АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 10

Тема. Властивості тригонометричних функцій


Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а—г) за рисунками, зробленими до уроку.

II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.

Властивості вивчених тригонометричних функцій зручно за­писати в таблицю 5. При заповненні таблиці мож­ливі такі коментарі:

1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки , оди­ничного кола.

Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = , n  Ζ.

Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = πn, n  Ζ.

2. Оскільки sin х і cos х — це ордината і абсциса точки  одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса є про­міжок [-1; 1].

Оскільки tg α — це ордината точки  лінії тангенсів, то обла­стю значень тангенса є R.

Оскільки ctg α — це абсциса точки  лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.

3. Оскільки точки Рα і Р-α одиничного кола (рис. 75) симет­ричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і про­тилежні ординати, тобто sin (-α) = -sin α; cos (-α) = cos α.

 

      




Оскільки точки Тα і Τ-α симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-α) = -tg α.

Оскільки точки Qα і Q-α симетричні (рис. 77) відносно точки  лінії котангенсів, то ctg (-α) = - ctg α.

 

Можна довести аналітичне, що tg α і ctg α непарні:

,

.

4. Див. урок 8.

5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, π, 2π, 3π і т. д., а також на кути -π, -2π... Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n  Ζ.

 

6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; —1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути ;  + π;  + 2π і т.д., а також на кути  -  ; -  + π; -  + 2π, тобто на кути +2πk, kZ (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х =  + πk, k Ζ.


 

 

7. Див. урок 9.

8. Якщо кут α змінюється від - до , то ордината точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто sin α зростає на проміжку , враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2π, робимо висновок, що sin α зростає на проміжку , nΖ (рис. 80). Якщо кут α змінюється від  до , то ордината точки Ρα зменшується від 1 до -1, тобто sin α спадає на проміжку . Враховуючи, що найменший період синуса є 2π, робимо висновок, що sin α спадає на про­міжках , nΖ.



Якщо кут α змінюється від 0 до π, то абсциса точки Рα змен­шується від 1 до -1, тобто cos α спадає на проміжку [0; π], якщо кут α змінюється від -π до 0, то абсциса точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто cos α зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2π, робимо висновок, що фун­кція cos α спадає на проміжках [2πn; π + 2πn] і зростає на проміжках [-π + 2πn;n], n  Ζ.


При зміні кута α від - до  ордината точки Тα лінії тангенсів збіль­шується від - до +, тобто tg α зростає на проміжку . Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є π, робимо висновок, що tg α зростає на кожному з проміжків , πΖ (рис. 82).



При зміні кута α від 0 до π абсциса точки Qα лінії котанген­сів зменшується від + до -, тобто ctg α спадає на проміжку (0; π). Враховуючи, що найменший додатний період котанген­са є π, робимо висновок, що ctg α спадає на кожному з проміж­ків (πn; π + πn), nΖ.

11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути  + 2πn. Отже, sin x = 1, якщо x = + 2πn, nΖ.

Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2πn, nΖ. Отже, cos x = 1, якщо x = 2πn, nΖ.

 

 

 

12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут -  + 2πn, nΖ. Отже, sin x = -1, якщо x = -  + 2πn, nΖ. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки Ρα поворотом (рис. 87) на кут π + 2πn, nΖ. Отже, cos x = -1, якщо х = π + 2πn, nΖ.

 

 

 

III. Застосування властивостей тригонометричних функцій до розв'язування вправ

Виконання вправ

1. Використовуючи властивості функції у = sin x, порівняйте числа:

a) sin  і sin ;  б) sin  і sin ;  в) sin 3 і sin 4;   г) sin 1° і sin 1.

Відповідь: a) sin  > sin ;  б)  sin  > sin ; в) sin 3 > sin 4;  г) sin 1° < sin 1.

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

a) sin 20°; sin 85°; sin 30°;

б) sin 0,2; sin 0,3; sin 0,1;

в) sin 2; sin (-2); sin (-1); sin 1.

Відповідь: a) sin 20°; sin 30°; sin 85°; б) sin 0,1; sin 0,2; sin 0,3;  в) sin (-2); sin (-1); sin 1; sin 2.

3. Використовуючи властивості функції у = cos x, порівняйте числа:

a)   cos 2,52 і cos 2,53;

b)  б) cos (-4,1) і cos (-4);

c)   в) cos 1 і cos 3;

d)  г) cos 4 і cos 5.

Відповідь: a) cos 2,52 > cos 2,53; 6) cos (-4,1) > cos (-4);  в) cos 1 > cos 3; г) cos 4 < cos 5.

4. Розташуйте числа в порядку зростання:

a) cos 13°; cos 53°; cos 23°;  

б) cos 0,3; cos 0,6; cos 0,9;

в) cos 2; cos 4; cos 6.

Відповідь: a) cos 53°; cos 23°; cos 13°; б) cos 0,9; cos 0,6; cos 0,3; в) cos 4; cos 2; cos 6.

5. Використовуючи властивості функції у = tg x, порівняйте чис­ла:

а) tg (-2,6π) і tg (-2,61π); 

б) tg 2,7π і tg 2,75π;

в) tg 2 і tg 3;

г) tg 1 і tg 1,5.

Відповідь: а) tg (-2,6π) > tg (-2,61π); б) tg 2,7π < tg 2,75π; в) tg 2 < tg 3; г) tg 1 < tg 1,5.

6. Розташуйте числа в порядку зростання:

a) tg 25°; tg 65°; tg 15°;    

б) tg (-1); tg (-2); tg (-3);    

в) tg (-5); tg (-3); tg 3.

Відповідь: а) tg 15°; tg 25°; tg 65°; б) tg (-1); tg (-3); tg (-2); в) tg 3; tg (-3); tg (-5).

 

IV. Підсумок уроку

 

V. Домашнє завдання

Розділ І § 7. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 52—56, Вправи № 18 (а—г), № 35 (1—4). Повторити розділ І §1-6.

 

Таблиця 5

 





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити