Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 3. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

Вправи для повторення до розділу 3

До § 11

стор. 133

661. Правильні рівності: 1) і 4).

663. Середній за величиною кут γ — кут, протилежний стороні 7 см.

ABCD — трапеція, ВС || AD; ВС = 6 см; AD = 16 см; AD = 10 см; ∠ABC = 120°, тоді ∠BAD = 60°.

З ΔABC:

З ΔABD:

У ΔABC: AB = ВС = 3 CM; ∠A = ∠C = 30° тоді

У ΔАВС: АВ = ВС = 8 см; АС = 6 см; АК — медіана.

668. Нехай шукані сторони дорівнюють √3 і 2х, тоді за т. косинусів:

не є розв’язком задачі.

Тоді шукані сторони 5√3 см і 10 см.

Нехай третя сторона трикутника х см, тоді

не є розв’язком задачі. Отже, ВС = 10 см, Р = 6 + 14 + 10 = 30 (см).

670. Нехай сторони трикутника 10x, 14x, 19x. Знайдемо косинус найбільшого (протилежного стороні 19X) кута трикутника.

Отже, α — тупий кут, тому даний трикутник — тупокутний.

(за т. косинусів), а за умовою тому

звідси ∠С = 135°.

672. Знайдемо третю сторону с.

mс — медіана, проведена до сторони с.

Якщо середня лінія трикутника 3 см, то сторона трикутника, яка паралельна середній лінії, дорівнює 6 см.

Нехай третя сторона трикутника дорівнює х см, тоді за т. косинусів:

— не є розв’язком задачі.

Отже, шукані сторони трикутника 6 см і 3 + √22 см.

У ΔАВС: АВ = 3 см; ВС = 4 см; АС = 6 см; ВК — медіана.

З ΔАВК, в якому АВ = 3 см; АК = 4 см знайдемо cos ∠ABK:

675. ΔABC — рівнобедрений; ВМ ⊥ АС, ВМ — висота і медіана.

З ΔВМС, у якого знайдемо ВС:

Так як АК — медіана, то

У ΔAKC:

За т. косинусів:

У ΔАВС; АВ = c; BC = a; AC = b. AK ⊥ CB, тоді CK — проекція b на a.

ΔACK — прямокутний, CK = AC cos ∠C.

cos ∠C знайдемо з ΔABC:

677. Навколо чотирикутника ABCD можна описати коло.

Тоді ∠B + ∠D = ∠A + ∠C = 180°.

Нехай ∠В = α, тоді ∠D = 180° - α.

З ΔABC:

3 ΔACD:

Звідси

звідси аналогічно

Тоді

679. (значення ma, mb і mc візьмемо з № 678).

— ця рівність справедлива для трикутника, у якого сторони а і b утворюють кут 90°, тобто, трикутник — прямокутний.

До § 12

684. α — кут при вершині рівнобедреного трикутника,

685. 1х, 2х, 3х — кути трикутника.

1х + 2х + 3х = 180°; 6х = 180°; х = 30°.

30°, 60°, 90° — кути трикутника.

687. 1) Нехай тоді

Звідси

Тому — можливо.

2) нехай тоді звідси — неможливо.

Тому — неможливо.

688. Нехай R = x, тоді звідси α = 60° або α = 120°.

Аналогічно

У ΔАВС: AK — бісектриса ділить сторону BC на відрізки ВК і КС.

звідси

звідси

Нехай у ΔАВС: AB = 2 см; BC = 4 см; AC = 3 см. Коло проходить через точки В, С і К, де К — середина АВ, ВК = 1 см.

З ΔАВС:

Тоді з ΔКВС

З ΔКВС: тоді

У ΔАВС:

АK — бісектриса, тоді

У ΔАKС: тоді

звідси:

У квадрата ABCD: AB = a. O — точка перетину діагоналей, K — с середина AD. Коло проходить через точки В, О, К.

До § 13

695. І спосіб. У ΔСВА:

II спосіб. З ΔАВС: звідси

такого бути не може.

Отже, трикутника з такими даними не існує.

У трапеції ABCD: AB = CB = 10 CM; ∠BCA = 40° і ∠ACD = 60°.

∠BCA = ∠CAB = 40° (внутрішні різносторонні при ВС || АВ і січній АС).

У ΔACD: ∠D = 180° - (40° + 60°) = 80°.

звідси

звідси ∠BAC = 80° - ∠CAD = 80° - 40° = 40°.

Тоді у ΔABC: ∠BAC = ∠BCA = 40°, тому ΔABC — рівнобедрений, AB = BC = 10 см.

Отже, BC = 10 см; AC = 15 см; AD = 13,5 см.

У ΔABC: AM — медіана; BC = 12 см; AM = 10 см; AH — висота, AH = 6 см.

ΔАМH — прямокутний;

Отже, H — на продовженні сторони MC. CH = МH - МС = 8 - 6 = 2 (см).

ΔACH — прямокутний;

ΔАВН — прямокутний;

З ΔСВН:

З ΔАСH:

Тоді

Отже, кути трикутника: ∠А = 45°; ∠В = 27°; ∠C = 108°.

АВ ≈ 13,4 см; АС ≈ 6,3 см; ВС = 12 см.

ΔАВС — замкнутий маршрут літака.

∠А = 100°; ∠В = 50°, тоді ∠С = 30°.

Відстань АВ літак долає за 1 год. Отже, ці відстань є швидкістю літака.

Нехай АВ = х, тоді

Весь маршрут: x + 1,53x + 1,9696x ≈ 4,5x літак долає за 4,5x : x = 4,5 год = 4 год 30 хв.

З пункту А в пункт С є два маршрути: 1) АВ + ВС; 2) АС.

Довжина 1 маршруту: АВ + ВС = АВ + 1,3АВ.

Довжина 2 маршруту: АС = 2,2АВ.

Нехай по шосе швидкість автомобіля х км/год. Тоді по ґрунтовій дорозі x/2 км/год. На 1 маршрут водій витрачає

а на 2 маршрут — тому маршрут необхідно обирати через пункт В.

До § 14

701. Мал. 131:

Мал. 132:

702. Якщо зовнішній кут при вершині А дорівнює 30°, то ∠A = 180° - 30° = 60°.

703. S = a2 sin α, звідси тодi α = 30°.

705. Середня за довжиною висота трикутника — де висота, проведена до сторони 28 см.

У паралелограмі ABCD: ВС = AD = 16 см; АВ = CD = 10 см. СК ⊥ АВ; СМ ⊥ AD; ∠KCM = 120°; ∠BCM = 90°, тоді ∠KCB = 120° - 90° = 30°.

З ΔКВС: ∠KBC = 90° - 30° = 60°, тоді ∠BAD = 60°, бо ∠KBC = ∠CAD (відповідні при ВС || AD і січній КА).

З ΔABK — прямокутного, у якого BK = 6 см; АК = 12 см;

709. Нехай одна сторона трикутника х см, тоді друга сторона 2х см.

(8√3 см2 за умовою).

х2 = 16; х = 4 або х = -4 — не є розв’язком задачі. Отже, одна сторона 4 см, друга сторона 8 см, кут між ними 60°, тоді третя сторона

а за умовою S = 3√3, тому звідси γ = 60° або γ = 120°.

Задача має 2 розв’язки:

1) Якщо γ = 60°, то

2) Якщо γ = 120°, то

У ΔАВС: АВ = 3 см; АС = 4 см; AM — бісектриса; ∠BAM = ∠САМ = α.

α — кут, протилежний стороні довжиною √7 см.

714. Якщо 2 кола мають зовнішній дотик, то відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусі в цих кіл. Тоді у трикутника з вершинами в центрах кіл сторони:

У ΔАВС: АВ = 50 см; АС = 58 см; ВС = 12 см. О — центр вписаного кола.

— радіус вписаного кола.

У паралелограма ABCD: AD = 5 см; AC = 74 см; BD = 40 см.

Нехай у трапеції ABCD: AB = 13 см; BC = 4 см; CD = 20 см; AD = 25 см. Проведемо BK || CD. Тоді BCDK — паралелограм; BK = CD = 20 см; KD = BC = 4 см. Тоді AK = AD - KD = 25 - 4 = 21 см.

У ΔABK: AB = 13 см; ВK = 20 см;

BK ⊥ AD; BM — висота трапеції і трикутника АВК, проведена до сторони АК.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити