АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 13
Тема. Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел. Тригонометричні функції подвійного і половинного аргументу
Мета уроку: вивчення формул тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел, формул тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу. Формування умінь застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.
І. Перевірка домашнього завдання
Розв'язання вправ, аналогічних до домашніх: вправа № 40 (11), 44 (3).
II. Сприймання і усвідомлення формул суми і різниці двох чисел
1. Розглянемо, як пов'язані косинус різниці двох чисел із синусом і косинусом цих самих чисел.
На одиничному колі позначимо точки Рα і Рβ (α > β) проведемо вектори 
і 
, тоді (соs α; sіn α), (соs β; sіn β) (рис. 101).
Знайдемо скалярний добуток векторів і , двома способами:
1) · = соs α · соs β + sіn α · sіn β;
2) · = 
·
· соs (α – β) = 1·1соs (α – β) = соs (α – β).
Звідси маємо, що
соs (α – β) = соs α · соs β + sіn α · sіn β. (1)
Користуючись одержаною формулою, можна одержати інші формули:
соs (α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β; (2)
sіn (α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β; (3)
sіn (α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β; (4)
(5)
(6)
Змінивши в формулі (1) β на –β і врахувавши, що соs(-β) = соs β, sіn(-β) = -sіnβ, одержимо
соs(α + β) = соs(α - (-β)) = соsα · соs(-β) + sіnα · sіn(-β) = соsα · соsβ – sіnα · sіnβ;
= sinα · cosβ + cosα · sinβ.
Таким чином,
sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β
Змінивши в останній формулі β на – β одержимо:
sin(α - β) = sіn α · соs(-β) + соs α · sіn(-β)
Звідси sіn(α – β) = sіn α · соs β – соs α · sіn β
Виведемо формулу тангенса суми чисел:
.
Отже 
Змінивши β на – β, одержимо 
Виконання вправ ____________________
1. Знайдіть значення виразів:
а) соs 42° соs 18° – sіn 42°sіn 18°;
б) 
;
в) sіn 56° соs 34° + соs 56° sіn 34°;
г) 
;
д) 
;
є) 
.
2. Спростіть вирази:
а) sіn(α + β) – sіn α · соs β;
б) 
;
в) 
.
Відповідь: а) соs α · sіn β; б) sіn 2α; в) 
.
3. Обчисліть: а) соs 75°; б) tg 15°; в) сtg 75°; г) sіn 
.
Відповідь: а) 
; б) tg15° = tg (45° - 30°) = 2 - 
; в) 2 - ; г) .
III. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій подвійного аргументу
Демонструється таблиця «Тригонометричні функції подвійного аргументу» (табл. 6).
Таблиця 6
Тригонометричні функції подвійного аргументуsіn 2α = 2sіn α соs α соз 2α = соs2 α - sіn2 α |
Коментарі вчителя
Виведемо формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2α через функції аргументу α.
Скористаємося формулою sіn(α + β) = sіn α · соs β + соs α · sіn β.
Вважаючи β = α, маємо: sіn 2α = 2sіn α · соs α.
Аналогічно із формули соs(α + β) = соs α · соs β – sіn α · sіn β при α = β одержуємо: соs 2α = соs2 α – sin2 α.
Із формули при β = α, маємо: 
.
Виконання вправ
1. Обчисліть:
а) 2sin15° соs15°;
б) соs215° – sіn215°;
в) 
;
г) (соs 75° – sіn 75°).
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
; г) .
2. Обчисліть sіn 2α, якщо а) sin α = 
; 
< α < π; б) соs α = 
; π < α < 
.
Відповідь: а) 
; б) 
.
3. Спростіть:
а) sіn α соs α;
б) соs α · соs 
;
в) 2соs23α – 1;
г) 1 – 2sin2 5α;
д) соs 4α + sіn2 2α;
є) sіn 2α + (sin α – соs α)2.
Відповідь: а) sin2α; б) sіn2α; в) соs 6α; г) соs 10α; д) соs2α; є) 1.
4. Доведіть тотожності:
а) 2соs2 α – соs 2α = 1;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
IV. Сприймання і усвідомлення тригонометричних функцій половинного аргументу
За відомими значеннями тригонометричних функцій аргументу а можна знайти значення тригонометричних функцій аргументу 
якщо відомо, у якій чверті лежить кут α.
Із формули соs 2x = соs2х - sіn2x при х = , одержуємо: соs α = соs2 – sіn2 . (1)
Запишемо основну тригонометричну тотожність у вигляді: 1 = соs2 + sin2. (2)
Складаючи почленно рівності (2) і (1) й віднімаючи почленно із рівності (2) рівність (1), одержуємо:
1+ соs α = 2соs2 ; (3)
1 – соs α = 2sіn2 . (4)
Формули (3) і (4) можна записати так:
(5)
(6)
Формули (5) і (6) називають формулами синуса і косинуса половинного аргументу. Ці формули називають також формулами зниження степеня.
Виконання вправ
1. Знайдіть числові значення виразу:
а) 2соs2 
– 1;
б) 1 – 2sin2 ;
в) + 2sіn215°;
г) - + 2соs215°.
Відповідь: а) 
; б) ; в) 1; г) 1.
2. Нехай соs α = 0,6 і 0 < α < . Обчисліть: а) sin ; б) соs ; в) tg .
Відповідь: а) 
; б) 
; в) .
3. Обчисліть: а) sіn 15°; б) соs 15°; в) tg 22°30'.
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
.
4. Спростіть:
а) 
; б) 
.
Відповідь: а) 2соs α; б) tg α.
5. Доведіть тотожності:
а) 
; б) 
; в) 
.
V. Підведення підсумків уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ І § 10 (1; 3; 4). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 63—65, 67, 68. Вправа: № 51 (1, 2, 3, 6, 7). Розглянути приклади 1 (1-4), 2 (1-5), 3 (1-4), стор. 77-82.