Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IIІ. Многокутники. Площі многокутників

§ 18. Застосування площ

Пояснення

Інколи для того, щоб пов’язати основні елементи фігур, застосовують метод площ. Для цього площу фігури виражають двома способами і прирівнюють одержані вирази. З одержаної рівності знаходять необхідні елементи.

608. а) Якщо кожну сторону трикутника збільшити в 4 рази, то його площа збільшиться в 16 разів.

б) Якщо кожну сторону трикутника зменшити в 3 рази, то його площа зменшиться в 9 разів.

в) Якщо кожну сторону трикутника зменшити в n разів, то його площа зменшиться в n2 разів.

609. а) Зменшити у 5 разів, б) Збільшити в 7 разів, в) Збільшити в n разів.

610. Ні, не означає.

611. а) Якщо ha < hb < hc, то а > b > с.

б) Якщо с < а < b, то hc > ha > hb.

в) Якщо а < b, то ha> hb> hc => а < с.

У трикутнику більшою є висота, проведена до меншої сторони.

612. ABC — даний трикутник (∠A = 90°), MN — середня лінія.

613. ABC — даний трикутник, AA1, BB1, CC1 — його висоти.

Відповідь: 1 : 9.

Відповідь: 4 см.

Відповідь: 2 см2.

617. За теоремою про відношення площ подібних трикутників:

Відповідь: 6 см2.

61 8 . За теоремою про відношення площ подібних трикутників: Трикутник, утворений середніми лініями, подібний до даного трикутника з коефіцієнтом 1/2, тому:

Відповідь: 20 см2.

Відповідь: 2,1 м.

620.

Відповідь: 6 см.

621. У паралелограма більшою є висота, проведена до меншої сторони.

Відповідь: 40 см.

622. Нехай ABC — даний трикутник (AB = ВС).

Проведемо висоти АА1 і СС1. Оскільки АВ = ВС, то АА1 = СС1.

623. Нехай ABC — даний трикутник, АА1, ВВ1, СС1 — його висоти.

Оскільки АА1 = ВВ1 = СС1 за умовою, то АС = АВ = ВС => ΔABC — рівносторонній.

624. Нехай S1 = х см2, тоді S2 = (х + 24) см2. За теоремою про відношення площ подібних трикутників маємо:

Відповідь: 3 см2 і 27 см2.

625. Периметри подібних трикутників відносяться так, як і їх відповідні сторони. Отже,

Відповідь: 108 м.

Відповідь: 36 см2.

Відповідь: 12 см i 16 см.

Отже,

Відповідь: 24 см.

630. Нехай a і b — катети, а с — гіпотенуза прямокутного трикутника, hc — висота, що проведена до гіпотенузи.

Оскільки позначимо а = 3х, а b = 4х, тоді за теоремою Піфагора За метричними відношеннями в прямокутному трикутнику тобто тому a = 3 ∙ 5 = 15 см, b = 4 ∙ 5 = 20 см.

Відповідь: 15 см, 20 см.

631. Нехай а і b — сторони паралелограма, а ha і hb — висоти, що проведені до них. S = aha = bhb, але за умовою ha = hb, тому a = b => паралелограм є ромбом.

632. У прямокутному трикутнику або

633. Нехай ABC — даний трикутник, MN || АС.

за двома кутами. Оскільки тобто

Відповідь: 1: (√2 - 1).

634. Нехай ABC — даний трикутник, EF || АС.

за двома кутами.

а) Нехай тоді тоді

б) Нехай тоді тоді

Відповідь: шукана пряма ділить сторони трикутника у відношенні 3 : 2 або 4 : 1, починаючи з вершини, протилежної даній стороні.

635. отже, отже,

636. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = BC), М ∈ АС.

Проведемо MH1 ⊥ АВ, МН2⊥ BC, AH ⊥ ВС.

Оскільки АВ = ВС, то АН = МН1 + МН2, а АН — величина постійна, яка не залежить від вибору М.

637. Нехай ABC — даний трикутник (∠B = 90°, ∠A = 30°), ВМ — медіана.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, Отже, ВМ = МС. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, тому ВМ = МС = ВС => ΔBMC — рівносторонній.

638. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), ВМ — медіана.

За властивістю медіани, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, ∠BMC = 90°, тоді з ΔBMC: ВМ = 1/2ВС => ∠C = 30° (катет в два рази менший за гіпотенузу). ∠A = ∠C = 30° (кути при основі рівнобедреного трикутника). ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 2 ∙ 30° = 120° за теоремою про суму кутів трикутника.

Відповідь: 30°, 30°, 120°.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4

1. S = 180°(n - 2); 1080° = 180°(n - 2); n - 2 = 6; n = 8.

Відповідь: 8.

2. Sкв = а2; 144 = а2; а = 12 см. Нехай b і с — сторони прямокутника, тоді b = 12 - 2 = 10 см, с = 2 ∙ 12 = 24 см. Snp = bc = 10 ∙ 24 = 240 см2.

Відповідь: 240 см2.

3. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), ВН — його висота.

Оскільки то позначимо ВС = 5x, АС = 6x. Висота є медіаною, тому За теоремою Піфагора ВН2 + НС2 = ВС2;

Відповідь: 48 см2.

4. Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.

SABCD = AD ∙ ВН; 50 = АD ∙ 5; АВ = 10 см.

У ΔАВН ВН = 1/2АВ => кут, що лежить проти ВН, дорівнює 30°. Тому ∠C = ∠A = 30°, a ∠B = ∠D = 180° - ∠А = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°.

5. Нехай а і b — сторони даного паралелограма, тоді S = 15а = 18b. Оскільки сторони рівновеликого йому паралелограма дорівнюють 3а і 3b, то 3а ∙ h1 = 15а; 3b ∙ h2 = 18b; отже, h1 = 5 см, h2= 6 см.

Відповідь: 5 см і 6 см.

6. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD).

Оскільки в трапецію можна вписати коло, то AD + ВС = АВ + СD = 2 ∙ СD = 2с, а Н = 2r, тому



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити