АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 29
Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей
Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: tg t > a, tgt < a, ctg t < a, ctg t > a (tgt a, tgt
a, ctg t
a, ctg t
a).
І. Перевірка домашнього завдання
1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів у процесі виконання домашніх завдань.
2. Фронтальна бесіда з учнями з використанням рис. 130.
1) Яка дуга відповідає нерівностям: sin t > a; cos t > b; sin t > - a; cos > - b; sin t < a, cos t < b, sin t < - a, sin t < - b?
2) Розв'язком якої нерівності є дуга АmВ; AkD; CpD; СnВ?
3) Розв'яжіть нерівності: cos t 1; sin t > 5; sin t < 5; sin t < -1; cos t >π; cos t <π; cos t
0; cos t
0; sin t
0; sin t
0.
II. Сприймання і усвідомлення розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей
На сьогоднішньому уроці ми продовжимо вчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв'яжіть нерівність tg t 1.
Розв'язання
Побудуємо одиничне коло та лінію тангенсів (рис. 131). На осі тангенсів позначимо число 1. Якщо t є розв'язком нерівності, то ордината точки Т, рівна tg t, повинна бути не більша 1. Множина таких точок Т — промінь AT. Множина точок , що відповідають точкам променя АТ, — дуга
, яка на рисунку виділена. (Зверніть увагу: точка
належить, а точка
не належить множині розв'язків). Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку
. Враховуючи, що період функції tg t дорівнює π, маємо розв'язок даної нерівності
, n
Z.
Відповідь: , де n
Z.
Приклад 2. Розв'яжіть нерівність tg t > .
Розв'язання
На осі тангенсів (рис. 132) позначимо число і множину значень тангенсів, не менших за
(промінь AT). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, тангенс яких не менший від
, є дуга
. Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку
. Враховуючи періодичність, маємо:
, де n
Z.
Відповідь: , де n
Z.
Приклад 3. Розв'яжіть нерівність ctgt -
.
Розв'язання
1 спосіб. Враховуючи, що ctg t = tg , маємо ctg t = - tg
, тоді маємо нерівність -tg
-
a6o tg
. Розв'яжемо останню нерівність (рис. 133), маємо:
, n
Z;
, n
Z.
Відповідь: , де n
Z.
2 спосіб. На осі котангенсів позначимо число і множину (рис. 134) значень котангенсів, не менших за - (промінь AQ). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, котангенс яких не менший від -
, є дуга
Отже, розв'язки нерівності будуть усі значення t із проміжку
. Враховуючи періодичність, маємо:
, n
Z.
Відповідь: , де n
Z.
III. Формування умінь розв'язувати найпростіші нерівності
1. Розв'яжіть нерівності: a) tg x – 1; б) tg x <
; в) tg х
2; г) ctg х >
.
Відповідь: а) , n
Z; б)
, n
Z; в)
, n
Z; г)
, n
Z.
IV. Підведення підсумків уроку
V. Домашнє завдання
Розділ II § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу II № 24. Вправа № 3 (2, 4, 6, 8).