по ВН, то отримаємо ΔАВН (∠H = 90°) і прямокутну трапецію BHDC.

в) НВСН1 — прямокутник, SHBCH1 = SABCD.

536. ABCD — даний паралелограм.

а) У ABCD міститься приблизно 32 клітинки.

537. ABCD — прямокутник, AB1C1D — паралелограм. SABCD = SAB1C1D.

а) ABCN — ромб (АВ = BC = CN = NA).

б) ABMC — паралелограм (АВ = MC, BM = AC).

в) AD = 12 см, AC = 13 см. За теоремою Піфагора CD2 + AD2 = AC2; CD2 = AC2 - AD2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25; CD = 5 см.

SABCD = AD ∙ CD = 12 ∙ 5 = 60 см.

Відповідь: a) 36 см2; 6) 140 см2; B) 60 см2.

540. a = 9 см, b = 25 см — сторони прямокутника, тоді Snp = a ∙ b = 9 ∙ 25 = 225 см 2. За умовою Sкв = Snр = 225 см 2 => c = √225 = 15 см — сторона квадрата і Ркв = 4с = 4 ∙ 15 = 60 см.

Відповідь: 60 см.

541. Нехай a — сторона, a d — діагональ квадрата, тоді

Відповідь: 144 м2.

542.

Відповідь: 16√2 см.

543. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює я см, тоді інша 2х, a

Відповідь: 8 см, 16 см.

Відповідь: а) 60 см2; б) 12 см; в) 5 см.

545. Нехай ABCD — даний паралелограм, DB ⊥ АВ.

За теоремою Піфагора з ΔABD: АВ2 + BD2 = AD2; АВ2 = AD2 - BD2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64; АВ = 8 см. SABCD = AB ∙ BD = 8 ∙ 15 = 120 см2.

Відповідь: 120 см2.

546. Нехай а і b — сторони паралелограма, ha, hb — висоти, що проведені до цих сторін. Отже,

Відповідь: 8 см і 6 см.

547.

Відповідь: 12 см.

548. Нехай а і b — сторони прямокутника,

Відповідь: 180 плиток.

549. Нехай ABCD — даний прямокутник, AM — його бісектриса.

∠ВАМ = ∠MAD (AM — бісектриса); ∠ВМА = ∠MAD (внутрішні різносторонні) => ∠ВАМ = ∠ВМА => АВ = ВМ.

а) Нехай ВМ = 3 см, МС = 4 см, тоді АВ = 3 см, ВС = ВМ + МС = 3 + 4 = 7 см.

SABCD = АВ ∙ ВС = 3 ∙ 7 = 21 см2.

б) Нехай ВМ = 4 см, МС = 3 см, тоді АВ = 4 см, ВС = ВМ + МС = 3 + 4 = 7 см.

SABCD = АВ ∙ ВС = 4 ∙ 7 = 28 см2.

Відповідь: 21 см2 або 28 см2.

550. Нехай а = 5х, b = 12х, d = 26 см. За теоремою Піфагора: a2 + b2 = d2;

Відповідь: 240 см2.

551. Нехай ABCD — даний паралелограм, ВH1 i ВН2 — висоти.

а) РАВСD = 42 см, ВН1 = 6 см, ВН2 = 8 см.

2 ∙ (AD + DC) = 42; AD + DC = 21. Нехай AD = х, тоді DC = 21 - х. Маємо AD ∙ BH1 = CD ∙ BH2; x ∙ 6 = (21 - x) ∙ 8; 6x = 168 - 8x; 14x = 168; x = 12 => AD = 12 см, S = AD ∙ BH1 = 12 ∙ 6 = 72 см2.

б) DC = 5 см, AH1 = 4 см, H1D = 6 см. AB = DC = 5 см => за теоремою Піфагора з ΔАH1В:

(як катет, що лежить проти кута 30°). S = AD ∙ ВН1 = 10 ∙ 4 = 40 см2.

Відповідь: а) 72 см2; б) 30 см2; в) 40 см2.

552. Нехай ABCD — даний паралелограм. ВН1 — його висота.

a) ∠ABD = 90°, АН1 = 4 см, H1D = 9 см.

У прямокутному трикутнику ABD:

ΔАH1В — рівнобедрений => АH1 = ВH1. За теоремою Піфагора:

Відповідь: а) 78 см2; б) 32 см2.

553.

Відповідь: 4 см.

554. Нехай ABCD — ромб. М, N, К і Р — середини його сторін.

MN — середня лінія ΔАВС => MN || АС,

Аналогічно:

Отже, MNKP — паралелограм, але з того, що NK || BD, РК || АС, a AC ⊥ BD випливає, що NK ⊥ РК => MNKP — прямокутник і SMNKP = NK ∙ РК = 8 ∙ 15 = 120 см2.

Відповідь: 120 см2.

555. Нехай ABCD — даний ромб, ВH — його висота. ∠В = 150°. За властивістю кутів ромба за властивістю катета, що лежить проти кута 30° => АВ = 2ВH = 2 ∙ 5 = 10 см. AD = АВ = 10 см. S = AD ∙ ВH = 10 ∙ 5 = 50 см2.

Відповідь: 50 см2.

556. Нехай d — діагональ квадрата зі стороною а, тоді d = а√2.

557. Нехай ABCD — даний квадрат, М ∈ АС.

Відстань від точки до прямої — довжина перпендикуляра, проведеного з точки на цю пряму. Проведемо

∠MCM1 = 45° (діагональ квадрата є його бісектрисою) => ∠CMM1 = 45° => CM1 = ММ1 = 1,8 м. Аналогічно АМ2 = ММ2 = 2,2 м, але M1MM1D — прямокутник, тому M1D = ММ2 = 2,2 м.

Відповідь: 16 м2.

558. Оскільки сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а одна з висот 15 см, то за нерівністю трикутника ця висота не може бути проведеною до сторони 16 см (15 + х < 12), тому S = 12 ∙ 15 = 180 см2.

Відповідь: 180 см2.

559. Нехай ABCD — паралелограм, ВН1 і ВН2 — його висоти, ∠H1BH2 = 30°.

за гострим кутом (∠A = ∠C як протилежні кути паралелограма). Нехай ∠A = ∠C = α, тоді

Тому

Відповідь: 384 см2.

560. Розглянемо ΔCDE і ΔВАЕ та знайдемо відношення

Оскільки то ΔCDE і ΔВАЕ не подібні, тому C ∉ BE.

561. Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота, М — точка перетину АС і ВН.

Розглянемо ΔНАВ. За властивістю діагоналей ромба, ∠НАС = ∠CAB, тому AM — бісектриса ΔНАВ і за властивістю бісектрис Позначимо АВ = 13х, а АН = 5х і напишемо теорему Піфагора для ΔАНВ:

Відповідь: 351 см2.

562. Нехай ABCD — ромб, ВН — його висота.

Із ΔHBD за теоремою Піфагора маємо: HD2 + ВН2 = BD2; HD2 = BD2 - ВН2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25; HD = 5 см. Нехай АН = х, тоді АВ = AD = х + 5.

Із ΔАНВ маємо: АН2 + ВН2 = АВ2; х2 + 122 = (х + 5)2; х2 + 144 = х2 + 10х + 25; 10х = 119; х = 11,9 см. AD = 11,9 + 5 = 16,9 см. S = AD ∙ ВН = 16,9 ∙ 12 = 202,8 см2.

Відповідь: 202,8 см2.

563. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD), CM — бісектриса, CM || АВ.

Оскільки ВС || AM, АВ || СМ, то АВСМ — паралелограм => ∠A = ∠C = α, тоді ∠BCD = 2α (СМ — бісектриса), ∠D = ∠A = α (кути при основі рівнобічної трапеції). Тому за властивістю кутів при бічній стороні трапеції ∠BCD + ∠D = 180°; 2α + α = 180°; 3α = 180°; α = 60°. Маємо: ∠A = ∠D = 60°; ∠B = ∠C = 120°. Бісектриса ділить трапецію на паралелограм АВСМ і рівносторонній ΔMCD.

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°.

564. Нехай ABCD — даний паралелограм, BD — його висота, ∠A = 45°, AD = 4 см.

У ΔADB: ∠D = 90°, ∠A = 45° => ∠B = 45° => AD = BD = 4 см.

Відповідь: 8 см2, 8 см2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити