АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 2

Тема. Огляд властивостей основних функцій

Мета уроку: Повторення і узагальнення властивостей елементарних функцій: у = kx + b, у =  , у = х2, у= х3, у =  , у = , у = αх2 + bx + с.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Один учень пояснює розв'язання вправи № 1 (5), другий — № 2 (5).

2. Математичний диктант.

Закінчіть математичні твердження.

1) Областю визначення функції у =  є ...

2) Областю визначення функції у =  є ...

3) Областю значень функції у = х2 +1 є ...

4) Якщо для функції у = f(x) виконується рівність f(-x) = f(xдля всіх х D(f), то функція ...

5) Графік непарної функції симетричний відносно..­

6) Якщо для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції у = f(x) за умови х1 < х2 випливає, що у1 < у2 то функція ...

Відповідь:

1) (-;l (l;+); 2) [1;+); 3) [1;+); 4) парна; 5) початку координат; 6) зростаюча.


II. Повторення і узагальнення властивостей основних видів функцій

Повторення і узагальнення властивостей вивчених видів функцій провести шляхом фронтальної бесіди і результати зане­сти в таблицю 1.

Виконання вправ

1. Побудуйте графіки функцій

а) у = х - 2; б) у = 3 - х; в) у = х2 - 2х; г) у = х2 – 4х + 3; д) у = 4х - х2

Відповідь:



 

 

 

 


III. Формування вмінь учнів знаходити область визначення функцій та досліджувати функцію на парність (непарність)

Виконання вправ № 1 (8; 11) та № 2 (11—12)


IV. Підведення підсумків уроку


V. Домашнє завдання

Розділ І § 1 п. 2. Запитання і завдання для повторення № 13— 26; Вправи № 1 (13; 6), № 2 (7; 10).



Таблиця 1



б) f(x) =  у точках 3; 12; 52.

Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;

б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7

2. Функцію задано формулою у = xна області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:

а) таблиці; б) графіка.

Відповідь:

a)

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

9

4

1

0

1

4

9

б) рис. 1


3. Знайдіть область визначення функції:

а) у = х2 + х3; б)  ; в) ; д) ; є) .

Відповідь:

a) D(y) = R;  б) D(y) = (-; 3)  (3; +);  в) D(y) = (-;-2)  (-2;0)  (0;+); г) D(y) = (-; -3)  (-3; 3)  (3; +); д) D(y) = (-;l)  (l;4)  (4;+); є) D(y) = [-6;+).

4. Знайдіть область значень функції: а) у =; б) у =  -1.

Відповідь: а) Е(у) = [2; +); б) Е(у) = [1; +).


 




5. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажіть D(yі Е(у).

 




Рис. 2


Відповідь:

а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1];

б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

в) D(y) = (-1;1); E(у) = R;    

г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Відповідь: а); в).        

III. Систематизація і узагальнення знань учнів про спадні, зростаючі, парні та непарні функції.

Функція у = f(x) називається зростаючою (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) < f(x2) виконується нерівність х1 < х2.






Функція у = f(x) називається спадною (рис. 5), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції та­ких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) > f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) — спадна, то із того, що f(x1) > f(x2), виконується нерівність х1 < х2.

Виконання вправ

1. Користуючись графіками функцій, зображених на рисунку 6, укажіть проміжки зростання і спадання функцій.


Відповідь:

а) на кожному з проміжків [-1;0], [1;2] функція зростає, на кожному з проміжків [-2;-1], [0;1] функція спадає;

б) на кожному з проміжків [-3;-2], [1;2] функція спадає; на проміжку [-2;1] функція зростає;

в) на проміжку (-;-1] функція спа­дає, на проміжку [-1; 1] функція постійна, на проміжку [1;+) функція зростає.

2. Функція у = f(x) зростаюча. Порівняйте: а) f(10) і f(-10);  б)  і .

Відповідь: а) f(10) > f(-10);  б)  < .       

3. Функція у = f(x) — спадна на R. Порівняйте: а) f(10) і f(-10);  б)  і .

Відповідь: а) f(10) < f(-10); б)  > .

4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

а) у = x - 3;  б) у = -x + 3;  в) у = x2 + 1;  г) у = -х2 + 1.

Відповідь:

а) зростає на R;  

б) спадає на R;

в) зростає на проміжку [0;+) і спадає на проміжку (-;0];

г) зростає на проміжку (-;0] і спадає на проміжку [0;+).



Функція у = f(x) називається парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(-x) = f(x).

Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ (рис. 7).


Приклад 1. Чи парна функція f(x) = χ4 + χ2 ?


Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , функція парна.

Приклад 2. Чи парна функція f(x) = х2 + х ?


Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 – х f(x), то функція не є парною.

Функція у = f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення -х  D(y) і виконується рівність f(-x) = -f(х).

Графік непарної функції симет­ричний відносно початку координат (рис. 8).



Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x3 - x5?


Оскільки D(f) = R і f(-х) = (-х)3 - (-х) =  -х3 + х5 = -(х3 - х5) = -f(х), функція непарна.

Приклад 4. Чи непарна функція f(х) = х3 – х2 ?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)3 - (-х)2 = -х3 - х2 = -(х3 + х2)f(x) = -х3 + х2, функція не є непарною.

Виконання вправ

1. Які із функцій, графіки яких показано на рисунку 9, є пар­ними, а які непарними?


Рис. 9


Відповідь: непарні — а), в); парні — б) д).

2. Які із поданих функцій а) у = х3 + 2х7; б) у = ; в) у = ; г) у = 3x2 + х6; д) у = х +1; є) у =  +1 є парними, а які — не­парними?

Відповідь: парні — в), г); е); непарні — а).


IV. Підведення підсумків уроку


V. Домашнє завдання

Розділ І § 1(1). Запитання і завдання для повторення розділу І № 1-12. Вправи № 1 (2; 5; 7), № 2 (3; 5).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити