Готові домащні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Нерівності

§ 1. Числові нерівності

Початковий рівень

1. 1) Розглянемо різницю чисел 0,8 і 0,7: 0,8 - 0,7 = 0,1 > 0, отже, 0,8 > 0,7.

2) Розглянемо різницю чисел -1,2 і -1,25: -1,2 - (-1,25) = -1,2 + 1,25 = 0,05 > 0, отже, -1,2 > -1,25.

3) Розглянемо різницю чисел отже,

4) Розглянемо різницю чисел отже,

5) Розглянемо різницю чисел п і 3: п - 3 = 3,14 - 3 = 0,14 > 0, отже, π > 3.

6) Розглянемо різницю чисел -2,31 і 0: -2,31 - 0 = -2,31 < 0, отже, -2,31 < 0.

2. 1) 1,8 - 1,9 = -0,1 < 0, отже, 1,8 < 1,9;

2) -1,3 - (-1,27) = -1,3 + 1,27 = -0,03 < 0, отже, -1,3 < -1,27;

отже,

отже,

5) 4 - π = 4 - 3,14 = 0,86 > 0, отже, 4 > π;

6) 0 - (-3,71) = 3,71 > 0, отже, 0 > -3,71.

4. 1) Оскільки а - b = 5 > 0, то а > b;

2) оскільки а - b = 0, то а = b;

3) оскільки а - b = -7 < 0, то а < b.

5. 1) m - n = -18 < 0, отже, m < n;

2) m - n = 1,7 > 0, отже, m > n;

3) m - n = 0, отже, m = n.

6. 1) Якщо х + 4 = у, то х - у = -4 < 0, отже, x < у;

2) якщо у - 2 = х, то х - у = -2 < 0, отже, х < у;

3) якщо у + 2 = х, то х - у = 2 > 0, отже, у < х;

4) якщо х - 3 = у, то х - у = 3 > 0, отже, у < х.

7. 1) Якщо а - 7 = 6, то а - b = 7 > 0, отже, а > b;

2) якщо а + 3 = b, то а - b = -3 < 0, отже, а < b;

3) якщо b + 2 = а, то a - b = 2 > 0, отже, а > b;

4) якщо b - 5 = а, то а - b = -5 < 0; b > а.

11. Правильними для будь-якого значення х є нерівності: х2 ≥ 0; х2 + 1 > 0; (х - 3)2 ≥ 0.

12. 1) 3m + 5 > 3(m - 1). Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: 3m + 5 - 3(m - 1) = 3m + 5 – 3m + 3 = 8 > 0. Оскільки 3m + 5 - 3(m - 1) > 0, то справджується нерівність 3m + 5 > 3(m - 1), ЩО Й треба було довести.

2) р(р - 2) < р2 - 2р + 7. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: р(р - 2) - р2 + 2р - 7 = р2 - 2р - р2 + 2р - 7 = -7 < 0. Оскільки р(p - 2) - р2 + 2р - 7< 0, то справджується нерівність р(р - 2) < р2 - 2р + 7, що іі треба було довести.

3) (а + 1)(a - 1) < a2. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: (а2 - 1) - а2 = а2 - 1 - а2 = -1 < 0. Оскільки (а + 1)(a - 1) - а2 < 0, то справджується нерівність (а + 1)(а - 1) < а2, що й треба було довести.

4) х(х + 2) > 2х - 1. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: х(х + 2) - 2х + 1 = х2 + 2х - 2х + 1 = х2 + 1 > 0. Оскільки х(х + 2) - 2х + 1 > 0, то справджується нерівність х(х + 2) > 2х - 1, що й треба було довести.

13. 1) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: 2а - 3 - 2(а - 1) - 2а - 3 - 2а + 2 = -1 < 0, отже, 2а - 3 < 2(а - 1), що й треба було довести.

2) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: с(с + 2) - с2 - 2с + 3 = с2 + 2с – с2 - 2с + 3 = 3 > 0, отже, с(с + 2) > с2 + 2с - 3, що й треба було довести.

3) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: (х + 2)(х - 2) + 5 - х2 = x2 - 4 + 5 - х2 = 1 > 0, отже, (х + 2)(x - 2) + 5 > х2, що й треба було довести.

4) Розглянемо різницю лівої і правої частий нерівності та спростимо її: 3m - 2 - m(m + 3) = 3m – 2 - m2 – 3m = -(2 + m2) < 0, отже, 3m - 2 < m(m + 3), що й треба було довести.

14. 1) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: х2 + у2 + 2ху = (х + у)2 ≥ 0, отже, x2 + у2 ≥ -2ху, що й треба було довести.

2) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: р(р - 6) + 9 = р2 - 6р + 9 = (р - 3)2 ≥ 0, отже, р(р - 6) ≥ -9, що й треба було довести.

3) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: а(а + b) - ab = а2 + ab - ab = а2 ≥ 0, отже, а(а + b) ≥ ab, що й треба було довести.

4) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: m2 + 5m + 4 - m = m2 + 4m + 4 = (m + 2)2 ≥ 0, отже, m2 + 5m + 4 ≥ m, що й треба було довести.

15. 1) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: m2 + n2 – 2mn = m2 – 2mn + n2 = (m - n)2 ≥ 0, отже, m2 + n2 ≥ 2mn, що й треба було довести.

2) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2 ≥ 0, отже, t(t + 2) ≥ -1, що й треба було довести.

3) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: с(с - d) + cd = с2 - cd + cd = с2 ≥ 0, отже, с(с - d) ≥ -cd, що й треба було довести.

4) Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її: р2 - 11р + 36 - р = р2 - 12р + 36 = (р - 6)2 ≥ 0, отже, р2 - 11р + 36 ≥ р, що й треба було довести.

Достатній рівень

16. 1) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

Знайдемо різницю чисел та .

отже,

2) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

Знайдемо різницю чисел.

отже,

Відповідь:

17. 1) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

Знайдемо різницю чисел.

отже,

2) Звільнимося від ірраціональності в знаменнику дробу:

Знайдемо різницю чисел 4 + √15 – 4 - √15 = 0, отже,

Відповідь:

18. 1) У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квадрат двочлена: а2 + 10а + 26 = (а2 + 10а + 25) + 1 = (а + 5)2 + 1. Для будь-яких значень а(а + 5)2 >0, тому і (а + 5)2 + 1 > 0. Отже, а2 + 10а + 16 > 0,що й треба було довести.

2) Розглянемо різницю правої і лівої частин нерівності: а2 + 20 - 8а = а2 - 8а + 20 = (а - 4)2 + 4. Для будь-яких значень а(а - 4)2 > 0, тому (а - 4)2 + 4 > 0. Отже, а2 + 20 > 8а або 8а < а2 + 10, що й треба було довести.

19. 1) У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квадрат двочлсна: b2 – 4b + 7 = (b2 - 4b + 4) + 3 = (b - 2)2 + 3. Для будь-яких значень b(b - 2)2 > 0, тому і (b - 2)2 + 3 > 0. Отже, b2 – 4b + 7 > 0, що й треба було довести.

2) Розглянемо різницю правої і лівої частин нерівності: b2 + 2 + 2b = (b2 + 2b + 1) + 1 = (b + 1)2 + 1. Для будь-яких значень b(b + 1)2 > 0, тому і (b + 1)2 + 1 > 0. Отже b2 + 2 > -2b або -2b < b2 + 2, що й треба було довести.

21. 1) Спростимо вираз в лівій частин нерівності: х3 - 3х2 + х - 3 = х2(х - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x2 + 1).

х2 + 1 > 0 для будь-яких значення х.

х – 3 ≥ 0, якщо х ≥ 3.

Oтже, х3 - 3х2 + х – 3 ≥ 0, якщо х ≥ 3, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

Якщо а — додатне число, то 2a > 0, (а + 3) > 0, (a + 1) > 0. Oтже, і справджується нерівність що й треба було довести.

22. 1) Спростимо вираз в лівої частині нерівності: m3 + m2 + 5m + 5 = m2(m + 1) + 5(m + 1) = (m2 + 5)(m + 1).

m2 + 5 > 0 для будь-яких значень m.

m + 1 ≥ 0, якщо m ≥ -1.

Отже, m3 + m2 + 5m + 5 > 0, якщо m ≥ -1, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

Якщо р — додатне число, то р + 7 > 0, р + 8 > 0.

Отже, і справджується нерівність що й треба було довести.

Високий рівень

23. 1) У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квадрати двочленів:

Для будь-яких значень m і р: (m + 2)2 ≥ 0 і (р + 1)2 ≥ 0, тому (m + 2)2 + (р + 1)2 ≥ 0.

Отже, m2 + 4m + р2 + 2р + 5 ≥ 0, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: a2 + b2 - 4(а + b) + 8 = a2 + b2 - 4а – 4b + 8. Виділимо в цьому виразі квадрати двочленів: (a2 - 4а + 4) + (b2 – 4b + 4) = (а - 2)2 + (b - 2)2. Для будь-яких значень а і b: (а - 2)2 ≥ 0 і (b - 2)2 ≥ 0, тому (а - 2)2 + (b - 2)2 ≥ 0, тобто а2 + b2 - 4(а + b) + 8 ≥ 0. Отже, а2 + b≥ >4(а + b) - 8, що й треба було довести.

3) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:

для всіх значень m і n. Отже, m2 + n2 + 1 ≥ m + n + mn.

4) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності:

Оскільки (а - 1)2 ≥ 0, (b - 1)2 ≥ 0, (c - 1)2 ≥ 0, то (а - 1)2 + (b - 1)2 + (с - 1)2 + 1 > 0, то а2 + b2 + с2 > 2(а + b + с) — 4, що й треба було довести.

24. 1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності: а3 + 2а2 + а = а(а2 + 2а + 1) = а(а + 1)2.

(а + 1)2 ≥ 0, а > 0 за умовою, отже, а3 + 2а2 + а > 0, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: а3 + 1 - (а2 + а) = (а + 1)(а2 - а + 1) - а(а + 1) = (а + 1)(а2 - а + 1 - а) = (а + 1)(а - 1)2.

(а - 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатне. Отже, а3 + 1 ≥ а2 + а, що й треба було довести.

3) Знайдемо різницю лівої i правої частини рівності:

(а + 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатне. Отже, -3(а + 1)(а + 1)2 < 0, що й треба було довести.

4) Спростимо вираз і лівій частині нерівності: а6 - а5 + а4 = (а6 - 2а5 + а4) + а5 = (а3 - а2)2 + а3; (а2 - а2)2 ≥ 0, якщо а > 0, a5 > 0, отже, (a3 - a2)2 + a5 > 0, тоді a6 – a5 + a4> 0, що й треба було довести.

25. 1) р3 + 10р2 + 25р = р(р2 + 10р + 25) = р(р + 5)2. Оскільки (р + 5)2 ≥ 0, р < 0, то р(р + 5)2 ≤ 0, отже, р3 + 10р2 + 25р ≤ 0, що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: 1 - р3 - (р - р2) = (1 - р)(1 + р + р2) - р(1 - р) = (1 - р)(1 + р + р2 - р) = (1 - р)(1 + р2).

1 - р > 0, оскільки р — від’ємне, 1 + р2 > 0, отже, (1 - р)(1 + р2) > 0, тоді 1 – р3 > р - р2, що й треба було довести.

26. 1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

(7а – 4b)2 ≥ 0. Оскільки а і b — числа одного знака, то 14ab > 0, отже, тоді що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

(6m + 5n)2 ≥ 0. Оскільки m і n — числа різних знаків, то 60mn < 0, отже, тоді що й треба було довести.

27. 1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

(а - b)2 ≥ 0. Оскільки а > 0, b > 0, то аb > 0, отже, тоді що й треба було довести.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:

(а + b)2 ≥ 0. Оскільки а < 0, b > 0, то аb < 0, отже, тоді що й треба було довести.

28. Розглянемо різницю виразів m3 + n3 і

(m - n)2 ≥ 0. Оскільки m і n — додатні числа, то m + n теж додатне число, отже, (m + n)(m - n)2 > 0, тоді маємо: m3 + n3 > mn(m + n).

29. Додамо до кожного з чисел. 2, 3, 4, 5 число а, одержимо числа: 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а, тоді маємо: (а + 2)(а + 5) - (а + 3)(а + 4) = 10 + 7а + а2 - (12 + 7а + а2) = 10 + 7а + а2 - 12 - 7а - а2 = -1. Отже, (а + 2)(а + 5) < (а + 3)(а + 4).

Вправи для повторення

32. Нехай трактористи повинні були зорати поле за х днів, тоді х - 2 — час, за який трактористи зорали поле. Отже, за умовою задачі складемо рівняння:

х2 - 2х - 80 = 0; х1 = 10; х2 = -8 — не задовольняє умові задачі. Отже, трактористи повинні були зорати поле за 10 годин, а зорали за 10 - 2 = 8 (годин).

Відповідь: 8 годин.

34. Для фундаменту з піноблоків потрібно: піноблоків 3 м3 за цііюю780 грн, цементу 6 мішків за ціною 65 грн.

Отже, для будівництва фундаменту з піноблоків треба затратити: 3 ∙ 780 + 6 ∙ 65 = 2730 (грн).

Для фундаменту з бетону потрібно: 3 тони щебеню за ціною 185 грн за тонну, цементу 30 мішків за ціною 65 грн. Отже, для будівництва бетонного фундаменту треба затратити: 3 ∙ 185 + 30 ∙ 65 = 2505 (грн).

Таким чином, якщо вибрати найдешевший тип фундаменту, матеріал коштуватиме 2505 грн.

Відповідь: 2505 грн.

36. 1) Так; 2) так; 3) так; 4) так.

37. 1) у > х; 2) х > у; 3) х > у; 4) у > х.

38. Нехай s — відстань між А і В;

- час на шлях від А до В;

- час на зворотній шлях.

Всього час на весь шлях загальний шлях:

Отже, середня швидкість

Відповідь:






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.