УРОК 15

Тема. Формули суми (різниці) однойменних тригономет­ричних функцій. Перетворення добутку тригономет­ричних функцій у суму

Мета уроку: вивчення формул суми і різниці однойменних три­гонометричних функцій і формул перетворення до­бутку тригонометричних функцій у суму. Формування умінь учнів застосовувати вивчені формули для спро­щення виразів та обчислень.

Обладнання. Таблиця «Формули перетворення суми в добуток (добутку в суму)».

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні на дошці розв'язують № 26 (1) і 26 (2). Один учень в цей час коментує розв'язання № 52 (12).

2. Розв'язування аналогічних вправ. Спростіть вирази:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Відповідь: а) соs2 α; б) ; в) 1; г) tg α.

II. Повідомлення теми і завдань уроку

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Демонструється таблиця 7.

 

Таблиця 7

Формули перетворення суми у добуток ; ; ;     .

 

Пояснення вчителя

1. Виведемо формулу перетворення суми синусів в добуток.

Позначимо ,  , тоді α + β = x, α – β = y, і тому

1)  sin х + sin y = sin(α + β) + sin(α - β) = sin α · соs β + соs α · sіnβ + sin α · cоs β – cos α · sіn β = 2sіn α  · соs β = 2sіn соs .

Отже, сума синусів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми на косинус піврізниці.

 

Для суми косинусів маємо:

2)  соs х + соs у = соs(α + β) + соs(α – β) = соs α  соs β – sіn α sin β + соs α  соs β + sіn α  sіn β = 2 соs α соs β = 2 соs соs .

Отже, сума косинусів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми на косинус піврізниці.

 

Для різниці косинусів маємо:

3) соs х – соs у = соs(α + β) – соs(α – β) = соs α соs β - sіn α sin β – соs α соs β – sіn α sіn β = – 2 sin α sin β = 2 sin sin .

   Отже, різниця косинусів дорівнює числу, протилежному подвоєному добутку синуса півсуми на синус піврізниці.

4) sin х – sin y = sin х + sin(-y) = 2 sinсоs . 

Отже, різниця синусів дорівнює подвоєному добутку синуса пів­різниці на косинус півсуми.

2. Для одержання формул перетворення добутку у суму випи­шемо підряд чотири формули:

sin(x + у) = sin x cos у + cos x sin у;                                (1)

sin(x – у) = sin x cos у – cos x sin у;                                 (2)

cos(x + у) = cos x cos у – sin x sin у;                                (3)

cos(x – у) = cos x cos у + sin x sin у.                                (4)

Віднявши почленно із рівності (4) рівність (3), одержимо:

cos(x – у) – cos(x + у) = 2 sin x sin у або sin x sin у =  (cos(х – у) – cos(x + y))

 Добуток синусів двох чисел дорівнює піврізниці косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.

Додавши почленно рівності (4) і (3), маємо:

соs(x – у) + соs(х + у) = 2 соs х соs у або cos x cos у =  (cos(x – у) + cos(х + у))

Добуток косинусів двох чисел дорівнює півсумі косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.

Додавши почленно рівності (1) і (2), одержимо

sin(x – у) + sin(х + у) = 2 sin x cos у або sin x cos у =  (sin(x – у) + sin(x + у))

Добуток синуса одного числа на косинус другого числа дорівнює півсумі синуса різниці і синуса суми цих чисел.

 

Виконання вправ

1. Спростіть вирази:

а)  – ;  

б)  – ;

в) sіn α ·  ; 

г) +.

Відповідь: а) sin β; б) sin 2α; в) ; г) соs α.

2. Обчисліть:

а) соs 22° – соs 38°;

б) sin 5° + sin 55°.

Відповідь: а) sіn 8°; б) соs 25°.

3. Перетворіть в добуток:

а) соs 2α + соs 14α + соs 6α + соs 10α;

б) sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β .

Відповідь: а) 4соs 2α соs 4α соs 8α; б) 4 соs 3β соs 6β sіn 13β.

4. Доведіть тотожність:

а) ; б) .

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 10 (5, 6). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 69—70. Вправи № 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)