УРОК 43

Тема. Показникова функція, її графік і властивості

Мета уроку. Засвоєння учнями поняття показникової функції, її властивостей і графіка.

Обладнання. Таблиця «Показникова функція».

І. Аналіз контрольної роботи

II. Повідомлення теми уроку

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Функція виду у = ах, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).

1. Які із поданих функцій є показниковими:

а) у = 2х; б) у = х3; в) у = (-5)х; г) у = ()х; д) у = (0,3)х; е) у = nх?

Відповідь: а); г); д); е).

2. Наведіть приклади показникових функцій.

Почнемо вивчення показникових функцій з функції у = 2х. Складемо таблицю значень функції:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = 2х				1	2	4	8

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднає­мо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 2х (рис. 142).

 

Показникова функція у = 2х має вла­стивості:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх до­датних чисел.

3. Функція у = 2х — зростаюча на мно­жині всіх дійсних чисел.   

4. Графік функції перетинає вісь у в точці(0; 1).

1. Чи є серед значень функції у = 2х:

а) найбільше;      

б) найменше?     

Відповідь: ні.

2. Порівняйте значення виразів:

а)  і ;  б) 2-3 і 2-4; в)  і .

Відповідь: а)  < ; б) 2-3 > 2-4;  в)  > .

3. Розташуйте числа ; ; ; ;  у порядку зростання.

Відповідь: ; ; ; ; .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) 2х > 2у;  б) 2х < 2у.  

Відповідь: а) х > у; б) х < у.

5. На рисунку 86 із підручника зображено графіки функцій у = 2х і у = 3х. Чим відрізняються ці функції? Їхні графіки?

Побудуємо графік функції у = , для цього складемо таб­лицю значень функції:   

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у =  (рис. 143). Сформулюємо властивості функції

 

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у =	8	4	2	1

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх додат­них чисел.

3. Функція у =  — спадна на множині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь у в точці (0; 1).

1. Чи є серед всіх значень функції у = :

а) найменше; б) найбільше? 

Відповідь: ні.

2. Порівняйте значення виразів:

а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і .

Відповідь: а) >; б) =; в) >; г) <; д) <.

3. Розташуйте числа , , , ,  у порядку зростання.

Відповідь: , , , ,  .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність: а)>; б)>; 

Відповідь: а) х < у; б) х > у.

5. Порівняйте як розташовані графіки функцій у = 2х і у = , користуючись рис. 88 із підручника.               

Відповідь: графіки розташовані симетрично відносно осі ОY.

6. Чим відрізняються властивості і графіки функцій у = і у= ?

Відповідь: вони мають однакові властивості, функція у = спадає більш швидше.

Враховуючи вищезазначене, можна зробити висновки.

1. Область визначення показникової функції — множина R дійс­них чисел, бо степінь aх, де а > 0, визначений для всіх хR.

2. Множина значень показникової функції — множина всіх до­датних дійсних чисел.

3. Показникова функція у = aх є зростаючою на множині дійсних чисел, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1.

4. Якщо х = 0, то у = а° = 1.

5. Якщо х > 0, то у > 1, якщо а > 1, і у < 1, якщо 0 < а < 1.

6. Якщо х < 0, то у < 1, якщо а > 1, і у > 1, якщо 0 < а < 1.

7. Графіком показникової функції є крива, яка називається екс­понентою.

Властивості показникової функції записати в робочому зошиті у вигляді таблиці 19.

Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
а > 1	0 < а < 1
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + ) 3. Зростає x1 > x2   >   4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1	1. D(y) = R 2. E(y) = (0; +). 3. Спадає x1 > x2   <   4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1

Усне виконання вправ

1. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:

а) y = nx ; б) y = (0,5)x;  в) у = ; г) y = 2-x.

Відповідь: а) зростаюча; б) спадна; в) зростаюча; г) спадна.

2. Порівняйте значення виразів:

  а) i ; б) і .

Відповідь: а) > ; б) > .

3. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) 0,02х < 0,02y;  б) nx > ny.

Відповідь: а) х > у; б) x < у.

4. Порівняйте основу а > 0 з одиницею, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) а10 > а15;  б) а10 < а15.

Відповідь: а) а > 1; б) 0 < а < 1.

 

V. Підсумок уроку

 

VI. Домашнє завдання

Розділ IV § 1. Запитання і завдання для повторення № 1—12.