АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 57

Тема. Логарифмічні рівняння


Мета уроку. Формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння.

І. Перевірка домашнього завдання

1.   Фронтальна бесіда за № 15—25 із «Запитання і завдання для повторення» розділу V та відповіді на запитання, які виник­ли в учнів у процесі виконання домашніх завдань.

2.   Виконання вправ, аналогічних домашнім: № 47 (1; 3), 51.


II. Засвоєння поняття найпростіших логарифмічних рівнянь та методів їх розв'язування

Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Приклади логарифмічних рівнянь: lg х = 1 + lg2x, log3(x + 3) = 9,  =  і т. д.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log х = b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0. За означенням логарифма випливає, що х = аb.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий: loga x = loga b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності loga x = loga b на підставі означення логарифма і основної лога­рифмічної тотожності маємо: x =  = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння logx a = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.

За означенням логарифма маємо: хb = а, звідси х = .

В основному, всі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв'я­зувати, зводяться до розв'язування найпростіших рівнянь.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння log3 (2x + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо:

2х + 1 = 32, 2х = 8, х = 4.

Перевірка: log3(2 · 4 + 1) = log39 = 2.

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння log3x = log3(6 – х2).

Розв'язання

Із рівності логарифмів чисел випливає: х = 6 – х2; х2 + х – 6 = 0; х1 = -3, х2 = 2.

Перевірка:

1)  Число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3(-3) — не визначений;

2)  log3x = log32; log3(6 – х2) = log3(6 – 22) = log32.

Відповідь: 2.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння logх+1 (2х2 + 1) = 2.

Розв'язання

За означенням логарифма маємо:

2х2 + 1 = (х + 1)2; 2х2 + 1 = х2 + 2х + 1; х2 – 2х = 0; х1 = 0, х2 = 2.

Перевірка:

1) Значення х1 = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х + 1 не повинна дорівнювати 1.

2) logх+1(2·22 + l) = log39 = 2.

Відповідь: 2.

Відзначимо, що в описаних прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не приводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому пе­ревірка кожного із одержаних коренів обов'язкова, якщо немає впевненості в рівносильності рівнянь.

Колективне розв'язування вправ № 53 (1; 3; 9), 54 (1), 52 (6; 13).


III. Підведення підсумків уроку


IV. Домашнє завдання

Розділ V § 3. Запитання і завдання для повторення розділу V № 26—29. Вправа № 52 (1—5).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити