АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 18

Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х


Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометрич­них функцій: у = arcsin х, у = arccos х.

І. Перевірка домашнього завдання

Математичний диктант.

Закінчіть математичні твердження:

1. Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називається ...

2. Оберненою до функцій у = х + 3 є функція ...

3. Оберненою до функцій у =  є функція ...

4. Оберненою до функцій у = х2, х > 0 є функція ...

5. Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні ...

6. Якщо дана функція у = f(x) — зростаюча, то обернена до неї функція ...

7. Область визначення функції у = f(x), для оберненої функції буде областю ...

8. Область значень функції у == f(x) для оберненої функції буде областю ...

Відповідь: 1. оборотною. 2. у = х - 3. 3. у = х2 + 1, х[0; +). 4. у =. 5. відносно прямої у = х. 6. зростаюча. 7. значень. 8. визначення.


II. Сприймання і усвідомлення поняття arcsin α і властивостей функції  у = arcsin х

Як ви знаєте, функція у = sin х зростає на проміжку  і приймає всі значення від -1 до 1, тобто кожне своє значення функція приймає в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, │а│ 1 на проміжку  має єдиний корінь, який називається арксинусом числа а і позначається arcsin a.

Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin .

arcsin  =  , бо sin  =  і .

Приклад 2. Знайдемо arcsin


 arcsin  = , бо sin =  і .

Виконання вправ________________________

1. Обчисліть:

a) arcsin 0;  б) arcsin 1;  в) arcsin (-1);  г) arcsin ;  д) arcsin ;  є) arcsin  

Відповідь: a) 0;   б) ;   в) -;   г) ;   д) -;   e) - .

2. Які із поданих виразів мають смисл і чому:

a) arcsin ;  б) arcsin 1,5; в) arcsin π;  г) arcsin ;  д) arcsin ?

Відповідь: а); г); д).

3. Знайдіть:

а) arcsin ;  б) sin .

Відповідь: а) ; б) .

Оскільки кожному значенню х [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине значення arcsin x, то можна говорити, що існує функція у = arcsin х.

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х  перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 110). Розглянемо влас­тивості функції у = arcsin х.


1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) arcsin (-х) = -arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2 то arcsin х1 > arcsin х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. уmах = y(1) =  , ymіn = y(-1) = -.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arcsin 0,3 і arcsin 0,2;   

б) arcsin 0,3 і arcsin (-0,3); 

в) arcsin  і arcsin .

Відповідь: a) arcsin 0,3 > arcsin 0,2;

б) arcsin 0,3 > arcsin (-0,3);

в) arcsin < arcsin .

2. Розташуйте в порядку зростання:

a) arcsin 0,4; arcsin 0,2; arcsin 0,8;

б) arcsin (-0,1); arcsin (-0,2); arcsin (-0,3);

в) arcsin; arcsin (-0,3); arcsin 0,9.

Відповідь: a) arcsin 0,2; arcsin 0,4; arcsin 0,8;

б) arcsin (-0,3); arcsin (-0,2); arcsin (-0,1);

в) arcsin (-0,3); arcsin ; arcsin 0,9.

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у = arcsin (х + 1);

б) у = arcsin (х2 - 1); 

в) у = arcsin  ; 

г) у = arcsin 5х.

Відповідь: а) х[-2; 0]; б) х[- ; ]; в) х(-; 0] U [2; +); г) х[-0,2; 0,2].

4. Знайдіть область значень функцій:

а) у = arcsin ;    б) у = arcsin .

Відповідь: а) у; б) у.

5. Побудуйте графіки функцій:

а) у = arcsin (х - 1);  б) y = + arcsin х ; в) у = arcsin | х |; г) у = | arcsin х |.

Відповідь: а) рис. 111; б) рис. 112; в) рис. 113; г)рис. 114.


 

 

 



III. Сприймання і усвідомлення поняття arccos a і властивостей функції у = arccos x

Функція у = cos x спадає на відрізку [0; π] і приймає всі значення від -1 до 1, тому рівняння cos x = а, |а| < 1 на проміжку [0; π] має єдиний корінь, який називається арккосинусом числа а і позначається arccos a.

Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos .

arccos  = , бо cos =  i [0;π].

Приклад 2. Знайдіть arccos .

arccos  = , бо cos  = - і  [0;π].

Виконання вправ______________________________

1. Обчисліть:

a) arccos ; б) arccos ; в) arccos 0; r) arccos (-1); д) arccos 1; є) arccos .

Відповідь: a) ;   б) ;   в)  ;   г) π;   д) 0;   є) .

2. Які з поданих виразів мають смисл і чому:

a) arccos ;  б) arccos ;  в) arccos ;  г) arccos ;  д) arccos ;  є) arccos ?

Відповідь: б); д); е).

3. Знайдіть:

a) arccos ; б) arccos; в) cos (arccos (-1)).

Відповідь: a) ;  б) ;  в)-1.


Аналогічно можна говорити про функцію у = arccos x. Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x[0; π] пере­творенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 115).



Розглянемо властивості функції у = arccos х.

1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(y) = [0;π].

3. Графік не симетричний ні віднос­но початку координат, ні віднос­но осі OY. arccos (-х) = π - arccos х.


4. Функція спадна. Якщо х1 > х2 то arccos х1 < arccos х2.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. уmах = y(-1) = π, ymіn = y(1) = 0.


Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arccos 0,1 і arccos 0,2; б) arccos 0,1 і arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) і arccos (-0,3).

Відповідь: a) arccos 0,1 > arccos 0,2;  б) arccos 0,1 < arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) < arccos (-0,3).

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

a) arccos 0,55; arccos 0,7; arccos 0,1;

б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9);

в) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

Відповідь: a) arccos 0,7; arccos 0,55; arccos 0,1; б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9); в) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у = arccos (х – 1); б) у = arccos 2x; в) у = arccos (х2 + 1);  г) у = arccos (|х| - 1).

Відповідь: а) х[0; 2]; б) х[-0,5; 0,5]; в) х{0}; г) х[-2; 2].

4. Знайдіть область значень функцій: а) у = arccos |х|; б) у = arccos (-|х|).

Відповідь: а) у; б) у.

5. Побудуйте графіки функцій:

а) у = arccos(x – 1) – ;  б) у = arccos | х |  - ;  в) у = │arccos х – │;  г) у = │arccos | х | - │.

Відповідь: а) рис. 116; б) рис. 117; в) рис. 118; г) рис. 119.


 

 

 


IV. Підведення підсумку уроку


V. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (2; 3). Запитання і завдання для повторення розді­лу II № 6; 7; 9; 10; 11; 12 (1, 2, 5, 6, 7, 8).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити