АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 33

Тема. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості

 

Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня.

І. Аналіз контрольної роботи з теми «Тригонометричні рівняння і нерівності»

 

II. Повторення відомостей про квадратний корінь

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 13.

Питання до класу

1. Що називається квадратним коренем з числа?

2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел: а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?

3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?

4. Що називається арифметичним квадратним коренем з чис­ла а?

5. Виконайте вправу № 1 до розділу III.

6. При яких значеннях а має смисл вираз ?

7. Виконання вправи № 5 до розділу III.

8. Виконання вправи № 2 до розділу III.

Таблиця 13

Квадратні корені

Означення квадратного кореня з числа а:

Означення арифметичного квадратного кореня з числа а:

число, квадрат якого дорівнює а.

Корінь рівняння:

х2 = а.

 

Тотожності

 = а,  а > 0.

 = |a|, aR.

 

 

Основні властивості

, , .

, , .

, , kN.

,



III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 14)

Коренем n-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 23 = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 34 = 81, (-3)4 = 81.

Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хn = а. Число коренів цього рівняння залежить від n і а.

Якщо n — парне, тобто n = 2k, kN, то рівняння х2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо n — непарне, тобто n = 2k + 1, kN, то рівняння х2k+1 = а завжди має лише один корінь.


Таблиця 14

Корінь no степеня

Означення кореня n-го степеня з числа а:

число, n -й степінь якого дорівнює а.

Корінь рівняння: х2 = а

Означення арифметичного кореня

n-го степеня з числа а:

*, ,…, - існують для аR.

Якщо а < 0, то

*= - .

*, , … , - існують для а  0.

 

Тотожності

Якщо  існує, то = а .

, аR

, аR.

 

Основні властивості

* =  · ,, .

, , .

,

,

.


Невід'ємний корінь рівняння хn = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: . Число n називають показником кореня, число а — підкоре­невим числом (виразом).

Якщо n = 2, то замість  пишуть  і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметич­ний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь n-го степеня».

Приклад. Знайдемо значення: а) ; б) ; в) ; г) .

а)  = 2, оскільки 23 = 8 і 2 > 0;

б)  = 3, оскільки 34 = 81 і 3 > 0;

в)  = 1, оскільки 15 = 1 і 1 > 0;

г)  = 0, оскільки 0100 = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз  має смисл, якщо  і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність = – *.

Дійсно .

Рівність = – * дозволяє виразити корінь непарно­го степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.



Приклад. Знайдемо значення: а) ; б) ; в) .

a)  = -  = -2; б) = -  = -2 ; в) = -  = -3 .

Отже, вираз * має смисл для будь-якого а  R і може набувати будь-яких значень.


Виконання вправ

1. Вправа № 7 до розділу III.

2. Розв'яжіть рівняння:

а) х3 = 64; б) х5 = - ; в) х4 = 81; г) х6 = - 64; д) х3 = 15; е) х4 = 15.

Відповідь: а) 4; б) - ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д) ; е) ; - .

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у =; б) у = ; в) у = ; г) у = ;    д) у = +; е) у = .

Відповідь: а) х  2; б) хR; в) х  3; г) х ≠  0; д) 0; е) не визначена.

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степе­ня випливає:


1. Якщо  існує, то ()n = а .

2.

3.

 

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні вла­стивості мають і корені n-го степеня.

Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-­го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: ·=*.

Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: .

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: .

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: .

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкоре­невого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: .

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:

3) Так як а  0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює аk. Згідно з властиво­стями степенів з цілим показником маємо:

4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді         . Отже, .

5) Згідно з означенням кореня  — це таке невід'ємне чис­ло, n-й степінь якого дорівнює аmp, тобто досить довести .

Маємо .

Виконання вправ

1. Знайдіть значення виразів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Відповідь: а) 1,5;  б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) .

2. Обчисліть:

а) ·; б) ·; в) ; г) .

Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:


а) ;  б) ;   в) ; г) .

Відповідь: а) 125;   б) 0,09;   в) 0,72;  г) 16.

4. Спростіть вирази:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

Відповідь: а)  = ;   б) ;   в) ;   г) .


IV. Підсумок проведення уроку


V. Домашнє завдання

Розділ III § 1 (1—2). Запитання і завдання для повторення роз­ділу III. № 1—12, 17—24. Вправи № 14 (1, 2, 4—6), № 15.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити