АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 29

Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: tg t > a, tgt < a, ctg t < a, ctg t > a (tgt a, tgt a, ctg t a, ctg t a).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів у процесі виконання домашніх завдань.

2. Фронтальна бесіда з учнями з використанням рис. 130.

1) Яка дуга відповідає нерівностям: sin t > a; cos t > b; sin t > - a; cos > - b; sin t < a, cos t < b, sin t < - a, sin t < - b?

2) Розв'язком якої нерівності є дуга АmВ; AkD; CpD; СnВ?

3) Розв'яжіть нерівності: cos t 1; sin t > 5; sin t < 5; sin t < -1; cos t >π; cos t <π; cos t 0; cos t 0; sin t 0; sin t 0.

II. Сприймання і усвідомлення розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей

На сьогоднішньому уроці ми продовжимо вчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність tg t 1.

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло та лінію тангенсів (рис. 131). На осі тангенсів позначимо число 1. Якщо t є розв'язком нерівності, то ордината точки Т, рівна tg t, повинна бути не більша 1. Множина таких точок Т — промінь AT. Множина точок , що відповідають точкам променя АТ, — дуга , яка на рисунку виділена. (Зверніть увагу: точка належить, а точка не належить множині розв'язків). Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції tg t дорівнює π, маємо розв'язок даної нерівності , nZ.

Відповідь: , де nZ.

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність tg t > .

Розв'язання

На осі тангенсів (рис. 132) позначимо число і множину значень тангенсів, не менших за (промінь AT). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, тангенс яких не менший від , є дуга . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: , де nZ.

Відповідь: , де nZ.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність ctgt -.

Розв'язання

1 спосіб. Враховуючи, що ctg t = tg , маємо ctg t = - tg , тоді маємо нерівність -tg - a6o tg . Розв'яжемо останню нерівність (рис. 133), маємо: , nZ; , nZ.

Відповідь: , де nZ.

2 спосіб. На осі котангенсів позначимо число і множину (рис. 134) значень котангенсів, не менших за - (промінь AQ). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, котангенс яких не менший від -, є дуга Отже, розв'язки нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: , nZ.