АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 54

Тема. Основні властивості логарифмів

Мета уроку. Вивчення основних властивостей логарифмів. Познайомити учнів з логарифмуванням і потенціюванням виразів.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розв'язування вправ № 4, 6, 18.

2. Усне розв'язування вправ на обчислення логарифмів з використанням таблиці 22 для усних обчислень.

Таблиця 22

	1	2	3	4	5
1	log28	log39	log464	log5l25	log636
2	log	log	log	log42	log93
3					log813
4				– 1
5

3. Відповіді на запитання, що виникли в учнів під час виконання домашнього завдання.

II. Сприймання і усвідомлення основних властивостей логарифмів

При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв'язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких додатних х і у виконуються рівності:

1. logа l = 0;

2. logаa = 1;

3. logа xy = logа x + logа y;

4. logа = logа x – logа y;

5. logа х р = p logа x (р R);

6. = loga x (p R);

7. loga x = (b > 0, b ≠ 1).

Доведемо рівності 3—7. За основною логарифмічною тотожністю

(І)

(II)

Перемноживши рівності (І) і (II), одержуємо: ху = · = ,

звідси за означенням логарифма маємо loga xy = loga x + loga y.

Отже, логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів.

Розділивши рівності (І) і (II), одержуємо: = ,

звідси за означенням логарифма маємо: loga = loga х – loga у.

Отже, логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Піднісши ліву і праву частини рівності (І) до степеня з показником р, маємо: (ІІІ)

звідси за означенням логарифма маємо: logа х р = p logа x.

Отже, логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня.

З рівності (III) маємо: , звідси за означенням логарифма маємо:

, тоді p; .

Формула 7 називається формулою переходу від одної основи логарифма до другої основи. Доведемо її.

За правилом логарифмування степеня (формула 5) та основною логарифмічною тотожністю одержуємо: ,

звідси logb х = loga х · logb a або loga = .

За допомогою формули 7 можна знаходити логарифми з довільною основою а, маючи таблиці логарифмів, складених для якої-небудь основи b. Найбільш вживаними є таблиці десяткових і натуральних логарифмів.

III. Осмислення основних властивостей логарифмів

1. Розглянемо приклади використання формул 3-7. Обчислимо:

1) log6 18 + log6 2 = log6(18 – 2) = log6 36 = 2;

2) log12 48 – log12 4 = log6 = log12 12 = 1;