УРОК 25

Тема. Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь

Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Обговорення розв'язування вправи № 2 (6; 9; 11) за готовими розв'язаннями.

2. Розв'язування аналогічних вправ.

а) 1 + cos x + cos 2x = 0;   

б) cos4 x – sin4 x = ;

в) cos 4х + sin 2x = 0;      

г) cos x (tg x – 1) = 0.

Відповіді: а) + πn, ±  + 2 πn, nZ; б) ±  + πn, nZ;

в) (-1)n+1  + ; + πn, nZ;  г) + πn, nZ.

 

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1)  Розглянемо рівняння виду asin x + bcos x = 0 (однорідне рів­няння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x. Маємо:

;   atg x + b = 0;  tg x = - .

x = - arctg + πn, nZ.

 

Виконання вправ

Розв'яжіть рівняння.

1. а) sinx + cosx = 0;      

б) 16sin x = 5cos x;

в) 2cos 2x + 3sin 2x = 0;   

г) sin2 x + sin x cos x = 0.

Відповідь: а) -+πn, nZ;    б) arctg + πn, nZ;   в) -arctg+, nZ;  г) πn, -+ πn, nZ.

2. Рівняння виду  a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на cos2 x (або на sin2x). (У даному рівнянні cos2x ≠ 0, бо в супротивному випадку sin2 x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю). Тоді

;            

atg2x + btgx + c = 0.

Розв'язавши отримане, рівняння одержимо корені даного рів­няння.

Виконання вправ

1. Розв'яжіть рівняння:

а) sin2 x = 3cos2 x;                                

б) sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;

в) 3sin2 x – 4sin x cos x +cos2 x = 0;      

г) sin2 x – 5sin x cos x + 6cos2 x = 0.

Відповідь: а) ± + πn, nZ; б) arctg 2 + πn, + πn, nZ; в)  + πn, arctg  + πn, nZ; г) arctg 2 + πn, arctg 3 + πn, nZ.

3. Рівняння виду аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0

називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно си­нуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів an, а n-1, ... , а1, a0 не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosnx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx. Якщо хоча б один із коефіцієнтів an, а n-1, ... , а1, a0 дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosnx, слід довес­ти, що cosnx ≠ 0, тобто, cos x ≠ 0.

Розглянемо приклад:

Розв'яжіть рівняння cos2 x - 2 cos x sin x = 0.

Ділити обидві частини на cos2 x не можна, бо cos2 x = 0 є роз­в'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв'язати:

І спосіб (винесення множника)

cos2 x – 2 cos x sin x = 0       

cos x (cos x – 2 sin x) = 0

Звідси cosx = 0 або cosx – 2sinx = 0.

1) cos x = 0; x = + πn, nZ.

2) cosx – 2sinx = 0; ; 1 – 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg + πn, nZ.

Відповідь:   + πn, nZ; arctg  + πn, nZ.

II спосіб. Розділимо обидві частини на sin2 x, оскільки sin x ≠ 0 в даному рівнянні, бо в супротивному випадку і cos x = 0, що неможливо.       

,

ctg2 x - 2ctg x = 0;

ctgх(ctg x - 2) = 0.

Звідси ctg x = 0, або ctg x = 2.

1)  ctg x = 0; x = + πn, nZ.               

2)  ctg x = 2; x = arcctg 2 + πn, nZ.

Відповідь: + πn, arcctg 2 + πn, nZ.

Виконання вправ

1. Розв'яжіть рівняння:

а) sin 2х – cos2 x = 0;           

б) 2 sin2 x = sin 2х; 

в) 3 sin 2х + cos 2х = cos2 x;         

г) 1 – cos x = 2 sin  cos .

Відповідь: a)  + πn, arctg  + πn, nZ; б) πn, + πn, nZ;  в) πn, arctg 6 + πn, nZ; г) 2πn,  + 2πn, nZ.

2. Розв'яжіть рівняння:

а) 4sin2 x – sin2x = 3;                   

б) sin 2х + 4cos2 x = 1;

в) 5 sin2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0;          

г) 2 sin x + cos x = 2.

Відповідь: а) arctg 3 + πn, - + πn, nZ; б) arctg3 + πn, -  + πn, nZ; в) – arctg 4 + πn,  + πn, nZ; г) + 2πn, 2arctg  + 2 πn, nZ.

III. Підведення підсумків уроку

IV. Домашнє завдання

Розділ II § 3 (3). Запитання і завдання для повторення до роз­ділу II № 17, 18. Вправа № 2 (8; 17; 22; 28; 36).