АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 10

Тема. Властивості тригонометричних функцій

Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а—г) за рисунками, зробленими до уроку.

II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.

Властивості вивчених тригонометричних функцій зручно записати в таблицю 5. При заповненні таблиці можливі такі коментарі:

1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки , одиничного кола.

Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = , n Ζ.

Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = πn, n Ζ.

2. Оскільки sin х і cos х — це ордината і абсциса точки одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса є проміжок [-1; 1].

Оскільки tg α — це ордината точки лінії тангенсів, то областю значень тангенса є R.

Оскільки ctg α — це абсциса точки лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.

3. Оскільки точки Рα і Р-α одиничного кола (рис. 75) симетричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і протилежні ординати, тобто sin (-α) = -sin α; cos (-α) = cos α.

Оскільки точки Тα і Τ-α симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-α) = -tg α.

Оскільки точки Qα і Q-α симетричні (рис. 77) відносно точки лінії котангенсів, то ctg (-α) = - ctg α.

Можна довести аналітичне, що tg α і ctg α непарні:

4. Див. урок 8.

5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, π, 2π, 3π і т. д., а також на кути -π, -2π... Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n Ζ.

6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; —1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути ; + π; + 2π і т.д., а також на кути - ; - + π; - + 2π, тобто на кути +2πk, kZ (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х = + πk, k Ζ.

7. Див. урок 9.

8. Якщо кут α змінюється від - до , то ордината точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто sin α зростає на проміжку , враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2π, робимо висновок, що sin α зростає на проміжку , nΖ (рис. 80). Якщо кут α змінюється від до , то ордината точки Ρα зменшується від 1 до -1, тобто sin α спадає на проміжку . Враховуючи, що найменший період синуса є 2π, робимо висновок, що sin α спадає на проміжках , nΖ.

Якщо кут α змінюється від 0 до π, то абсциса точки Рα зменшується від 1 до -1, тобто cos α спадає на проміжку [0; π], якщо кут α змінюється від -π до 0, то абсциса точки Ρα збільшується від -1 до 1, тобто cos α зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2π, робимо висновок, що функція cos α спадає на проміжках [2πn; π + 2πn] і зростає на проміжках [-π + 2πn; 2πn], n Ζ.

При зміні кута α від - до ордината точки Тα лінії тангенсів збільшується від - до +, тобто tg α зростає на проміжку . Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є π, робимо висновок, що tg α зростає на кожному з проміжків , πΖ (рис. 82).

При зміні кута α від 0 до π абсциса точки Qα лінії котангенсів зменшується від + до -, тобто ctg α спадає на проміжку (0; π). Враховуючи, що найменший додатний період котангенса є π, робимо висновок, що ctg α спадає на кожному з проміжків (πn; π + πn), nΖ.

11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути + 2πn. Отже, sin x = 1, якщо x = + 2πn, nΖ.

Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2πn, nΖ. Отже, cos x = 1, якщо x = 2πn, nΖ.

12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут - + 2πn, nΖ. Отже, sin x = -1, якщо x = - + 2πn, nΖ. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки Ρα поворотом (рис. 87) на кут π + 2πn, nΖ. Отже, cos x = -1, якщо х = π + 2πn, nΖ.