АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 41

Тема. Степенева функція


Мета уроку. Познайомити учнів із степеневою функцією, її властивостями і графіками.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність виконаного домашнього завдання.

2. Розв'язування вправ.

а) Обчислити . Відповідь: 5.

б) Спростити вираз .  Відповідь: ab.

в) Спростити вираз . Відповідь: 2a.


II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про степеневу функцію

Степеневою функцією називається функція виду у = хp, де р — постійне дійсне число, а х (основа) — змінна. Згадаємо вла­стивості степеневих функцій, їхні графіки. Результати наших досліджень будемо записувати в таблицю 18.

Таблиця 18

Функція у = хp

 

 

p

Графік

D(y)

E(y)

Пар­ність (непарність)

Зрос­тання (спа­дання)

1.

p=2k,

kN

 

R

[0; +)

парна

спадає, якщо

х(-; 0], зростає,

якщо х[0; +)

2.

p=2k+1

kN

R

R

непар­на

зростає

3.

p=-(2k),

kN

x ≠ 0

(0; +)

парна

зростає, якщо

х(-;0); спадає,

якщо х(0; +)

4.

 

p=-(2k-1)

kN

x ≠ 0

y ≠ 0

непар­на

спадає

на проміж­ках (-; 0),

(0; +)

5.

p > 0, p – не ціле, 0<р<1

[0;+)

[0;+)

ні парна,

ні непар­на

зростає

6.

Р>0,

p – не ціле,

р > 1

[0;+)

[0;+)

ні парна,

ні непар­на

зростає

7.

р < 0,

р не

ціле

(0;+)

(0;+)

ні парна,

ні непар­на

спадає

Коментарі вчителя

1. Якщо р = 2k, k Z, то функція у = х2k. Якщо k = 1, то ця функція має вигляд у = х2. Згадаємо її основні властивості. Функція у = х2:

-   визначена для будь-якого дійсного х;

-   додатна при х ≠ 0 і дорівнює 0 при х = 0;

-   приймає всі невід'ємні значення;

-   парна (графік симетричний відносно осі OY);

-   спадає, якщо х є (-; 0] і зростає, якщо х є [0; +). Такі саме властивості має. функція у = х2k (рис. 80 підручника).

2. Якщо р = 1, то функція має вигляд у = х (графік — пряма, що проходить через початок координат і ділить перший і третій координатний кути пополам). Якщо р = 3, то ця функ­ція має вигляд у = х3. Функція у = х3:

-   визначена для будь-якого дійсного х;

-   додатна при х > 0, від'ємна при х < 0 і дорівнює 0 при х = 0;

-   зростаюча;

-   приймає всі дійсні значення;

-   непарна (графік симетричний відносно початку координат), Такі самі властивості має степенева функція у = х2k+1, kN (рис. 79 підручника).

3. Розглянемо функцію у = . Ця функція визначена при х ≠ 0 і приймає всі додатні значення. Функція парна (графік симет­ричний відносно осі OY). При х < 0 функція зростає, а при х > 0 — спадає. Такі саме властивості має степенева функція у = х-2k =, kN (рис. 82 підручника).

4. Якщо р = – 1, то функція має вигляд у = х-1 = . Ця функція визначена при х ≠ 0. При х > 0 функція у =  приймає додатні значення, а при х < 0 — від'ємні. При х > 0 функція у =  спадає, і при х < 0 — спадає.

Такі саме властивості має степенева функція у = х – (2k 1) = , kN (рис. 81 підручника).

5-6. Згадаємо властивості функції у = . Отже, функція у = :

-   визначена при х > 0;

-   додатна при х > О і дорівнює нулю при х = 0;

-   зростає на всій області визначення;

-   приймає всі невід'ємні значення.

Якщо р — додатне раціональне число, то степенева функція у = xp визначена при х  0 і має такі саме властивості, які функція у = .


III. Осмислення вивченого матеріалу

Виконання № 78—85 із «Запитання і завдання для повторення» розділу III.

 

IV. Підсумок уроку

 

V. Домашнє завдання

Розділ III § 3(4). Запитання і завдання для повторення розді­лу III. № 67—77. Підготуватися до контрольної роботи.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити