АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 17

Тема. Поняття про обернену функцію


Мета уроку: формування понять: оборотна функція, обернена функція. Вивчення алгоритму знаходження форму­ли функції, оберненої до даної, властивості графіків взаємно-обернених функцій.

І. Аналіз контрольної роботи


II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

На уроках математики ви неодноразово розв'язували задачу: обчислити значення функції у = f(x) при заданому значенні х0 аргументу. Іноді потрібно розв'язати і обернену задачу: обчис­лити значення аргументу х, при якому функція у = f(x) набуває даного значення у0.

При розв'язуванні оберненої задачі виникають питання: Скільки таких значень існує? При яких умовах задача має єди­ний розв'язок?

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай задано функцію у = 2х + 1. Щоб знайти зна­чення аргументу х, при яких функція дорівнює у0, треба розв'я­зати рівняння у0 = 2х + 1.

Розв'язавши його 2х = у0 - 1; , маємо, що для будь-якого у0 рівняння у0 = 2х + 1 має і притому тільки один корінь.

Приклад 2. Для функції у = х2 рівняння у0 = х2 при у0 > 0 має два корені: х1 = -; х2 = .

Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною. Таким чином, фун­кція у = 2х + 1 — оборотна, а функція у = х2 (визначена на всій числовій осі) не є оборотною.

Залежність із прикладу 1:  виражає х як деяку функцію від у (аргумент цієї функції позначений літерою у, а значення функції — літерою х). Перейшовши до звичних позна­чень (аргумент — х, функція — у), матимемо функцію: , яка називається оберненою до функції у = 2х + 1.

Побудуємо графіки функцій у = 2х + 1 і  в одній системі координат (рис. 102), графіки цих функцій розташовані симетрично від­носно бісектриси першого і третього координатних кутів.



Виконання вправи.


З'ясуйте, чи оборотна функція  в області її визначення. Якщо дана функція оборотна, то задайте обернену до неї функцію і побудуйте графіки даної і оберненої функцій.

Розв'язання.

Оскільки функція  набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення (х  (-; 1)  (1; +)), то дана функція оборотна.

Розв'яжемо рівняння  відносно х: у(х – 1) = 1, х – 1 =  , х =  + 1.

Замінивши х на у, й у на х має­мо у =  +1 — обернену функцію х до функції .

Побудуємо графіки функцій  та у =  +1 в одній системі координат (рис. 103).





Підведемо підсумки:

1)  Якщо функція у = f(x) задана формулою, то для знаходжен­ня оберненої функції потрібно розв'язати рівняння f(x) = у відносно х, а потім поміняти місцями х і у. Якщо рівняння f(x) = у має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до функції у = f(x) не існує.

2)  Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні віднос­но прямої у = х.

Дійсно, при симетрії відносно прямої у = х вісь абсцис переходить у вісь орди­нат, а вісь ординат переходить у вісь аб­сцис, будь-яка точка (а; b) координатної площини при симетрії відносно прямої у = х переходить у точку (b; а) (рис. 104). Якщо точка (а; b) належить графіку даної функції, то точка (b; а) належить графіку оберненої функції, а ці дві точ­ки симетричні відносно прямої у = х.



3)  Якщо функція у = f(x) зростає (спадає) на деякому проміжку, то вона оборотна. Обернена функція до даної, визначена  області значень функції у = f(x), також є зростаючою (спадною).

Приклад 3. Функція у = х2 не є оборотною в області визначення. Проте функція у = х2, де х  [0; +) зростає на цьому проміжку, тому має обернену. Оберненою функцією є функція у = . Графіки цих функ­цій зображено на рис. 105.



Виконання вправ____________


1. Які із поданих функцій є оборотними в області визначення:

а) у = 5х + 4;  б) у = х3 + 1;  в) у = х2 - 1; г) ;  д) у = sin х;   є) у =  ?

Відповідь: а); б); г); є).

2. Знайдіть функцію, обернену до даної:

а) у = х - 3;  б) у = ;  в) у = ;  г) у = x2, де х  (-; 0].

Відповідь: а) у = х + 3; б) у = ; в) у = х2 - 1, де х  [0; +); г) у = -.

3. На одному і тому же рисунку побудуйте графік даної функції і функції, оберненої до даної:

а) у = х2 - 1, х > 0;              

б) у = (х - 1)2, х > 1;

в) у = sin х, х ;      

г) у = cos х, х  [0; π].

Відповідь: а) рис. 106; б) рис. 107; в) рис. 108; г) рис. 109.



 

 

 


4. Скільки коренів має рівняння (розв'язати графічно):

а) х3 + х = 2;  б) sin х = 1, х ;  в) sin х = 1?

Відповідь: а) один; б) один; в) безліч.


III. Підсумок уроку

Познайомилися з поняттями оборотної та оберненої функції, властивостями графіків даної функції та оберненої, властиво­стями монотонності даної функції та оберненої до даної.


IV. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (Поняття про обернену функцію). Запитання і зав­дання для повторення стор. 135 № 1—5.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити