Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік
Розділ 3. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
§ 12. Теорема синусів
Початковий рівень
543. Правильні рівності: 2 і 4.
Середній рівень
За т. синусів: Звідси
Нехай ΔABC: ∠A = 30°; BC — сторона проти кута 30°.
За наслідком т. синусів:
Отже, ВС = К.
558. а = 18 см — катет; β = 30° — прилеглий кут, тоді α = 90° - 30° = 60° — протилежний кут
Достатній рівень
тоді ∠B = 45°.
563. Нехай сторона a = √2, а R = 1.
Тоді Отже, ∠A = 45°.
564. тому
Звідси
Коло описане навколо трапеції ABCD є описаним колом навколо ΔАВС. Тоді
Звідси
566. Знайдемо третю сторону трикутника.
Тоді
567. Знайдемо третю сторону трикутника.
Тоді
Високий рівень
Нехай бічна сторона АВ = x см, тоді основа АС = (x + 2) см; ∠A = ∠C = 30°; ∠B = 180° - (30° + 30°) = 120°.
За т. синусів:
Нехай AB = x см, тоді АВ = (x + 1) см.
За теоремою синусів:
570. Нехай третя сторона трикутника с = √3х, а радіус описаного кола х см. Тоді α — кут, протилежний стороні √3х, звідси
тоді α = 60° або 120°.
Задача має 2 розв’язки.
ABCD — даний паралелограм; АС = d; ∠BAC = α; ∠CAD = β, тоді ∠BCA = β (внутрішні різносторонні при ВС || AD і січній АС).
У ΔАВС: ∠ВАС = α; ∠BCA = β;
У ΔABC: AB = BC; ∠A = ∠C = α; AC = m; AK — бісектриса ∠A.
У ΔАKС: AC = m; ∠C = α; ∠KAC = α/2.
За теоремою синусів:
ΔАСВ: AB = c; ∠A = α, тоді AC = c cos α; CK — бісектриса ∠B; ∠ACK = 45°; ∠AKC = 180° - (45° + α).
З ΔACK:
Вправи для повторення
У ΔABC: ∠A = 37°; ∠C = 62°.
∠BAM; ∠CBK; ∠BCD — зовнішні кути ΔABC.
∠A < ∠B в 2 рази. Отже, ∠A i ∠B — сусідні.
Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = 2x°.
x° + 2x° = 180°; 3x = 180°; x = 60°.
∠A = 60°; ∠B = 120°. Менша діагональ паралелограма лежить проти гострого кута.
З ΔАВD:
ΔАОD — прямокутний, AO = d; AD = a; ∠AOD = 90°;
Тоді
У ΔАВС: CB = a; AC = b; ∠C = 90°; СК ⊥ AB. Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 90° - α.
ΔСВК — прямокутний; ВК = СВ cos(90° - α) = СВ sin α = a sin α; СК = СВ sin(90° - α) = СВ cos α = a cos α.
ΔАСК — прямокутний; СК = АС sin α = b sin α; АВ = АС cos α = b cos α.
тоді ∠A = 60°.