АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 15
Тема. Формули суми (різниці) однойменних тригонометричних функцій. Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
Мета уроку: вивчення формул суми і різниці однойменних тригонометричних функцій і формул перетворення добутку тригонометричних функцій у суму. Формування умінь учнів застосовувати вивчені формули для спрощення виразів та обчислень.
Обладнання. Таблиця «Формули перетворення суми в добуток (добутку в суму)».
І. Перевірка домашнього завдання
1. Два учні на дошці розв'язують № 26 (1) і 26 (2). Один учень в цей час коментує розв'язання № 52 (12).
2. Розв'язування аналогічних вправ. Спростіть вирази:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Відповідь: а) соs2 α; б) 
; в) 1; г) tg α.
II. Повідомлення теми і завдань уроку
III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу
Демонструється таблиця 7.
Таблиця 7
Формули перетворення суми у добуток
|
; 
;
; 
.
Пояснення вчителя
1. Виведемо формулу перетворення суми синусів в добуток.
Позначимо 
, 
, тоді α + β = x, α – β = y, і тому
1) sin х + sin y = sin(α + β) + sin(α - β) = sin α · соs β + соs α · sіnβ + sin α · cоs β – cos α · sіn β = 2sіn α · соs β = 2sіn 
соs 
.
Отже, сума синусів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми на косинус піврізниці.
Для суми косинусів маємо:
2) соs х + соs у = соs(α + β) + соs(α – β) = соs α соs β – sіn α sin β + соs α соs β + sіn α sіn β = 2 соs α соs β = 2 соs соs .
Отже, сума косинусів дорівнює подвоєному добутку косинуса півсуми на косинус піврізниці.
Для різниці косинусів маємо:
3) соs х – соs у = соs(α + β) – соs(α – β) = соs α соs β - sіn α sin β – соs α соs β – sіn α sіn β = – 2 sin α sin β = 2 sin sin .
Отже, різниця косинусів дорівнює числу, протилежному подвоєному добутку синуса півсуми на синус піврізниці.
4) sin х – sin y = sin х + sin(-y) = 2 sinсоs .
Отже, різниця синусів дорівнює подвоєному добутку синуса піврізниці на косинус півсуми.
2. Для одержання формул перетворення добутку у суму випишемо підряд чотири формули:
sin(x + у) = sin x cos у + cos x sin у; (1)
sin(x – у) = sin x cos у – cos x sin у; (2)
cos(x + у) = cos x cos у – sin x sin у; (3)
cos(x – у) = cos x cos у + sin x sin у. (4)
Віднявши почленно із рівності (4) рівність (3), одержимо:
cos(x – у) – cos(x + у) = 2 sin x sin у або sin x sin у = 
(cos(х – у) – cos(x + y))
Добуток синусів двох чисел дорівнює піврізниці косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.
Додавши почленно рівності (4) і (3), маємо:
соs(x – у) + соs(х + у) = 2 соs х соs у або cos x cos у = (cos(x – у) + cos(х + у))
Добуток косинусів двох чисел дорівнює півсумі косинуса різниці і косинуса суми цих чисел.
Додавши почленно рівності (1) і (2), одержимо
sin(x – у) + sin(х + у) = 2 sin x cos у або sin x cos у = (sin(x – у) + sin(x + у))
Добуток синуса одного числа на косинус другого числа дорівнює півсумі синуса різниці і синуса суми цих чисел.
Виконання вправ
1. Спростіть вирази:
а) 
– 
;
б) 
– 
;
в) sіn α · 
;
г) 
+
.
Відповідь: а) 
sin β; б) sin 2α; в) 
; г) 
соs α.
2. Обчисліть:
а) соs 22° – соs 38°;
б) sin 5° + sin 55°.
Відповідь: а) sіn 8°; б) соs 25°.
3. Перетворіть в добуток:
а) соs 2α + соs 14α + соs 6α + соs 10α;
б) sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β .
Відповідь: а) 4соs 2α соs 4α соs 8α; б) 4 соs 3β соs 6β sіn 13β.
4. Доведіть тотожність:
а) 
; б) 
.
IV. Підведення підсумків уроку
V. Домашнє завдання
Розділ І § 10 (5, 6). Запитання і завдання для повторення до розділу І № 69—70. Вправи № 52 (8; 15), № 53 (8; 15; 16)