Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§ 11. Теорема косинусів

Початковий рівень

492. Правильними є рівності: 2) і 4).

Середній рівень

ABCD — паралелограм; АВ = 4 см; AD = 5 см; ∠A = 60°, тоді ∠B = 180° - 60° = 120°.

501. Найбільший кут лежить навпроти найбільшої сторони. Отже, ∠B — найбільший.

502. Найменша сторона трикутника дорівнює 4 см. Тому кут α, протилежний стороні 4 см, — найменший.

Тоді α = 30°

503. Знайдемо косинус найбільшого кута α даного трикутника.

α — гострий. Даний трикутник — гострокутний.

α - прямий. Даний трикутник — прямокутний.

α - тупий. Даний трикутник — тупокутний.

504. Знайдемо косинус найбільшого кута трикутника.

α — тупий. Даний трикутник — тупокутний.

α — прямий. Даний трикутник — прямокутний.

α — гострий. Даний трикутник — гострокутний.

507. Нехай m — медіана, проведена до сторони 26 см, тоді

Отже, m = 13 см.

508. m — медіана, проведена до сторони 5 см.

Достатній рівень

Нехай ВС = х см, тоді АС = х + 3 (см).

За теоремою косинусів:

— не є розв’язком задачі.

ВС = 5 см, АС = 5 + 3 = 8 см.

Р = 7 + 3 + 8 = 20 (см).

510. Нехай х см — одна сторона, тоді (х + 4) см — друга. За теоремою косинусів:

— не є розв’язком задачі.

6 см — одна сторона; 6 + 4 = 10 см — друга сторона.

Р = 6 + 10 + 14 = 30 (см).

511. Нехай 3х і 5х см — дві сторони трикутника, між якими кут 120°. Тоді третя сторона дорівнює

За умовою задачі периметр дорівнює 30 см. Тоді 3х + 5х + 7х = 30; 15х = 30; х = 2, тоді 3 ∙ 2 = 6 см, 5 ∙ 2 = 10 см, 7 ∙ 2 = 14 см — сторони трикутника.

512. Нехай 5x i 8x — сторони трикутника, тоді третя сторона

Тому 5 ∙ 3 = 15 (см), 8 ∙ 3 = 24 (см), 7 ∙ 3 = 21 (см) — сторони трикутника.

Нехай третя сторона х см, тоді за теоремою косинусів:

Отже, третя сторона трикутника 5 см або З см.

514. х — невідома сторона, тоді

або х = -1 — не є розв’язком задачі.

7 см — третя сторона трикутника.

515. Нехай 4х і 7х — діагоналі паралелограма, тоді 16х2 + 49х2 = 2 ∙ (72 + 92); 65х2 = 260; х2 = 4; х = 4 або х = -4 — не є розв’язком задачі.

Тоді 4 ∙ 4 = 16 (см), 7 ∙ 4 = 28 см) — діагоналі паралелограма.

516. Нехай 2х і 3х — сторони паралелограма. Тоді 2(4х2 + 9х2) = 172 + 192; 26х2 = 289 + 361; 24х2 = 650; х2 = 25; х = 5 або х = -5 — не є розв’язком задачі.

Сторони паралелограма: 2 ∙ 5 = 10 см, 3 ∙ 5 = 15 см.

517. Нехай одна сторона паралелограма хсм, а друга (х + 1) см. Тоді

— не є розв’язком задачі.

6 см — одна сторона паралелограма; 6 + 1 = 7 см — друга сторона паралелограма.

Р = (6 + 7) ∙ 2 = 26 см.

518. х см і (х + 2) см — шукані діагоналі. Тоді

не є розв’язком задачі.

12 см — одна діагональ паралелограма; 12 + 2 = 14 см — друга діагональ паралелограма.

У ΔABC: АВ = ВС = 4 см; АК — медіана, АК = 3 см; ВК = 2 см.

Тоді з ΔАВС:

Нехай ΔABC — даний, у якого АВ = 7 см; ВС = 9 см; ВК — медіана, ВK = 4 см.

Нехай АК = х см, тоді АС = 2х см.

— не являється розв’язком задачі.

Отже, АС = 2х = 2 ∙ 7 = 14 (см).

521. За теоремою косинусів: а2 = b2 + c2 - 2bc ∙ cos ∠A.

Якщо для ΔАВС виконується рівність а2 = b2 + с2 - bс, то 2 cos ∠A = 1, тоді cos ∠A = 1/2, звідси ∠A = 60°.

522. За теоремою косинусів: b2 = а2 + с2 - 2ас cos ∠B, а за умовою b2 = а2 + с2 + ас, звідси -2 cos ∠B = 1; cos ∠B = -1/2, тоді ∠B = 120°.

523. Нехай х — одна із стороні, тоді друга (23 - х). Тоді за теоремою косинусів:

Якщо одна сторона 15 см, то інша сторона 8 см.

Отже, 15 см і 8 см — шукані сторони.

Нехай х, х – 1 і х + 1 см — шукані сторони. За теоремою косинусів:

Високий рівень

Третя сторона с:

1) Якщо cos α = 0,8, то

2) якщо cos α = -0,8, то

Задача має розв’язки.

AK — медіана, проведена до сторони ВС.

не є розв язком задачі.

Отже, ВС= 14 см. P = 7 + 11 + 14 = 32 (см).

528. Нехай медіана трикутника 2х см, а сторона 7х см. Тоді

— не е розв’язком задачі.

Тоді 7х = 7 ∙ 2 = 14 (см) — третя сторона трикутника.

Р = 7 + 9 + 14 = 30 (см).

531. Нехай CD — шукана медіана, О — точка перетину медіан.

Тоді

У ΔАВО: ОD — медіана, тоді

Так як ОD = 1/3СD, то

Нехай АВ = х.

Якщо ∠A = 60°, то ∠B = 120°. З ΔАВС:

Вправи для повторення

АВ — діаметр, СD — хорда, AB ∩ CD = К; АВ ⊥ СD; KВ : АК = 1 : 9.

Нехай КВ = х, тоді АK = 9х, d = х + 9х = 10х, тоді

Якщо СD ⊥ d, то СK = KD = 30 : 2 = 15 (см).

ΔАСВ — прямокутний; СK2 = АK ∙ KВ; 9х ∙ х = 152; 9х2 = 225; х2 = 25; х = 5 або х = -5 — не є розв’язком задачі.

Отже, х = 5, тоді r = 5 ∙ 5 = 25 (см).

У ΔАВС: АВ = ВС; ВК ⊥ АС;

РΔАВС = 40 см.

Якщо PΔАВС = 40 см, то АВ + АK = 20 см. Нехай АK = х см, тоді АВ = (20 - х) см.

ΔAВК — прямокутний. АK2 + KВ2 = АВ2; х2 + 102 = (20 - х)2; х2 + 100 = 400 - 40х + х2; 40х = 300; х = 7,5, тоді АK = 6,5 см; АС = 15 (см).

ΔABC — прямокутний;

CM — медіана, CK ⊥ AB.

З ΔMCK: ∠CMK = 90° - α. ∠CMK — зовнішній кут рівнобедреного трикутника АМС. Звідси тоді

Розв’яжіть та підготуйтесь до вивчення нової теми

538. Так як чотирикутник ABCD вписано в коло, то ∠A + ∠C = 180°.

Звідси ∠A = 180° - ∠C = 180° - 130° = 50°.

539. ∠AMB = ∠AQB (як вписані кути, що спираються на одну дугу). Тому ∠AMB = 40°.

540. ВС = АВ ∙ sin α (з прямокутного ΔАВС (∠C = 90°)). АВ = 2 ∙ ОВ = 2R. Тоді ВС = 2R sin α.

Дійсно:



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити