АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 28

Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей


Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: sin t > a, sin t < a, cos t > a, cos t < a (sin t  a, sin t  a, cos t  a, cos t  a).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язування систем з домашнього завдання.

2. Колективне розв'язування системи рівнянь

Розв'язання

  

Тоді 1)  

          

2)

   

Відповідь: , , n, k Z.


II. Сприймання і усвідомлення розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Нерівність називається тригонометричною, якщо вона містить змінну тільки під знаком тригонометричної функції. Наприклад, sin 3x > 1, cos x + tg x < 1 — тригонометричні нерівності. Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень змінної, при яких нерівність виконується.


Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування нерівностей:

sin x > a,     sin x < a,     sin x  a,      sin x  а,

cos x > a,    cos x < a,     cos x  a,     cos x  a,

tg x > a,     tg x < a,        tg x  a,      tg x  a,

які називаються найпростішими. Отже, мета сьогоднішнього уро­ку — навчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні не­рівності, використовуючи одиничне коло.

Розглянемо приклади.


1. Розв'яжіть нерівність sin t  .

Розв'язання

Будуємо одиничне коло (рис. 126) та пряму у = , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Знаходимо на одиничному колі точки, значення ординат яких не менші .

 

Цими точками є точки дуги АСВ, де А = , В = . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції sin t дорівнює 2π, маємо розв'язок даної нерівності .

Відповідь:


2. Розв'язати нерівність sin t  – .

Розв'язання

Будуємо одиничне коло (рис. 127) та пряму у = –, яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Точки дуги АСВ мають значення у, не більші за –, де А = , В =. Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t з проміжку . Враховуючи періодичність, маємо:

Відповідь: .

 


3. Розв'язати нерівність cost > .

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло (рис. 128) та пряму х = , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Точки одиничного кола, абсциси яких більші за , лежать на дузі АР0В, де А = , В = . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: .

Відповідь: .



4. Розв'язати нерівність cos t < –.

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло (рис. 129) та пряму х = –, яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Точки одиничного кола, абсциси яких менші за –, лежать на дузі АСВ де А = , В = . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: .

Відповідь: .




III. Формування умінь розв'язувати найпростіші нерівності

1. Розв'яжіть нерівності:

a) sin х < –; б) sin х < ; в) cos x ; г) cos x  .

Відповідь: а) ;

б) ;

в) ;

г) .


2. Розв'яжіть нерівність:

a)  ; б) ; в) ;  г) .

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .


IV. Підведення підсумків уроку


V. Домашнє завдання

Розділ II § 5 (до прикладу 3). Запитання і завдання для повто­рення до розділу II № 22—23. Вправа № 3 (1, 3, 5, 7).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити