Розділ 3. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

§ 12. Теорема синусів

Початковий рівень

543. Правильні рівності: 2 і 4.

Середній рівень

За т. синусів: Звідси

Нехай ΔABC: ∠A = 30°; BC — сторона проти кута 30°.

За наслідком т. синусів:

Отже, ВС = К.

558. а = 18 см — катет; β = 30° — прилеглий кут, тоді α = 90° - 30° = 60° — протилежний кут

Достатній рівень

тоді ∠B = 45°.

563. Нехай сторона a = √2, а R = 1.

Тоді Отже, ∠A = 45°.

564. тому

Звідси

Коло описане навколо трапеції ABCD є описаним колом навколо ΔАВС. Тоді

Звідси

566. Знайдемо третю сторону трикутника.

Тоді

567. Знайдемо третю сторону трикутника.

Тоді

Високий рівень

Нехай бічна сторона АВ = x см, тоді основа АС = (x + 2) см; ∠A = ∠C = 30°; ∠B = 180° - (30° + 30°) = 120°.

За т. синусів:

Нехай AB = x см, тоді АВ = (x + 1) см.

За теоремою синусів:

570. Нехай третя сторона трикутника с = √3х, а радіус описаного кола х см. Тоді α — кут, протилежний стороні √3х, звідси тоді α = 60° або 120°.

Задача має 2 розв’язки.

ABCD — даний паралелограм; АС = d; ∠BAC = α; ∠CAD = β, тоді ∠BCA = β (внутрішні різносторонні при ВС || AD і січній АС).

У ΔАВС: ∠ВАС = α; ∠BCA = β;

У ΔABC: AB = BC; ∠A = ∠C = α; AC = m; AK — бісектриса ∠A.

У ΔАKС: AC = m; ∠C = α; ∠KAC = α/2.

За теоремою синусів:

ΔАСВ: AB = c; ∠A = α, тоді AC = c cos α; CK — бісектриса ∠B; ∠ACK = 45°; ∠AKC = 180° - (45° + α).

З ΔACK:

Вправи для повторення

У ΔABC: ∠A = 37°; ∠C = 62°.

∠BAM; ∠CBK; ∠BCD — зовнішні кути ΔABC.

∠A < ∠B в 2 рази. Отже, ∠A i ∠B — сусідні.

Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = 2x°.

x° + 2x° = 180°; 3x = 180°; x = 60°.

∠A = 60°; ∠B = 120°. Менша діагональ паралелограма лежить проти гострого кута.

З ΔАВD:

ΔАОD — прямокутний, AO = d; AD = a; ∠AOD = 90°;

Тоді

У ΔАВС: CB = a; AC = b; ∠C = 90°; СК ⊥ AB. Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 90° - α.

ΔСВК — прямокутний; ВК = СВ cos(90° - α) = СВ sin α = a sin α; СК = СВ sin(90° - α) = СВ cos α = a cos α.

ΔАСК — прямокутний; СК = АС sin α = b sin α; АВ = АС cos α = b cos α.

тоді ∠A = 60°.