АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 25
Тема. Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь
Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Обговорення розв'язування вправи № 2 (6; 9; 11) за готовими розв'язаннями.
2. Розв'язування аналогічних вправ.
а) 1 + cos x + cos 2x = 0;
б) cos4 x – sin4 x = 
;
в) cos 4х + sin 2x = 0;
г) cos x (tg x – 1) = 0.
Відповіді: а) 
+ πn, ± 
+ 2 πn, n
Z; б) ± 
+ πn, nZ;
в) (-1)n+1 + 
; 
+ πn, nZ; г) + πn, nZ.
II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу
1) Розглянемо рівняння виду asin x + bcos x = 0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x. Маємо:
; atg x + b = 0; tg x = -
.
x = - arctg + πn, nZ.
Виконання вправ
Розв'яжіть рівняння.
1. а) 
sinx + cosx = 0;
б) 16sin x = 5cos x;
в) 2cos 2x + 3sin 2x = 0;
г) sin2 x + sin x cos x = 0.
Відповідь: а) -
+πn, nZ; б) arctg
+ πn, nZ; в) -
arctg
+, nZ; г) πn, -+ πn, nZ.
2. Рівняння виду a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на cos2 x (або на sin2x). (У даному рівнянні cos2x ≠ 0, бо в супротивному випадку sin2 x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю). Тоді
;
atg2x + btgx + c = 0.
Розв'язавши отримане, рівняння одержимо корені даного рівняння.
Виконання вправ
1. Розв'яжіть рівняння:
а) sin2 x = 3cos2 x;
б) sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
в) 3sin2 x – 4sin x cos x +cos2 x = 0;
г) sin2 x – 5sin x cos x + 6cos2 x = 0.
Відповідь: а) ± 
+ πn, nZ; б) arctg 2 + πn, + πn, nZ; в) + πn, arctg 
+ πn, nZ; г) arctg 2 + πn, arctg 3 + πn, nZ.
3. Рівняння виду аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0
називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.
Якщо жоден із коефіцієнтів an, а n-1, ... , а1, a0 не дорівнює нулю, то, розділивши обидві частини рівняння почленно на cosnx, одержимо рівняння n-го степеня відносно tgx. Якщо хоча б один із коефіцієнтів an, а n-1, ... , а1, a0 дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на cosnx, слід довести, що cosnx ≠ 0, тобто, cos x ≠ 0.
Розглянемо приклад:
Розв'яжіть рівняння cos2 x - 2 cos x sin x = 0.
Ділити обидві частини на cos2 x не можна, бо cos2 x = 0 є розв'язком даного рівняння. Це рівняння можна розв'язати:
І спосіб (винесення множника)
cos2 x – 2 cos x sin x = 0
cos x (cos x – 2 sin x) = 0
Звідси cosx = 0 або cosx – 2sinx = 0.
1) cos x = 0; x = + πn, nZ.
2) cosx – 2sinx = 0; 
; 1 – 2tgx = 0; tgx = ; x = arctg + πn, nZ.
Відповідь: + πn, nZ; arctg + πn, nZ.
II спосіб. Розділимо обидві частини на sin2 x, оскільки sin x ≠ 0 в даному рівнянні, бо в супротивному випадку і cos x = 0, що неможливо.
,
ctg2 x - 2ctg x = 0;
ctgх(ctg x - 2) = 0.
Звідси ctg x = 0, або ctg x = 2.
1) ctg x = 0; x = + πn, nZ.
2) ctg x = 2; x = arcctg 2 + πn, nZ.
Відповідь: + πn, arcctg 2 + πn, nZ.
Виконання вправ
1. Розв'яжіть рівняння:
а) sin 2х – cos2 x = 0;
б) 2 sin2 x = sin 2х;
в) 3 sin 2х + cos 2х = cos2 x;
г) 1 – cos x = 2 sin 
cos .
Відповідь: a) + πn, arctg + πn, nZ; б) πn, + πn, nZ; в) πn, arctg 6 + πn, nZ; г) 2πn, + 2πn, nZ.
2. Розв'яжіть рівняння:
а) 4sin2 x – sin2x = 3;
б) sin 2х + 4cos2 x = 1;
в) 5 sin2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0;
г) 2 sin x + cos x = 2.
Відповідь: а) arctg 3 + πn, - + πn, nZ; б) arctg3 + πn, - + πn, nZ; в) – arctg 4 + πn, + πn, nZ; г) + 2πn, 2arctg + 2 πn, nZ.
III. Підведення підсумків уроку
IV. Домашнє завдання
Розділ II § 3 (3). Запитання і завдання для повторення до розділу II № 17, 18. Вправа № 2 (8; 17; 22; 28; 36).