УРОК 13

Тема. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і по­ловинного аргументу

Мета уроку: вивчення формул тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел, формул тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу. Фор­мування умінь застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.

І. Перевірка домашнього завдання

Розв'язання вправ, аналогічних до домашніх: вправа № 40 (11), 44 (3).

II. Сприймання і усвідомлення формул суми і різниці двох чисел

1. Розглянемо, як пов'язані косинус різниці двох чисел із сину­сом і косинусом цих самих чисел.

На одиничному колі позначимо точки Рα і Рβ (α > β) проведемо вектори  і , тоді  (соs α; sіn α), (соs β; sіn β) (рис. 101).

Знайдемо скалярний добуток векторів  і , двома способами:

1)  ·  = соs α · соs β + sіn α · sіn β;

2) · = · · соs (α – β) = 1·1соs (α – β) = соs (α – β).

Звідси маємо, що

соs (α – β) = соs α · соs β + sіn α · sіn β.   (1)

Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:

соs (α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β;   (2)

sіn (α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β;   (3)

sіn (α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β;    (4)

                                   (5)

                                  (6)

Змінивши в формулі (1) β на –β і врахувавши, що соs(-β) = соs β, sіn(-β) = -sіnβ, одержимо

соs(α + β) = соs(α - (-β)) = соsα · соs(-β) + sіnα · sіn(-β) = соsα · соsβ – sіnα · sіnβ;

= sinα · cosβ + cosα · sinβ.

Таким чином,

sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β

Змінивши в останній формулі β на – β одержимо:

sin(α - β) = sіn α · соs(-β) + соs α · sіn(-β)

Виведемо формулу тангенса суми чисел:

.

Отже 

Змінивши β на – β, одержимо

Виконання вправ   ____________________

1. Знайдіть значення виразів:

а) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°;       

б) ;

в) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°;      

г) ;

д) ;        

є) .

2. Спростіть вирази:

а) sіn(α + β) – sіn α · соs β;  

б) ;

в) .

Відповідь: а) соs α · sіn β;  б) sіn 2α; в) .

3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn .

Відповідь: а) ; б) tg15° = tg (45° - 30°) = 2 - ; в) 2 - ; г) .

III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу

Демонструється таблиця “Тригонометричні функції подвійного аргументу” (табл. 6).

Таблиця 6

Тригонометричні функції подвійного аргументу sіn 2α = 2sіn α соs α соз 2α = соs2 α - sіn2 α

Коментарі вчителя

Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2α через функції аргументу α.

Скористаємося формулою sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β.

Вважаючи β = α, маємо: sіn 2α = 2sіn α · соs α.

Аналогічно із формули соs(α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β  при α = β одержуємо: соs 2α = соs2 α – sin2 α.

Із формули  при β = α, маємо: .

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) 2sin15° соs15°; 

б) соs215° – sіn215°; 

в) ; 

г) (соs 75° – sіn 75°).

Відповідь: а) ; б)  ; в) ; г) .

2. Обчисліть sіn 2α, якщо а) sin α = ;  < α < π;  б) соs α =  ; π < α < .

Відповідь: а) ; б) .

3. Спростіть:

а) sіn α соs α;      

б) соs α · соs ;    

в) 2соs23α – 1;

г) 1 – 2sin2 5α;    

д) соs 4α + sіn2 2α;        

є) sіn 2α + (sin α – соs α)2.

Відповідь: а) sin2α; б) sіn2α;  в) соs 6α;  г) соs 10α;  д) соs2α; є) 1.

4. Доведіть тотожності:

а) 2соs2 α – соs 2α = 1;

б) ;

в) ; 

г) .

IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу

За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу  якщо відомо, у якій чверті лежить кут α.

Із формули соs 2x = соs2х - sіn2x  при х = , одержуємо: соs α = соs2  – sіn2 .              (1)

Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді: 1 = соs2 + sin2.                      (2)

Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:

1+ соs α = 2соs2 ;                (3)

1 – соs α = 2sіn2 .                (4)

Формули (3) і (4) можна записати так:

                    (5)

                    (6)

Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також форму­лами зниження степеня.

Виконання вправ

1. Знайдіть числові значення виразу:

а) 2соs2   – 1;    

б) 1 – 2sin2 ;    

в)  + 2sіn215°;     

г) -  + 2соs215°.                              

Відповідь: а) ; б) ; в) 1; г) 1.

2. Нехай соs α = 0,6 і 0 < α < . Обчисліть:  а) sin ;  б) соs ;   в) tg .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

3. Обчисліть:  а) sіn 15°;  б) соs 15°;  в) tg 22°30'.

Відповідь: а) ; б) ; в) .

4. Спростіть:

а) ;   б) .

Відповідь: а) 2соs α; б) tg α.

5. Доведіть тотожності:

а) ;  б) ; в) .

V. Підведення підсумків уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63—65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розгля­нути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.