АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 22
Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння tg t = a.
Мета уроку: зсвоєння учнями виведення і застосування формули для знаходження коренів рівняння tg t = a (ctg t = а).
Обладнання: Таблиця «Рівняння tg t = а і ctg t = a».
І. Перевірка домашнього завдання
1. Перевірити наявність домашніх завдань в зошитах учнів. Звірити розв'язання № 1 (8; 18) за записами на дошці.
Математичний диктант
Запишіть розв'язки рівнянь:
1) sin x = 0; 2) sin x = 1; 3) sin x = -1; 4) sin2x = 0; 5)sin x = ; 6) sin x = -
; 7) cos x = 0; 8) cos x = 1; 9) cos x = -1; 10) cos
= 1; 11) cos x =
; 12) cos x =-
.
Відповідь: 1) πn, nZ; 2)
+2πn, n
Z; 3) -
+2πn, n
Z; 4)
, n
Z; 5) (-1)n+1
+ πn, n
Z; 6) (-1)n+1
+ πn, n
Z;
7) + πn, n
Z; 8) 2πn, n
Z; 9) n + 2πn, n
Z; 10) 4πn, n
Z; 11) ±
+ 2πn, n
Z; 12) ±
+ 2πn, n
Z.
II. Повідомлення теми уроку
III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв'язування рівняння tg t = a (ctg t = a)
Демонструється таблиця 10.
Таблиця 10
Пояснення вчителя
Розв'язування рівняння tg t = а зручно проілюструвати за допомогою лінії тангенсів (рис. 124). tg t — це ордината точки перетину прямої ОРt з лінією тангенсів. Відкладемо на осі тангенсів число а, через цю точку і початок координат проведемо пряму, яка перетне одиничне коло у двох точках і
, тоді
t = arctg а + πn, nZ (1)
Отже, рівняння tg t = а при будь-якому значенні а має розв'язок.
Рівняння ctg t = а, де а ≠ 0 рівносильне рівнянню tg t = .
Проте можна довести, що розв'язки рівняння ctg t = а можна записати у вигляді:
t = arcctg a + πп, nZ (2)
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння tg x = .
Розв'язання
По формулі (1) знаходимо х = arctg + πn, n
Z.
Оскільки arctg =
, то маємо: х =
+ πn, n
Z.
Відповідь: + πn, n
Z.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння tg х = 2.
Розв'язання
За формулою (1) маємо: х = arctg 2 + πn, nZ. Значення arctg 2 можна знайти за допомогою мікрокалькулятора arctg2
1,1, тоді х
1,1 + πn, n
Z.
Відповідь: arctg 2 + πn 1,1 + πn, n
Z.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння ctg x – = 0.
Розв'язання
ctg х – = 0; ctg х =
; tg х =
, x = arctg
+ πn =
+ πn, n
Z.
Відповідь: + πn, n
Z.
IV. Осмислення вивченого матеріалу
Виконання вправ_____________________________
Розв'яжіть рівняння.
1. a) tg x + = 0; б) ctg x + 1 = 0; в)
tg x – 1 = 0; г)
ctg x – 1= 0.
Відповідь: а) - + πn, n
Z; б)
+ πn, n
Z; в)
+ πn, n
Z; г)
+ πn, n
Z.
2. а) ; б)
.
Відповідь: а) 3 πn, nZ ; б) n + 2 πn, n
Z.
3. a) 3tg2 x + 2 tg x – 1 = 0;
б) 2ctg2 x + 3ctg x – 2 = 0;
в) tg x – 2ctg x + 1 = 0;
г) tg2 х – 3tg х = 0.
Відповідь: а) -+ πn і arctg
+ πn, n
Z;
б) arctg 2 + πn і -arctg + πn, n
Z;
в) + πn і -arctg 2 + πn, n
Z;
г) πn і + πn, n
Z.
V. Підведення підсумків уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ II § 2 (3). Запитання і завдання для повторення розділу II № 13—15. Вправа № 1 (4; 11; 12; 15; 16).