Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 4. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

§ 15. Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Початковий рівень

718. Правильні многокутники: 2) рівносторонній трикутник; 5) квадрат.

Середній рівень

723. 1) Правильне твердження; 2) неправильне твердження.

724. 1) Правильно; 2) неправильно; 3) правильно: серед прямокутників є правильний — це квадрат; 4) правильно.

725. 1) Неправильно; 2) неправильно (наприклад ромб — неправильний чотирикутник, хоча його сторони рівні між собою, але не рівні кути між ними); 4) правильно.

сторони має многокутник.

732. Центральний кут буде найбільшим у многокутника з найменшою кількістю сторін, тобто у трикутника. — найбільший центральний кут.

Будуємо коло радіуса 4 (O — центр). На колі виберемо довільну точку А. З точки А, як з центра кола, ставимо засічки на даному колі. Це т. А1 і т. А2, радіус кола з центром А дорівнює ОА. Далі послідовно ставимо засічки на колі з центром А1 і т. д. Шість точок, які одержимо на колі, з’єднуємо послідовно. Одержимо шуканий шестикутник, вписаний в коло.

739. Будуємо коло радіусом 3 см. Впишемо в коло правильний шестикутник (№ 738). Вершини з’єднаємо через одну.

Одержимо правильний трикутник, вписаний в коло.

Будуємо коло, радіус якого 2,5 см. В даному колі проведемо два взаємно перпендикулярних діаметра АВ і CD. ABCD — шуканий квадрат, вписаний в коло.

сторін має правильний многокутник.

вершин має правильний многокутник.

Достатній рівень

743. Нехай у многокутника n вершин, тоді внутрішній кут його дорівнює а зовнішній —

За умовою звідси

Отже, многокутник має 9 вершин.

744. Нехай многокутник має n сторін, тоді зовнішній кут а внутрішній —

За умовою

сторін має многокутник.

745. Якщо а3 = 2√3, то

Впишемо в коло квадрат (№ 740) ABCD. З т. О побудуємо бісектрису кутів ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠AOD. Ці бісектриси перетнуть коло в точках М, N, P, K.

AMBNCPDK — шуканий восьмикутник.

Впишемо у коло шестикутник (№ 738) ABCDMN, О — центр кола. Проведемо бісектриси ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOM, ∠MON, ∠MOA до перетину з колом. К, P, E, F, Q, R — точки перетину бісектрис с колом.

AKBPCEDFMQNR — шуканий дванадцятикутник.

Нехай АВ — сторона правильного многокутника. ОА = R = 12; OK ⊥ АВ; ОК = r = 6√2 (см).

З ΔАОК:

Тоді

тоді ∠AOB = 45° ∙ 2 = 90°.

360°: 90° — 4 сторони мас многокутник, його сторона дорівнює 12√2 (см).

Нехай АВ — сторона многокутника; О — центр кола, ОА = R = 4; ОK ⊥ AB; ОK = 2√3 см.

З ΔАОК — прямокутного:

Тоді ∠AOB = 2 ∙ 30° = 60°.

сторін має многокутник.

Тоді АВ = а6 = R = 4 (см) — сторона многокутника.

Нехай АВ — сторона правильного восьмикутника. Навколо восьмикутника, так як він правильний, можна описати коло. О — центр кола. ОА = OB = R;

За т. косинусів з ΔАОВ:

або R = -4 — не є розв’язком задачі.

Навколо правильного дванадцятикутника можна описати коло. Нехай АВ — сторона даного дванадцятикутника, О — центр описаного кола. ОА = OB = R;

З ΔАОВ за т. косинусів:

або R = -3 — не є розв’язком задачі.

ABCD — квадрат, лінії KM, PZ, ... відрізають кути у квадрата так, що КМ = МP = PZ = ...

Нехай МP = x, тоді

ΔКАМ — прямокутний, рівнобедрений,

Отже, сторона восьмикутника √2 (см).

Вправи для повторення

AB i CD — хорди, AB ∩ CD = К.

АК ∙ КВ = СК ∙ KD.

1) Якщо AK = КВ, то АК2 = 4 ∙ 9 = 36.

АК = 6 см, тоді КВ = 6 см.

2) Нехай АК > КВ на 16 см. КВ = х см, АК = (х + 16) см.

х ∙ (х + 16) = 4 ∙ 9; х2 + 16х - 36 = 0; х = 2, х = -18 — не є розв’язком задачі.

Тоді КВ = 2 см, АК = 18 см.

ABCD — трапеція. К — точка дотику бічної сторони АВ до кола. ВК = 4 см; АК = 16 см.

Якщо в трапецію можна вписати коло, то

Побудуємо BP ⊥ AD; BNMP — прямокутник, РМ = ВN = 4 см. Тоді АР = 16 - 4 = 12 (см).

ΔАВР — прямокутник;

Цікаві задачі для неледачих

ΔАВС — прямокутний; АК, ВР, СN — медіани. О — точка перетину медіан.

Нехай СК = х; СР = у, тоді СВ = 2х; AС = 2у. З ΔАСК: (2у)2 + у2 = АК2; з ΔРСВ: у2 + (2х)2 = РВ2.

Маємо систему рівнянь:

ΔРСК — прямокутний, РК2 = х2 + у2 = 1296 + 729 = 2025, тоді РК = 45 (см).

РК — середня лінія ΔАСВ; РК || АВ і С1: тому R = РК = 45 (см) — радіус кола, описаного навколо ΔАВС.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити