АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 10
Тема. Властивості тригонометричних функцій
Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а—г) за рисунками, зробленими до уроку.
II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.
Властивості вивчених тригонометричних функцій зручно записати в таблицю 5. При заповненні таблиці можливі такі коментарі:
1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки , одиничного кола.
Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = , n
Ζ.
Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = πn, n Ζ.
2. Оскільки sin х і cos х — це ордината і абсциса точки одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса є проміжок [-1; 1].
Оскільки tg α — це ордината точки лінії тангенсів, то областю значень тангенса є R.
Оскільки ctg α — це абсциса точки лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.
3. Оскільки точки Рα і Р-α одиничного кола (рис. 75) симетричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і протилежні ординати, тобто sin (-α) = -sin α; cos (-α) = cos α.
Оскільки точки Тα і Τ-α симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-α) = -tg α.
Оскільки точки Qα і Q-α симетричні (рис. 77) відносно точки лінії котангенсів, то ctg (-α) = - ctg α.
Можна довести аналітичне, що tg α і ctg α непарні:
,
.
4. Див. урок 8.
5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, π, 2π, 3π і т. д., а також на кути -π, -2π... Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n Ζ.
6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; —1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути ;
+ π;
+ 2π і т.д., а також на кути -
; -
+ π; -
+ 2π, тобто на кути
+2πk, k
Z (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х =
+ πk, k
Ζ.
7. Див. урок 9.
8. Якщо кут α змінюється від - до
, то ордината точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто sin α зростає на проміжку
, враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2π, робимо висновок, що sin α зростає на проміжку
, n
Ζ (рис. 80). Якщо кут α змінюється від
до
, то ордината точки Ρα зменшується від 1 до -1, тобто sin α спадає на проміжку
. Враховуючи, що найменший період синуса є 2π, робимо висновок, що sin α спадає на проміжках
, n
Ζ.
Якщо кут α змінюється від 0 до π, то абсциса точки Рα зменшується від 1 до -1, тобто cos α спадає на проміжку [0; π], якщо кут α змінюється від -π до 0, то абсциса точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто cos α зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2π, робимо висновок, що функція cos α спадає на проміжках [2πn; π + 2πn] і зростає на проміжках [-π + 2πn; 2πn], n Ζ.
При зміні кута α від - до
ордината точки Тα лінії тангенсів збільшується від -
до +
, тобто tg α зростає на проміжку
. Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є π, робимо висновок, що tg α зростає на кожному з проміжків
, π
Ζ (рис. 82).
При зміні кута α від 0 до π абсциса точки Qα лінії котангенсів зменшується від + до -
, тобто ctg α спадає на проміжку (0; π). Враховуючи, що найменший додатний період котангенса є π, робимо висновок, що ctg α спадає на кожному з проміжків (πn; π + πn), n
Ζ.
11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути + 2πn. Отже, sin x = 1, якщо x =
+ 2πn, n
Ζ.
Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2πn, nΖ. Отже, cos x = 1, якщо x = 2πn, n
Ζ.
12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут - + 2πn, n
Ζ. Отже, sin x = -1, якщо x = -
+ 2πn, n
Ζ. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки Ρα поворотом (рис. 87) на кут π + 2πn, n
Ζ. Отже, cos x = -1, якщо х = π + 2πn, n
Ζ.
III. Застосування властивостей тригонометричних функцій до розв'язування вправ
Виконання вправ
1. Використовуючи властивості функції у = sin x, порівняйте числа:
a) sin і sin
; б) sin
і sin
; в) sin 3 і sin 4; г) sin 1° і sin 1.
Відповідь: a) sin > sin
; б) sin
> sin
; в) sin 3 > sin 4; г) sin 1° < sin 1.
2. Розташуйте числа в порядку зростання:
a) sin 20°; sin 85°; sin 30°;
б) sin 0,2; sin 0,3; sin 0,1;
в) sin 2; sin (-2); sin (-1); sin 1.
Відповідь: a) sin 20°; sin 30°; sin 85°; б) sin 0,1; sin 0,2; sin 0,3; в) sin (-2); sin (-1); sin 1; sin 2.
3. Використовуючи властивості функції у = cos x, порівняйте числа:
a) cos 2,52 і cos 2,53;
b) б) cos (-4,1) і cos (-4);
c) в) cos 1 і cos 3;
d) г) cos 4 і cos 5.
Відповідь: a) cos 2,52 > cos 2,53; 6) cos (-4,1) > cos (-4); в) cos 1 > cos 3; г) cos 4 < cos 5.
4. Розташуйте числа в порядку зростання:
a) cos 13°; cos 53°; cos 23°;
б) cos 0,3; cos 0,6; cos 0,9;
в) cos 2; cos 4; cos 6.
Відповідь: a) cos 53°; cos 23°; cos 13°; б) cos 0,9; cos 0,6; cos 0,3; в) cos 4; cos 2; cos 6.
5. Використовуючи властивості функції у = tg x, порівняйте числа:
а) tg (-2,6π) і tg (-2,61π);
б) tg 2,7π і tg 2,75π;
в) tg 2 і tg 3;
г) tg 1 і tg 1,5.
Відповідь: а) tg (-2,6π) > tg (-2,61π); б) tg 2,7π < tg 2,75π; в) tg 2 < tg 3; г) tg 1 < tg 1,5.
6. Розташуйте числа в порядку зростання:
a) tg 25°; tg 65°; tg 15°;
б) tg (-1); tg (-2); tg (-3);
в) tg (-5); tg (-3); tg 3.
Відповідь: а) tg 15°; tg 25°; tg 65°; б) tg (-1); tg (-3); tg (-2); в) tg 3; tg (-3); tg (-5).
IV. Підсумок уроку
V. Домашнє завдання
Розділ І § 7. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 52—56, Вправи № 18 (а—г), № 35 (1—4). Повторити розділ І §1-6.
Таблиця 5