Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ І. Чотирикутники

§ 7. Вписані кути

Пояснення

Сума всіх дуг кола дорівнює 360°.

Якщо центральний і вписаний кути спираються на одну й ту саму дугу кола, то вписаний кут удвічі менший від центрального кута.

Кут між дотичними до кола, проведеними з однієї точки, дорівнює доповненню до 180° центрального кута, який відповідає дузі кола, що лежить між дотичними.

Якщо два вписані кути спираються на одну й ту саму хорду, то ці кути рівні, якщо їх вершини лежать по один бік від хорди; якщо вершини кутів лежать по різні боки від хорди, то один кут є доповненням другого до 180°.

Гострий кут між хордою і дотичною, проведеною до кола через кінець хорди, дорівнює половині кутової міри дуги, що лежить між ними.

207. а) Якщо дуга ABC менша за півколо, то ∠ABC > 90° (тупий).

б) Якщо дуга ABC більша за півколо, то ∠ABC < 90° (гострий).

в) Якщо дуга ABC дорівнює півколу, то ∠ABC = 90° (прямий).

208. Якщо сторона вписаного кута проходить через центр кола, то цей кут . може бути тільки гострим.

209. Оскільки всі три кути з вершинами А, В і С спираються на одну й ту саму дугу, то кути обстрілу воріт у трьох футболістів однакові.

210. Два вписані кути можуть дорівнювати один одному, якщо вони спираються на однакові дуги (не обов’язково одну й ту саму).

211. ∠ABC ≠ ∠AB1C.

212. а) Так, може, якщо цей кут не є вписаним. АС — діаметр. ∠ABC = 90°.

б) Ні, оскільки вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди прямий.

213. Нехай ABC — даний трикутник (∠ABC = 90°). Якщо АС = 10 см, то медіана А висота, що проведена до гіпотенузи є найкоротшим відрізком, що сполучає В і АС. Отже, висота може бути тільки меншою за 5 cм.

214. a) ∠AOC = 2∠ABC; б) ∠ABC = ∠ADC.

215. a) ∠ACВ = 90° (оскільки спирається на діаметр АВ); б) ∠AOC = 2∠ABC.

216. Нехай AOB — даний центральний кут.

а) За умовою ∪ADB = ∪АСВ + 120°. Оскільки ∪ADB + ∪АСВ = 360°, маємо: ∪ACB + 120° + ∪АСВ = 360°; 2 ∙ ∪ACB = 240°; ∪АСВ = 120°, a ∪ADB = 120° + 120° = 240°.

Відповідь: 120°, 240°.

б) Нехай ∪АСВ = 2x, ∪ADB = 7x, тоді 2x + 7x = 360°, 9x = 360°, x = 40°. Отже, ∪ACB = 2 ∙ 40° = 80°, ∪ADB = 7 ∙ 40° = 280°.

Відповідь: 80°, 280°.

217. a) 360° : 4 = 90°. Відповідь: 90°.

б) 360° : 3 = 120°. Відповідь: 120°.

в) 360° ∙ 5/18 = 100°. Відповідь: 100°.

218. а) х = 140° : 2 = 70°. Відповідь: 70°.

б) х = 20° ∙ 2 = 40°. Відповідь: 40°.

в) х = 360° - 150° = 210°. Відповідь: 210°.

219. а) х = 80° : 2 = 40°. Відповідь: 40°.

б) х = 50° (спираються на одну дугу). Відповідь: 50°.

в) х = (360° - 60°) : 2 = 300° : 2 = 150°. Відповідь: 150°.

220. Нехай ∠ADC = α.

а) Якщо точка В знаходиться по один бік з точкою D від хорди АС, то ∠ADC і ∠АВ1C спираються на одну дугу і ∠АВ1C = α.

б) Якщо точка В з точкою D знаходяться по різні боки від хорди АС, то ∪АDC = 360° - 2α і

Відповідь: α або (180° - α).

221. Нехай А, В і С ∈ колу (О; R). За умовою АС = R => ΔАОС — рівносторонній і ∠AOC = 60°, тому або або ∠АВ2C = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: 30° або 150°.

222. Нехай ΔАВС вписаний у коло з центром О, О ∈ АВ. Тоді ∠АСВ спирається на діаметр і ∠АСВ = 90°.

а) За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠А + ∠В + ∠С = 180°, ∠В = 180° - 90° - 65° = 25°.

б) Якщо АВ = 12, то i медіана CO = R = 6 см.

Відповідь: а) 25°; б) 6 см.

223. Нехай АС — діаметр кола з центром О і В належить цьому колу.

а) ∠ABC спирається на діаметр АС => ∠ABC = 90°.

б) BО — медіана, що проведена до гіпотенузи, тому вона дорівнює половині цієї гіпотенузи. Маємо: АС = 2 ∙ BО = 2 ∙ 5 = 10 см.

Відповідь: а) 90°; б) 10 см.

224. Нехай ABC — кут, вписаний в коло. BD — його бісектриса.

але ∠ABD = ∠DBC за умовою => ∪AMD = ∪DNC.

225. a) ∠ADC = ∠ABC = 30° (спираються на одну дугу). Кут х є зовнішнім кутом ΔCMD => х = ∠MCD + ∠MDC = 25° + 30° = 55°.

Відповідь: 55°.

б) ∠CBA = 90° (спирається на діаметр) => х = ∠DBA = ∠DBC + ∠CBA = 30° + 90° = 120°.

Відповідь: 120°.

226. a) ∠ABC = ∠ADC = 45° (спираються на одну дугу). Із ΔАМВ за теоремою про суму кутів трикутника маємо: х = ∠BMA = 180° - (∠ABM + ∠MAB) = 180° - (45° + 15°) = 180° - 60° = 120°.

б) ΔАОВ — рівнобедрений (АО = OB = R) => х = ∠BAO = ∠ABO = (180° - 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.

227. Точки А, В і С належать колу з центром О.

Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ∪АВС = 11х, ∪АМС = 7х. Маємо: ∪АВС + ∪АМС = 360°, 11x + 7x = 360°, 18x = 360°, x = 20°. ∪AMC = 7 ∙ 20° = 140° => ∠AOC = 140° (центральний), a (вписаний, що спирається на ∪AMC).

Відповідь: 70°.

228. Нехай А, В і С належать колу з центром О. ∪BMC : ∪ANB : ∪СКА = 3 : 4 : 5.

Нехай x — коефіцієнт пропорційності, тоді ∪ВМС = 3х, ∪ANB = 4х, ∪СКА = 5x.

Маємо рівняння: 3x + 4x + 5x = 360°; 12x = 360°; x = 30° і ∪АМВ = 4 ∙ 30° = 120°, ∪BMC = 3 ∙ 30° = 90°, ∪CKA = 5 ∙ 30° = 150°.

За теоремою про вписаний кут маємо:

Відповідь: 60°, 45°, 75°.

229. Нехай ABC — даний трикутник, вписаний в коло з центром О (АВ = ВС).

а) Якщо ∪ВNС = 100°, то і ∠В = 180° - 2 ∙ 50° = 80°.

б) Якщо ∪AMC = 100°, то і ∠A = ∠С = (180° - 50°) : 2 = 65°.

в) Якщо вершина рівнобедреного трикутника має положення B1, то ∠АОС = 100°, а

∠B1AC = ∠B1CA = (180° - 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°.

230. Нехай АВ — хорда, а ВС — дотична до кола з центром О. Позначимо кут ABC між хордою і дотичною через а, тоді ∠АBО = 90° - α (радіус, який проведено в точку дотику, утворює з дотичною кут 90°). ΔАВО — рівнобедрений (ОА = ОВ = R) => ∠ОАВ = ∠АBО = 90° - α, ∠АОВ = 180° - (90° - α + 90° - α) = 2α => ∪АМВ = ∠АОВ = 2α. Маємо: ∠АВС = 1/2∪АМВ.

231. а) Нехай АВ і CD —хорди одного кола з центром О, причому АВ || CD.

∠АВС = ∠BCD (внутрішні різносторонні при паралельних прямих АВ і CD і січній ВС).

б) Нехай ∪AMB і ∪CND — дуги одного кола з центром О, причому ∪АМВ = ∪CND.

Розглянемо ΔAОВ і ΔCOD: 1. AO = BO = CO = DO = R.

2. ∠AОВ = ∪АМВ; ∠COD = ∪CND => ∠AОВ = ∠COD => ΔАОВ = ΔCOD за двома сторонами і кутом між ними => АВ = CD як відповідні сторони рівних трикутників.

Обернене твердження: Якщо дві хорди кола рівні, їх стягують.

Розглянемо ΔАОВ і ΔCOD.

1. AO = BO = CO = DO = R.

2. АВ = CD за умовою => ΔАОВ = ΔCOD за трьома сторонами => ∠AОВ = ∠COD, а ∠AОВ = ∪AMB, ∠COD = ∪CND. Отже, ∪AMB = ∪CND.

232. Нехай АВ — хорда кола з центром О. ∪ANB = 100°. Через т. А і В проведені дотичні до кола, які перетинаються в т. М. ∠AОВ = ∪ANB = 100°. Проведемо радіуси ОА і ОВ. За властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, ∠ОВМ = ∠ОАМ = 90°. Із ΔАОВ: AO = BO = R => ∠ОАВ = ∠ОВА = (180° - 100°) : 2 = 40°. ∠АВМ = ∠ВАМ = 90° - 40° = 50°. З ΔАМВ маємо: ∠АМВ = 180° - (∠АВМ - ∠ВАМ) = 180° - (50° + 50°) = 80°.

Відповідь: 80°.

233. Нехай АС — діаметр кола з центром О. В належить колу, ∠ВСА = 60°, ВС = 4 см. Розглянемо ΔАВС: ∠АВС = 90° (спирається на діаметр); ∠А = 90° - 60° = 30°. ВС лежить проти кута 30°, тому ВС = 1/2АС; АС = 2 ∙ ВС = 2 ∙ 4 = 8 см. АС — діаметр, тому

Відповідь: 4 см.

234. Нехай АВС — даний трикутник. ∠ВАС = 90°. AM — медіана, AM = 9 см, ∠АМВ = 60°. Оскільки медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, маємо ВМ = AM = 9 см. Тоді ΔАМВ — рівнобедрений з кутом 60°, отже, він рівносторонній і АВ = ВМ = AM = 9 см.

Відповідь: 9 см.

235. Нехай ∠EAF — гострий кут, вписаний в коло з центром О. Проведемо діаметр ВС. ∠ВАС = 90° (спирається на діаметр). ∠EAF < 90° (за умовою), тому ∪EF, на яку він спирається, < 180°, отже, А і EF лежать по різні боки від діаметра ВС => О знаходиться всередині ΔEAF.

∠MAN > 90° за умовою => ∪MN, на яку він спирається, > 180° і А і MN лежать по один бік від діаметра ВС => О лежить поза трикутником MAN.

236. Нехай А — точка всередині кола з центром О. ВВ1 і СС1 — хорди цього кола, які перетинаються в т. А.

Розглянемо ΔBC1A: ∠ВАС — є зовнішнім при вершині А, тому ∠ВАС = ∠C1BA + ∠ВС1А. Але а Маємо:

237. Нехай ВС і ED — січні одного кола, які перетинаються в т. А, А не належить цьому колу.

Розглянемо ΔАСЕ: за теоремою про зовнішній кут маємо: ∠САЕ + ∠АСЕ = ∠CED, але a Отже,

238. Нехай с — гіпотенуза шуканого трикутника, a h — висота, що проведена до неї.

Аналіз. Нехай ΔABC побудовано. АМ = 1/2ВС (медіана, що проведена до гіпотенузи). ΔАНМ можна побудувати за катетом і гіпотенузою (AH = h, AM = c/2). Таким чином, отримаємо вершину А.Вершини В і С можна знайти, якщо на прямій МН від точки М по різні боки відкласти MB = МС = c/2.

Побудова.

1. Будуємо ΔMНА за катетом і гіпотенузою.

2. Проводимо пряму МН.

3. На прямій МН від т. М відкладаємо MB = МС = c/2.

4. Послідовно з’єднуємо точки А, В і С.

Доведення. Оскільки МА = MB = МС, то навколо ΔABC можна описати коло з центром М. ∠ВАС = 90° (спирається на діаметр). Отже, ΔАВС — прямокутний, у якого ВС = с, AH ⊥ ВС, AH = h. Задача має єдиний розв’язок, якщо h < c/2.

239. Нехай а — сторона трикутника, α — кут, що лежить проти а, h — висота, що проведена до а.

Аналіз. Нехай ΔABC побудовано (АС = а, ∠АВС = α, ВН ⊥ АС, ВН = h). Опишемо коло навколо ΔАВС. ∠АВС є вписаним в це коло і спирається на дугу ∪АС. Але будь-який кут, що спирається на цю дугу, вершина якого лежить на цьому колі по один бік від АС з точкою В, теж дорівнюватиме а. Проводимо пряму l || АС та відстані h від АС. Тоді трикутник з вершиною на цій прямій буде мати висоту h.

Побудова.

1. Будуємо ∠M = α.

2. На стороні ∠M вибираємо довільну точку А.

3. Будуємо коло з центром А і R = а до перетину з іншою стороною ∠M. С — точка перетину кола зі стороною ∠M.

4. Будуємо коло, описане навколо ΔАМС.

5. Проводимо пряму l || АС на відстані h від неї.

6. Одна з точок перетину І з колом, описаним навколо ΔАМС і є третьою вершиною шуканого трикутника.

Доведення. ΔАВС — шуканий: АС = a, ∠ABC = ∠M = α (спираються на одну дугу), ВН = h за побудовою.

240. Оскільки будь-який вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий, то ГМТ, які є вершинами прямих кутів і проходять через точки А і В, є коло з діаметром АВ, крім точок А і В.

241. ГМТ, із яких даний відрізок АВ видно під кутом α, є дуги двох кіл, які спираються на АВ і дорівнюють α.

242. Нехай дано коло з центром О і А — точка поза цим колом.

Аналіз. Нехай через т. А побудовані дотичні до кола з центром О. В і С — точки дотику, тоді ∠OBA = ∠OCA = 90° (за властивістю радіуса, проведеного в точку дотику). Тоді ∠PBA повинен спиратися на діаметр ОА.

Побудова.

1. З’єднуємо точки О і А і знаходимо О1 — середину відрізка ОА.

2. Будуємо коло з діаметром ОА.

3. Точки перетину цього кола з даним позначимо B i С. Вони і є точками дотику.

4. Проводимо дотичні АВ і АС.

Доведення. Оскільки ∠OBA і ∠OCA спираються на діаметр ОА, то ∠OBA = ∠OCA = 90°. B і С лежать на даному колі, отже, АВ і АС — дотичні.

243. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). У трикутник вписано коло з центром О. М і N — точки дотику кола із сторонами АВ і ВС. ∠BAC = 40°. Оскільки ΔАВС рівнобедрений, ∠BCA = ∠BAC= 40°, то ∠ABC = 180° - (40° + 40°) = 100°. ∠OMB = ∠ONB = 90° (як радіуси, що проведені в точку дотику). За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠MBN + ∠BNO + ∠NOM + ∠OMB = 360°. Отже, ∠NOM = 360° - (90° + 100° + 90°) = 80°.

Відповідь: 80°.

244. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС). В ΔАВС вписано коло з центром О. М, N і К — точки дотику кола до сторін АВ, ВС, АС відповідно. AM = 8 см, ВМ = 9 см. АВ = АМ + ВМ = 8 + 9 = 17 (см). ВС = АВ = 17 см (трикутник рівнобедрений). AM = АК = 8 см (за властивістю відрізків дотичних). Отже, АС = AK + KC = 8 + 8 = 16 (см). Маємо: РΔABC = АВ + ВС + АС = 17 + 17 + 16 = 50 (см).

Відповідь: 50 см.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити