АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 40

Тема. Узагальнення поняття степеня


Мета уроку. Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв'язуванні домашнього завдання.

2. Колективне розв'язування нерівності  < 4 – х.

Відповідь: 0 < х < 2.

 

II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь з натуральним і цілим показником

Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із нату­ральним і цілим показником рекомендується провести шляхом бесіди з використанням таблиці 17.

Питання до класу:

1. Що називається n-м степенем числа а, якщо nN? якщо n = 1? n = 0?

2. Що таке степінь, основа степеня, показник степеня?

3. Що називається n-м степенем числа а, якщо nZ?

4. Сформулюйте основні властивості степенів.

 

Таблиця 17

 

Степені

з натуральним показником:

а1 = а (а  R)

аn = а · а · ... · а    nN, n > 2


з цілим показником

а0 = 1, а ≠ 0

а-n = , а ≠  0, n  N

Властивості

аm · аn = am + n

аm : аn = amn  

m)n = аmn

b)n = anbn

;


III. Формування поняття степеня з дробовим показником.

Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зокрема, n-й степінь числа  повинен дорівнювати аm. Якщо ця властивість виконується, то  – а  це означає (за означенням кореня n-го степеня), що число  повинно бути коренем n-го степеня із числа аn.

Степенем  числа а > 0 з раціональним показником  , де mZ, nN (n>1) називається число .

Отже,  = .

Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників; за означенням (0r = 0 для будь-якого r > 0).


Виконання вправ

1. Подайте вирази у вигляді степеня з раціональним показником:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) ;   б) ;   в) ;   г) .

2. Подайте вирази у вигляді кореня із числа чи виразу:

а) ; б) 5; в) 6; г) 3.

Відповідь: а) ; б)  ; в) ; г) .

3. Обчисліть:

а) ;  б) ;  в) ;  г) .

Відповідь: а) 3; б) 3; в) 4; г) 27.


IV. Вивчення властивостей степенів з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і b справедливі рівності:

аp · аq = ap +qn;

аp : аq = apq ;

p)q = аpq ;

b)p = apbp;

.

Для доведення цих властивостей треба скористатися означен­ням степеня з раціональним показником і властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай , , тоді

Останні рівності доводяться аналогічно.

Виконання вправ № 99 (2), 100 (2), 101 (2), 103 (3, 4).

 

V. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним показником

Розглянемо степінь  з ірраціональним показником . Ірраціональне число  можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Розглянемо послідовність наближень числа :

1 <  < 2,

1,4 <  < 1,5,

1,41 <  < 1,42,

1,414 <  < 1,415,

1,4142 <  < 1,4143,

За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:

10 = 101 <  < 102 = 100,

25,119  101,4 <  < 101,5  31,623,

25,704  101,41 <  < 101,42  26,303,

25,942  101,414 <  < 101,415  26,002 ,

25,953  101,4142 <  < 101,4143  25,960 ,

Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа  = 25,9..., яке і прийнято вва­жати степенем числа 10 з показником .

Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.

 

VI. Підведення підсумків уроку

 

VII. Домашнє завдання

Розділ III § 3 (1—3). Запитання і завдання для повторення до розділу III № 56—66. Вправи №№ 99 (1), 100 (1), 103 (1, 2).






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити