АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 20
Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння cos t = a
Мета уроку: засвоєння учнями виведення і застосування формули для знаходження коренів рівняння cos t = a.
Обладнання: Таблиця «Рівняння cos t = a».
І. Перевірка домашнього завдання
Математичний диктант
Обчисліть:
1) arcsin 
; 2) arcos 
; 3) arctg 
; 4) arcsin
; 5) arccos
; 6) arctg (-1);
7) arcctg (-1); 8) cos (arсcos 1); 9) sin 
; 10) arcsin 
; 11) arccos 
; 12) arccos 
.
Відповіді:
1) 
; 2) 
; 3) ; 4) -
; 5) 
; 6) -; 7) 
; 8) 1; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .
II. Мотивація навчання та повідомлення теми уроку
Усім відомо, що квадратні рівняння можна розв'язувати за допомогою формули їх коренів, що значно спрощує роботу.
У математиці розглядають рівняння, у яких невідоме (змінна) входить тільки під знак тригонометричних функцій, наприклад: cos t = 1, cos t + sin t = 0. Ці рівняння називаються тригонометричними рівняннями. Як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв'язування найпростіших рівнянь: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.
Отже, наше завдання — вивести формули для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь і навчитися розв'язувати тригонометричні рівняння, які приводяться до найпростіших.
На сьогоднішньому уроці розглянемо розв'язування рівняння cos t = a.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв'язування рівняння cos t = а
Демонструється таблиця 8.
Таблиця 8
Пояснення вчителя
1. Якщо |а| > 1, то рівняння cos t = а не має розв'язків, по-скільки |cos t| < 1 для будь-якого t.
2. Якщо |а| < 1, то враховуючи те, що cos t — абсциса точки Рt одиничного кола, маємо: абсцису, рівну а, мають дві точки (рис. 122) одиничного кола(на осі ОХ відкладемо число а і через побудовану точку проведемо пряму, перпендикулярну до осі абсцис, яка перетне коло у двох точках 
і 
. Тоді
t1 = arccos a + 2πn, n
Z,
t2 = - arccos а + 2πn, nZ.
Ці розв'язки можна об'єднати
t = ± arccos a + 2πn, nZ (1)
3. Якщо а = 1, то, враховуючи те, що cos t — це абсциса точки Рt одиничного кола, маємо: абсцису, рівну 1, має точка Рt утворена із точки Р0(1; 0) поворотом на кути 2πn, nZ. Отже, t = 0 + 2πn = 2πn, nZ.
4. Якщо а = -1, то маємо t = n + 2πn, nZ. Корені рівнянь: cos t = 1, cos t = -1, cos t = 0 також можна одержати із формули t = ± arccos a + 2πn, nZ. Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння cos x = 
.
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
х = ± arccos + 2πn, nZ.
Оскільки arccos = , то маємо: х = ± + 2πn, nєZ.
Відповідь: ± + 2πn, nZ.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння cos x = 
.
Розв'язання
Оскільки > 1, то рівняння коренів не має.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння cos x = 0,37.
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо:
х = arccos 0,37 + 2πn, nZ.
Значення arccos 0,37 знайдемо за допомогою мікрокалькулятора: arccos 0,37 
1,19, тоді х ± 1,19 + 2πn, nZ.
Відповідь: arccos 0,37 + 2πn ± 1,19 + 2πn, nZ.
Приклад 4. Розв'яжіть рівняння cos x = -.
Розв'язання
Згідно з формулою (1) маємо: х = ±arccos 
+ 2πn, nZ.
Оскільки arccos = n - arccos = n - = , то x = ± + 2πn, nZ.
Відповідь: ± + 2πn, nZ.
IV. Осмислення вивченого матеріалу
Виконання вправ______________________________
Розв'яжіть рівняння.
1. a) -2cos х = 1; б) cos 2х - 1 = 0; в) 2cos 
= ; г) - 2cos
= 0.
Відповідь: а)±
+2πn, nZ; б) πn, nZ; в) ±+πn, nZ; г) 
± 
+
, nZ.
2. a) cos x cos 3х = sin 3x sіn x;
б) cos 2x cos х + sin 2x sin х = 1;
в) cos2 х - sin2 х = 0,5;
г) 2sin2x = 1.
Відповідь: а) 
+
, nZ; б) 2πn, nZ; в) ±+πn, nZ; г) +
, nZ.
3. а) 6соз2х + cos x – 1 = 0;
б) cos x + 3cos х = 0;
в) 4cos2x – 3 = 0;
г) cos2х = 1 + sin2x.
Відповідь: а) ± + 2πn; ± arccos 
+ 2πn, nZ; б) 
+ πn, nZ; в) ±+ 2πn і ± + 2πn, nZ; г) , nZ.
4. а) (1 + cos x)(3 – 2cos x) = 0;
Відповідь: а) n + 2πn, nZ.
V. Підсумок уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ II § 2 (2). Запитання і завдання для повторення до розділу II № 13—15. Вправи № 1 (9; 10; 13), № 2 (2; 4; 7).