Готові домащні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 1. Нерівності

§ 7. Системи лінійних нерівностей з однією змінною, їх розв'язування

Початковий рівень

Отже, число -1 не є розв’язком системи нерівностей.

Отже, х = -1 є розв’язком системи нерівностей.

Отже, х = -1 є розв’язком системи нерівностей.

Розв’язків немає.

Середній рівень

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) х > 8; 2) 4 < х < 8; 3) х < 4; 4) розв’язків немає.

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) х > 5; 2) 3 < х < 5; 3) х < 3; 4) розв’язків немає.

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) х > 6; 2) х ≤ 2; 3) розв’язків немає; 4) х < 8.

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) 2 < х < 3; 2) х < -1; 3) розв’язків немає; 4) х ≤ 6.

Розв’язків немає.

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) розв’язків немає; 2) х < 2; 3) 1 < х < 3.

Числа 1 і 0 є розв’язками системи нерівностей.

Числа 1 і 2 є розв’язками системи нерівностей.

Числа 0 і 1/5 є розв’язками системи нерівностей.

Відповідь: 1) 1 < х ≤ 3; 2) -2 ≤ х ≤ 8; 3) 1 ≤ х ≤ 4; 4) 4 < х < 6.

Відповідь: 1) 1 ≤ x < 5; 2) -10 < x ≤ 5; 3) 15 < x < 17; 4) 6 ≤ x ≤ 7.

Цілими є розв’язки: x = -1; x = 0; x = 1.

Цілими є розв’язки: x = 4.

Відповідь: 1) -1; 0; 1; 2) 4.

Достатній рівень

Розв’язків немає.

Розв’язків немає.

Відповідь: 1) розв’язків немає; 2)

Відповідь: х ≥ 0,6.

Отже, цілі розв’язки системи нерівностей: х = 6; х = 7.

Відповідь: 6, 7.

Отже, цілі розв’язки системи нерівностей: х = 1; х = 2.

Відповідь: 1) 6: 7; 2) 1; 2.

Отже, цілі розв’язки системи нерівностей: х = -5; -4; -3; -2; -1.

Отже, цілі розв’язки системи нерівностей; х = 7; х = 8.

Відповідь: 1) -5; -4; -3; -2; -1; 2) 7; 8.

Отже, найменше ціле число, що є розв'язком системи нерівностей: х = 1.

Отже, найменше ціле число, що є розв’язком системи нерівностей: х = -2.

Отже, найбільше ціле число, що є розв'язком системи нерівностей: х = 1.

Отже, найбільше ціле число, що є розв’язком системи нерівностей: х = -1.

Відповідь: 1) х = 1; 2) х = -1.

Отже, областю допустимих значень змінної у виразі є проміжок [-3,5; 0,2].

Отже, областю допустимих значень змінної у виразі є проміжок [20; +∞).

Відповідь: 1) [-3,5; 0,2]; 2) [20; +∞).

Областю визначення функції Є проміжок [-6; -5].

Областю визначення функції є проміжок (0,4; +∞).

Відповідь: 1) [-6; -5]; 2) (0,4; +∞).

Відповідь:

Високий рівень

Система розв’язків не має.

Отже, x < -2,8.

Система розв’язків не має.

Отже, х — будь-яке число.

Відповідь: 1) і 3) — система розв’язків не має; 2) х < -2,8; 4) х — будь-яке число.

Система розв’язків не має.

Отже, розв’язком системи є х < 10.

Отже, областю визначення функції є [3; 5) U (5; 7).

Отже, областю визначення функції є (5; 10).

Відповідь: 1) [3; 5) U (5; 7); 2) (5; 10).

Отже, областю допустимих значень функції у виразі є [2; 4) U (4; 6).

Отже, областю допустимих значень змінної у виразі є проміжок (3; 8).

Відповідь: 1) [2; 4) U (4; 6); 2) (3; 8).

253. Нехай х — третя сторона трикутника, тоді маємо: 4 + 5 + х < 15; 9 + х < 15; х < 15 - 9; х < 6. Отже, третя сторона трикутника може бути завдовжки від 1 см до 6 см.

Відповідь: від 1 см до 6 см.

254. х2 - (а + 1)х - (а + 2а2) = 0. Знайдемо дискримінант:

За умовою маємо:

Отже, -1 < а < 0.

При -1 < a < 0 рівняння має обидва корені менші від числа 1.

255. х2 - (2a + 1)х + (а2 + а) = 0. 3найдемо дискримінант:

За умовою маємо:

При а > 3 рівняння має обидва корені більші за 3.

Вправи для повторення

Відповідь: 1) х ≤ -3; 2) х < 2.

Відповідь:

260. Рівняння mх2 + 4х - 8 = 0 не має розв’язків, якщо D < 0.

Відповідь:

261.

Час роботи, хв

Продукти, кількість

Об’єм роботи

Даринка

X

1/x

1

Маринка

40

1/40

1

Оскільки разом вони пропололи грядку за 24 хвилин, маємо рівняння:

Отже, Даринка може прополоти грядку за 60 хвилин.

Відповідь: 60 хвилин.

Домашня самостійна робота № 1

1. то правильна Відповідь: В.

2. На малюнку зображений проміжок [-1; 2). Правильна Bідповідь Б.

3. Лінійною нерівністю є нерівність -3х < 8. Правильна Відповідь Г.

4. Правильна Відповідь Г. -2а <-2b.

5. Правильна Відповідь А.

Правильна Відповідь Б.

7. Правильна Відповідь В.

Правильна Відповідь А.

9. Проміжку [2,5; 3,6) не належить число √14. Правильна Відповідь Б.

10. Правильна Відповідь Г.

Правильна Відповідь В.

Правильна Відповідь Б.

Завдання для перевірки знань до §§ 1-7

1) Так; 2) ні; 3) ні; 4) так.

2. Мал. 30; [-1; 7). Мал. 31: (-∞; -3). Мал. 32: [5; +∞). Мал. 33: (2; 9).

3. Лінійною є нерівність -2х > 6.

10. Застосуємо нерівність Коші до кожного множника у лівій частині нерівності:

Перемножимо отримані нерівності:

Оскільки a ≥ 0, b ≥ 0, маємо: (а + 1)(b + 4)(а + b) ≥ 16ab, що й треба було довести.

11. ах2 – 2x - 8 = 0. Знайдемо дискримінант рівняння: отже,

Вправи для повторення розділу 1

До § 1

263. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

264. 1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: 5(m - 3) – 5m + 16 = 5m - 15 – 5m + 16 > 0, отже, 5(m - 3) > -16.

2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: х(х + 10) + 2 – 10x = x2 + 10x + 2 – 10x = х2 + 2. х2 ≥ 0, х2 + 2 > 0, отже, х(х + 10) + 2 > 10x.

3) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: (а - 7)(а + 10) - (а + 4)(а - 1) = а2 + 3а - 70 - (а2 + 3а - 4) = а2 + 3а – 70 - а2 - 3а + 4 = -66 < 0, отже, (а - 7)(а + 10) < (а + 4)(а - 1).

4) Знайдемо різницю лівої і цравої частини нерівності: р(р - 6) - (р - 3)2 = р2 - 6р - (р2 - 6р + 9) = р2 - 6р – р2 + 6р - 9 = -9 < 0, отже, р(р - 6) < (р - 3)2.

5) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: (m - 2)2 + 4m = m2 - 4m + 4 + 4m = m2 + 4; m2 ≥ 0, m2 + 4 > 0, отже, (m - 2)2 > -4m.

Знайдемо різницю лівої і правої частини перівності: 4(р + 1) - (p + 2)2 = 4p + 4 - (р2 + 4р + 4) = 4р + 4 - р2 - 4р - 4 = -р2; -р2 ≤ 0, отже,

265. 1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: (2а+ 3)(2а - 3) - 4а2 - 2а = 4а2 - 9 - 4а2 - 2а = -(9 + 2а). Знак визначити неможливо, отже, нерівність неправильна.

2) (3а - 2)(3а + 2) - (49а2 + 0,6) = 9а2 - 4 - 49а2 - 0,6 = -40а2 - 4,6 = -(40а2 + 4,6) < 0, отже, нерівність (3а - 2)(3а + 2) < 49а2 + 0,6 є правильною.

3) (3a - 1)2 – 3a(3a - 2) = 9a2 - 6a + 1 - 9a2 + 6a = 1 > 0, отже, (3а - 1)2 > 3а(3а - 2) правильна нерівність.

4) (3 - а)(3 + а) - 7 = 9 - а2 - 7 = -а2 + 2.

Знак визначити неможливо, отже, нерівність 7 > (3 - а)(3 + а) неправильна.

266. 1) (m + 1)2 – 4m = m2 + 2m + 1 – 4m = m2 – 2m + 1 = (m - 1)2 ≥ 0, отже, (m + 1)2 ≥ 4m;

2) (4b - 1)2 + 8b = 16b2 - 8b + 1 + 8b = 16b2 + 1; 16b2 ≥ 0, 16b2 + 1 > 0, отже, (4b - 1)2 > -8b;

отже,

отже, маємо:

267. 1) m > 0; 2) m < 0; 3) m < 0; 4) m > 0.

268. 1) m2 + n2 – 2m – 4n + 5 = (m2 – 2m + 1) + (n2 – 4n + 4) = (m - 1)2 + (n - 2)2 ≥ 0.

(m - 1)2 ≥ 0, (n - 2)2 ≥ 0, отже, (m - 1)2 + (n - 2)2 ≥ 0, тоді m2 + n2 – 2m - 4n + 5 ≥ 0;

2) 2x2 - 10ху + 25р2 = х2 + (х2 - 10хy + 25y2) = х2 + (х – 5y2)2.

х2 ≥ 0, (х - 5)2 ≥ 0, отже, х2 + (х - 5)2 ≥ 0,тоді 2х2 - 10хy + 25y2 ≥ 0.

269. 1) Знайдемо різницю виразів: (a3 - b3) - ab(b - а) = (а - b)(a2 + ab + b2) - ab(b - а) = (а - b)(а2 + ab + b2 + ab) = (а - b)(a + b)2.

а - b ≥ 0, оскільки а ≥ b; (а + b)2 ≥ 0. Отже, (а - b)(а + b)2 ≥ 0, тоді a3 - b3 ≥ ab(b - а).

2) Знайдемо різницю виразів: Домпожимо на 2:

Отже,

270. Нехай x — швидкість першого велосипедиста, тоді 40/x — час, за який перший велосипедист проїхав увесь шлях.

x +1 — швидкість другого велосипедиста па шляху від села до міста;

х - 1 —швидкість другого велосипедиста на зворотному шляху.

— час, за який другий велосипедист проїхав увесь шлях.

Тоді маємо:

Оскільки х > 1, то Отже, перший велосипедист витратив менше часу на дорогу.

271. Sквадрата = 6 ∙ 6 = 36 (см2). Ркв. = 6 ∙ 4 = 24 (см). Pпрямокутника = 25 см, P/2 = 12 см. Отже, сторони прямокутника можуть дорівнювати: 1 см і 11 см, 2 см і 10 см, 3 см і 9 см, 4 см і 8 см, 5 см і 7 см, тоді площі відповідно дорівнюють: 11см2,20 см2,27 см2,32 см2,35 см2. Отже, площа квадрата більша ніж площа довільного прямокутника, що має такий самий периметр, як у квадрата.

До § 2

272. Правильно перенесено доданок з однієї частини у другу у нерівностях: 2) , 3), 4).

До § 3

283. 1) Так; 2) ні; 3) так; 4) ні.

284. Сторона квадрата а = P/4, отже, 9 < а < 10, тоді оцінимо площу квадрата S = а2.

Відповідь: 81 < S < 100.

285. 1) Якщо m > 3 і n > 2, то 3m + 2n > 12.

2) Якщо а > 8 і b < 6, то b - 3а < 0.

3) Якщо х < 8 і у < 0, то y - 3у і 1 порівняти неможливо.

4) Якщо р < 8 і q > 1, то р - 4q < 9.

286. 1) а2 + 2а + 5 = (а + 1)2 + 4. Якщо 0 < а < 1; 4 < а2 + 2а + 5 < 8.

2) х2 - 4х = (х2 - 4х + 4) - 4 = (х - 2)2 - 4. Якщо 1 < х < 2, то -3 < х2 - 4х < -4.

Якщо 10 < а < 20; 5 < b < 10, то

Якщо 1 < m < 2; 0,3 < n < 0,5, то

287. Знайдемо х - у: х > а2 + b2. –у > -2аb;

Отже, х > у.

288. Оцінимо півпериметр прямокутника:

тоді S = а ∙ b.

Оцінимо площу трикутника:

Відповідь: 20 < S < 60.

289. 1) Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівій частині нерівності:

Перемножимо почленно ці нерівності:

що й треба було довести.

якщо m > 0, n > 0, р > 0.

Застосуємо теорему Коші до кожного множника лівої частини нерівності:

Перемножимо почленно ці нерівності:

8 ∙ 2 ∙ 3 = 48, що й треба було довести.

До § 4

291. 4; 4,7; 5.

292. 1) 3; 5; 7; 2) -1; 0; 3; 5.

293. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Якщо х = -2, то (-2 + 2)2 – 1 = 0 - 1 = -1 < 0; якщо х = 1, (1 + 2)2 - 1 = 9 - 1 = 8 > 0; якщо х = -1, (-1 + 2)2- 1 =0.

Отже, числа -2 і -1 є розв’язками нерівності х2 + 4х + 3 ≤ 0.

Відповідь: -2; -1.

До § 5

296. 1) Найменше ціле число, що належить проміжку (-7; 8) — це число -6, найбільше ціле число 7;

2) найменше ціле число -2, найбільше ціле число -3;

3) найменше ціле число 0, найбільше ціле число -4;

4) найменше ціле число -2, найбільше ціле число 1.

297. Проміжку належать числа

298. Найменше число 1, 6, найбільше визначити неможливо.

299. 1) Переріз множин раціональних і дійсних чисел — множина раціональних чисел. Об’єднання множин раціональних і дійсних чисел — множина дійсних чисел.

2) Переріз множин натуральних чисел, кратних 3, і натуральних чисел, кратних 9, — множина чисел, кратних 3.

Об’єднання множин натуральних чисел, кратних 3, і натуральних чисел, кратних 9, — множина чисел, кратних 9.

До § 6

301. 1) -4х > 12; 4х < -12; х < -3. Числа -4; -5; -6 — розв’язки нерівності.

2) 3х < 0; х < 0.Числа -1; -3; -5 — розв’язки нерівності.

3) -5х ≤ -15; 5х ≥ 15; х ≥ 3. Числа 3; 6; 9 — розв’язки нерівності.

4) 2х ≥ -7; х > -3,5. Числа -2; -1; 0 — розв’язки нерівності.

Найменше ціле х, при якому менше від значення дробу дорівнює 30.

Відповідь: 30.

Відповідь:

309. Нехай х — довжина другої сторони, тоді 2 ∙ 6 + 2 ∙ х > 30; 12 + 2х > 30; 2х > 30 - 12; 2х > 18; х > 0.

Відповідь: більшою за 9.

310. 1) Рівняння ах2 + 2(а + 1)х + (а + 3) = 0 не має коренів, якщо дискримінант менше нуля.

2) Рівняння ах2 - (2а + 1)х + (а + 2) = 0 має два різних корені, якщо дискримінант більше нуля.

Якщо а < -3, то

якщо а = -3, то х — будь-яке число;

ящо а > -3, то

Якщо а < 3, то х > -3;

якщо а = 3, то розв’язків не має;

якщо а > 3, то x < -3.

3) (а + 1)x > а2 - 1.

Якщо а < -1, то

якщо а = -1, то розв’язків немає,

якщо а > -1, то x > а - 1.

4) (а2 - 4)x ≤ а - 2.

Якщо а < -2 або а > 2, то

якщо а = -2, то розв’язків немає;

Якщо -2 < а < 2, то

якщо а = 2, то х — будь-яке число.

312. Нехай спортсменка зробила х влучних пострілів, тоді 10 - х промахи. За умовою задачі маємо: 3х - (10 - х) ∙ (-1) > 17; 3х - 10 + х > 17; 4х > 27; х > 6,25. Оскільки всього було пострілів10, то влучних пострілів може бути 7, 8, 9, 10.

Відповідь: 7, 8, 9, 10.

До § 7

Розв’язків немає.

Розв’язків немає.

— розв’язки нерівності;

х < 7; 5; 4; 3 — розв’язки нерівності.

Відповідь:

Натуральні розв’язки: 1, 2, 3.

Натуральних розв’язків немає.

Відповідь: 1) 1, 2, 3; 2) натуральних розв’язків немає.

Відповідь:

Відповідь:

Оскільки x — натуральне число, то x = 19.

Відповідь: 19.

Відповідь: 1) (8; 11]; 2) (4; 5); 3) [7,5; 8).

Система нерівностей має розв’язки, якщо а > 5.

Система нерівностей має розв’язки, якщо а ≥ 2.

Якщо а ≤ 2, то розв’язків немає; якщо а > 2, то 2 < х < а.

Якщо а ≤ 6, то x > 6; якщо а > 6, то x > а.

324. x2 + х + (а - а2) = 0; х2 + х + а(1 - а) = 0.

За теоремою, оберненою до теореми Вієтa, маємо: x1 = -а; x2 = (-1 + а).

Отже якщо а > 1,5 або а < -0,5 один з коренів рівняння менший від нуля, а другий — більший за 0,5.

Знайдемо корені рівняння:

За умовою

Відповідь: 0 ≤ a ≤ 8.

326. Запишемо двоцифрове число у вигляді 10x + у, де x — число десятків, у — число одиниць. За умовою задачі x = у - 1, тоді маємо: 45 < 10(y - 1) + у < 66.

Отже, у = 6, тoді x = 6 - 1 = 5, і маємо число 56.

Відповідь: 56.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.